知識理解下的有效學(xué)習(xí)

吳歡

垂線作為小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域的重要概念，對學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識、培養(yǎng)空間觀念具有非常重要的作用。當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)幾何概念的學(xué)習(xí)普遍存在“記憶模仿”而不能“理解應(yīng)用”的現(xiàn)象。首先，因為教師教學(xué)幾何概念時脫離現(xiàn)實背景，一味灌輸，導(dǎo)致學(xué)生幾何概念的形成過于倉促，理解不夠深入。其次，教師過度追求學(xué)生技能的掌握，忽視學(xué)習(xí)過程。最后，教師就概念而教概念，忽視了概念間的聯(lián)系和運用，學(xué)生缺乏應(yīng)用意識，解決實際問題的能力較為薄弱。為了解決這些問題，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級上冊“認(rèn)識垂線”時，筆者做了以下嘗試。

一、分類比較，構(gòu)建新知

（一）分類感悟，建立概念

師：同學(xué)們，課前我給大家準(zhǔn)備了一張圓形紙，你們能用水彩筆在紙上畫出兩條相交的直線嗎？比一比誰畫得又好又快！

（學(xué)生獨立完成，教師巡視指導(dǎo)）

師：我剛才在同學(xué)們畫的時候挑選了幾幅作品，瞧?。ǔ尸F(xiàn)學(xué)生作品，如圖1至圖5）

師：他們都畫對了嗎？同樣是相交，好像還有點不一樣哦！你們能根據(jù)兩條直線的相交情況，把它們分類嗎？你們?yōu)槭裁催@樣分？把你們的想法在小組里說一說。

（學(xué)生小組交流）

師：討論完了嗎？你們打算怎么分？誰愿意邊說邊分給大家看？

生：圖2和圖5里有直角，所以我把圖2和圖5分為一類。其他三幅圖是另一類。

（大部分學(xué)生鼓掌贊成）

（二）觀察驗證，凸顯概念

師：我有點懷疑，這兩組直線都相交成直角嗎？誰能想辦法讓我心服口服？

生：用三角尺上的直角去比一比。

師：這里有三角尺（舉起三角尺），誰來試一試。

（學(xué)生邊演示邊確認(rèn)是否有直角，教師相機在圖中標(biāo)注直角符號）

師：除了這兩個同學(xué)，還有誰畫的兩條直線也相交成直角？

（教師選取3個學(xué)生的作品板貼在黑板上，用三角尺快速驗證）

師（小結(jié)）：同學(xué)們，像你們剛才所畫的兩條直線相交成直角時，數(shù)學(xué)上就稱這樣的兩條直線互相垂直。（板書：互相垂直）

師（手指圖1、圖3、圖4）：那這兩條直線互相垂直嗎？為什么？

生：不垂直。因為它們沒有相交成直角。

師：也就是說，什么樣的情況下兩條直線才會互相垂直？

生：兩條直線相交成直角。

【思考】概念是用來幫助人們認(rèn)識事物，建立某種邏輯體系的。概念不是憑空出現(xiàn)的，它自然會有產(chǎn)生的基礎(chǔ)，因此要考慮它從哪里來，到哪里去。當(dāng)然為了更好地認(rèn)識概念，我們還要知道這個概念包含了哪些核心要素，還可能延伸出哪些子概念，這個概念對于認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)有哪些幫助，對后續(xù)的數(shù)學(xué)會有怎樣的意義等。

“認(rèn)識垂線”這節(jié)課研究的是兩條直線的位置關(guān)系，而這種關(guān)系是一種特殊的關(guān)系——垂直，要想建立垂直的概念，我們要從知識生長的角度切入，考慮哪種引入方式更適合學(xué)生，要自然且不突兀。作為一種特殊的位置關(guān)系，垂直特殊在哪里，要讓學(xué)生感受從一般到特殊的過程。教學(xué)時，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗在同樣的圓形紙上畫出了兩條相交直線。教師以學(xué)生創(chuàng)作的作品為學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察比較，從同是相交的位置關(guān)系中分類出相交成直角的特殊情況。

二、深入探究，鞏固新知

（一）圖文揭示，理解概念

師：其實關(guān)于垂直還有不少數(shù)學(xué)知識呢！是我告訴你們呢，還是你們自己來研究。

生：自己研究。

師（課件呈現(xiàn)概念）：兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直。你們能理解嗎？把你們的理解和同桌說一說。

（同桌交流）

師：誰來說一說你的理解？

生：我認(rèn)為只有兩條直線相交成直角時，才能說這兩條直線互相垂直。沒有相交成直角，這兩條直線就不是互相垂直。

師：你能理解“互相垂直”里面“互相”的意思嗎？

生：互相就是相互，是一種關(guān)系。

師：如圖6，這里有兩條直線（課件出示），如果一條直線用A表示，另一條直線用B表示?；ハ啻怪本涂梢哉f直線A垂直于直線B，也可以說直線B垂直于直線A。

師：“其中一條直線是另一條直線的垂線?！蹦芙Y(jié)合這幅圖，說說你們的理解嗎？

生：直線A是直線B的垂線，直線B也是直線A的垂線。

師：“這兩條直線的交點叫作垂足?！蹦銈兡苓呏高呎f什么叫作垂足嗎？

（學(xué)生邊比畫邊介紹）

師（小結(jié)）：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識了垂直。知道了在同一平面內(nèi)兩條直線相交成直角時，這樣的兩條直線就互相垂直。

（二）鞏固練習(xí)，深化概念

師：我這里還帶來了幾幅圖（如圖7至圖11），它們是不是互相垂直呢？我們一起來看一看！

生：圖7、圖8和圖9里的直線互相垂直。

師：怎么來證明呢？

生：還是用三角尺上的直角來比一比。

師：圖9還能用三角尺比畫嗎？

生：能。因為直線是可以無限延長的，所以延長一下讓它們相交就可以了。

（教師延長直線并用三角尺驗證，驗證后標(biāo)注直角符號）

師：那最后兩組直線為什么沒有互相垂直呢？

生：因為它們沒有相交成直角。

師：這兩組直線有點特別。瞧！發(fā)現(xiàn)了什么？（教師轉(zhuǎn)動圖10、圖11中的直線）

生：直線能轉(zhuǎn)動。

師：如果給你們機會，你們能想辦法把它們變成互相垂直嗎？

（學(xué)生演示）

【思考】基于學(xué)生已有活動經(jīng)驗和課堂上對垂線概念的初步認(rèn)識，教師圖文并茂地呈現(xiàn)垂線及其相關(guān)概念，引導(dǎo)學(xué)生在自主探究、體驗感悟中主動理解概念，自覺建構(gòu)概念。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)材料進行觀察、辨析、操作，設(shè)計多元且有層次的操作活動幫助學(xué)生進一步增強對概念的認(rèn)識，垂線的概念也變得愈加鮮活。

三、聯(lián)系生活，豐富認(rèn)識

師：其實，不光是數(shù)學(xué)上有兩條直線互相垂直，生活中我們也經(jīng)常和垂直打交道。

（課件依次呈現(xiàn)生活中的圖片，如圖12所示）

師（出示三角尺圖）：瞧！三角尺上能找到兩條互相垂直的直線嗎？

（學(xué)生上臺比畫）

師：對嗎？來看看我是怎么指的。

（教師示范比畫一組垂線，強調(diào)“互相”）。

師：三角尺上這一組互相垂直的直線，在我們今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用可大了！

師（出示地磚圖）：那這幅圖上你們能指出互相垂直的兩條直線嗎？

（學(xué)生邊比畫，課件相機出示垂線）

師：同學(xué)們不僅能找到垂線，還能找到不同的垂線。

師（出示墻壁圖）：這幅圖呢？

（學(xué)生比畫）

師：我相信善于觀察的同學(xué)還能找到更多的垂線。

師（出示圖畫）：我還帶來了一幅圖，在這幅圖中，你們一共能找到幾組互相垂直的線？

生：4組。

師（課件出示4個直角符號）：真好！

【思考】在教學(xué)“認(rèn)識垂線”時，很多教師都會通過身邊的例子來幫助學(xué)生理解概念。身邊例子是否基于知識本質(zhì)表達(dá)準(zhǔn)確，是否基于學(xué)生已有經(jīng)驗表達(dá)真實，都決定了學(xué)生能否真正理解概念，能否在理解概念的基礎(chǔ)上進行有效學(xué)習(xí)。筆者選擇了教材中呈現(xiàn)的例子，加以優(yōu)化，逐個研究，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界。讓教學(xué)情境真正助力教師有效教學(xué)，助力學(xué)生知識理解和有效學(xué)習(xí)。

四、自主探究，應(yīng)用提升

（一）厘清問題，嘗試探究

師：剛剛我們認(rèn)識了垂線，還在生活中找到了互相垂直的例子，接下來想不想去畫一畫互相垂直的直線呢？別急，我這兒有3個任務(wù)（如圖13），仔細(xì)看！

師（出示任務(wù)1）：看明白了嗎？題目讓我們干什么？

生：畫出已知直線的垂線。

師（出示任務(wù)2）：接著往下看，這里，我們不光要畫垂線，還要怎么樣？

生：經(jīng)過點A。

師（出示任務(wù)3）：同樣是經(jīng)過點A畫垂線，有沒有什么不一樣的地方？

生：任務(wù)2的點A在直線上，任務(wù)3的點A在直線的外面。

師：你們觀察得真仔細(xì)！題目的要求都明白了嗎？請你們選擇一項或兩項任務(wù)完成。比一比，看誰畫得更準(zhǔn)確。

（學(xué)生嘗試畫圖，教師巡視指導(dǎo)）

（二）辨析修正，學(xué)習(xí)技能

師（呈現(xiàn)學(xué)生作品）：我這里有一個同學(xué)完成的作品（如圖14）。他畫得怎么樣？

生：兩條直線沒有互相垂直。

師：你們猜猜看，他為什么會畫得不垂直？

生：沒用三角尺畫，也有可能三角尺沒有對齊。

師：看來！要想成功地畫出垂線還有很多需要注意的地方。誰愿意上來給大家演示一下，你是怎樣畫的。

生：我是這樣畫的。首先用三角尺上的一條直角邊和這條直線重合。然后沿著另一條直角邊畫出這條直線的垂線。畫完以后，還要標(biāo)上直角符號。

師：看清楚了嗎？他是先用三角尺上的一條直角邊和已知直線重合。這個時候，三角尺上的另一條直角邊就和已知直線互相垂直了，因為三角尺上的兩條直角邊互相垂直。所以我們只要沿著另一條直角邊畫出已知直線的垂線就行了。因為我們畫的是垂線，所以一定要穿過已知直線。最后不要忘記標(biāo)注直角符號，表示這兩條直線相交成直角。

師：接下來請你們用三角尺這個工具，在圖13中任務(wù)1的圖上，再畫一條已知直線的垂線。完成以后，同桌互相檢查。

（三）變式練習(xí)，熟練技能

師：研究完了圖13中任務(wù)1，那任務(wù)2和任務(wù)3還難嗎？誰愿意上來給大家介紹一下任務(wù)2的畫法？

生：跟剛才的畫法差不多。我先把三角尺上的一條直角邊和已知直線重合，然后把三角尺上的這個頂點（兩條直角邊的交點）移動到和點A重合，最后沿著三角尺的另一條直角邊畫出垂線。

師：介紹得非常清楚。我要特別提醒同學(xué)們，為了平移三角尺的時候更準(zhǔn)確，我們可以用一把直尺幫助我們平移（教師演示）。

師：那任務(wù)3呢？你們能把畫的過程說給同桌聽嗎？

（學(xué)生交流，教師巡視指導(dǎo)）

師（呈現(xiàn)學(xué)生作品）：如圖15至圖17，他們都畫對了嗎？

生：畫得都不對。圖15沒有把垂線畫出頭。圖16標(biāo)了直角符號，但是看上去明顯不垂直。圖17沒有標(biāo)直角符號。

師：看來要想把垂線畫準(zhǔn)確還不是一件容易的事。我們在畫的時候一定要畫規(guī)范！

（四）知識對比，深化認(rèn)識

師：同學(xué)們，剛剛我們在完成這三個任務(wù)時，有什么相同的地方？又有哪些不同之處呢？

生：相同的地方是都要用三角尺，都要把一條直角邊和已知直線對齊。不同點的地方是圖13中任務(wù)1可以畫出許多條垂線，但是任務(wù)2和任務(wù)3過一點只能畫一條垂線。

【思考】數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)，就是將一連串動作方式或心智活動方式，經(jīng)過練習(xí)而形成熟練的、自動化的反應(yīng)過程。教師在教學(xué)畫垂線時，給學(xué)生呈現(xiàn)了由簡到難的3個畫垂線的任務(wù)，鼓勵學(xué)生根據(jù)自己對垂線的理解，逐個完成任務(wù)，在完成任務(wù)的過程中，反復(fù)操作，及時修正，總結(jié)經(jīng)驗。例如，在圖13中任務(wù)1的教學(xué)過程中，教師首先從學(xué)生錯誤作品入手，引導(dǎo)學(xué)生找出錯誤原因，強化“相交成直角”的特征。接著請學(xué)生再次演示畫垂線的正確方法。最后由教師將畫垂線的整套動作分解成若干個局部動作，讓學(xué)生逐個觀察、記憶、想象。學(xué)生在教師的示范下，理解掌握畫垂線的技能，技能的學(xué)習(xí)經(jīng)歷著一個從會到熟的過程。

（作者單位：江蘇省南京市北京東路小學(xué)紅山分校）