活用數(shù)學(xué)表征，提高小學(xué)生問題解決能力的實踐研究

摘 要：文章以分析江蘇省蘇州市吳江區(qū)黎里小學(xué)在中低年級數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的現(xiàn)狀為出發(fā)點，簡要闡述了數(shù)學(xué)表征在助力學(xué)生解決問題方面的作用，分析在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生靈活表征，使其順利解決數(shù)學(xué)問題的策略。

關(guān)鍵詞：小學(xué)；數(shù)學(xué)表征；問題解決能力

作者簡介：顧亞金（1990—），女，江蘇省蘇州市吳江區(qū)黎里小學(xué)。

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，規(guī)范合理地進(jìn)行數(shù)學(xué)表征有助于學(xué)生找到解決問題的路徑。而學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平能直接影響其解決問題的效率。如何幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)表征經(jīng)驗，助力其問題解決能力的提升值得一線教師思索。

一、解析：學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)現(xiàn)狀

（一）學(xué)生只學(xué)其形，不得其理

筆者在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在學(xué)會解一道題后，再遇到變式題，或隔一段時間再遇到同一類題目，仍舊會出錯。究其原因，是這些學(xué)生在學(xué)習(xí)解題時只是機械地模仿教師的解題步驟，并未理解每一步背后的道理，因此，當(dāng)同樣的題目換了一個“殼子”后，學(xué)生就不能通過表征剝離其外殼，理解本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不理想。數(shù)學(xué)題雖千變?nèi)f化，然而變的是形，不變的是理，學(xué)生只有知形達(dá)理，方能做到融會貫通。

（二）教師追求速度，教法單一

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，教師應(yīng)重視課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，加強學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)，使其可以更好地理解與遷移知識。筆者所在的學(xué)校是一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)，部分教師教育理念滯后，在教學(xué)生解決實際問題時單純追求速度和正確率，往往遇一題講一題，未能幫助學(xué)生理清題目所涉及的已學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生無法將知識前后串聯(lián)起來。在這樣的教學(xué)模式下，學(xué)生所學(xué)的知識比較零散，不成體系，在遇到新問題時，學(xué)生就難以將其表征為已有的知識經(jīng)驗，從而導(dǎo)致解題困難。

（三）教學(xué)未聯(lián)系生活，學(xué)生理解困難

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，在培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時，教師應(yīng)注重將教學(xué)與學(xué)生的實際生活聯(lián)系起來，使學(xué)生能用習(xí)得的數(shù)學(xué)知識去解決實際生活中的問題。這對學(xué)生在數(shù)學(xué)表征方面提出了更高的要求。學(xué)生能否順利將生活中的問題表征為數(shù)學(xué)問題直接影響其解題的正確率。但是部分教師缺乏生活化教學(xué)的意識，未能創(chuàng)設(shè)有效的生活化情境，降低學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的難度，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)用結(jié)合的能力比較低。

二、認(rèn)識：數(shù)學(xué)表征教學(xué)的價值

表征是對信息的內(nèi)化理解，筆者在本文中提到的數(shù)學(xué)表征主要是指學(xué)生在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，能夠靈活運用一種或多種表征方式，明晰問題中涉及的概念，理解題目中的關(guān)鍵信息，抓住內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系，從而正確分析問題，確定解題思路。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力的目標(biāo)是使學(xué)生能夠根據(jù)具體的問題情境，靈活采用表征方式，自主表征問題，將復(fù)雜的、新學(xué)的問題表征為簡單的、已有的知識經(jīng)驗，從而化繁為簡，變未知為已知，順利解決問題，提升解題能力［1］。

（一）幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)信息

正確表征題干信息是解決問題的前提。適宜地進(jìn)行數(shù)學(xué)表征能夠幫助學(xué)生自主審題，正確理解題干中的信息并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，為正確解題做好準(zhǔn)備。

一年級數(shù)學(xué)問題多采用圖形的方式呈現(xiàn)，學(xué)生若不能正確表征圖形中蘊含的信息，理清題中的條件便無法順利解決問題。例如，有這樣一道易錯題：畫面左邊畫了2個蘋果，右邊有個帶問號的盒子，畫面下標(biāo)了括線，括線下標(biāo)了個數(shù)字“7”。對于這個問題，學(xué)生出現(xiàn)的典型錯誤有兩種：第一種是進(jìn)行片面表征，看到括線就以為是求和問題，直接列算式7+2=9；第二種是進(jìn)行混亂表征，即明白右邊盒子里有5個蘋果，但不能分清題中的已知條件和所求問題，列出算式2+5=7。這兩種錯誤都表明，學(xué)生在表征問題時出現(xiàn)了錯誤。教師在教學(xué)時可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語言表征，創(chuàng)設(shè)問題情境：原來有7個蘋果，拿走了2個，盒子里還剩幾個蘋果？這樣表征可以將圖形轉(zhuǎn)譯為學(xué)生熟悉的文字，學(xué)生便可以有效解決問題了。

（二）幫助學(xué)生明晰數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是列式解題的基礎(chǔ)。恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行數(shù)學(xué)表征能夠幫助中低年級學(xué)生明晰題干中涉及的數(shù)量關(guān)系式，這不僅能夠幫助學(xué)生確定當(dāng)前問題的解題思路，還能為他們進(jìn)入高年級后解決復(fù)雜的問題打好基礎(chǔ)。

部分教師會教授學(xué)生解題技巧：看到“一共”用加法，遇到“還?！庇脺p法，“飛來”“拿來”表示增加，“飛走”“去掉”表示減少。這些技巧在一定程度上能提高學(xué)生做題的正確率，但題目的靈活性提高后，學(xué)生就難以利用這些技巧來解題了。例如，有一道題目如下：樹上原來有6只小鳥，第一次飛走了2只，第二次飛走了3只，一共飛走了多少只？學(xué)生在解題時容易出現(xiàn)兩類錯誤：一類是看到“飛走”，認(rèn)為應(yīng)該用減法；另一類是看到“一共”，覺得應(yīng)該用加法。出現(xiàn)這兩類錯誤均是由于學(xué)生沒有明晰題中的數(shù)量關(guān)系。教師在教學(xué)時可以采用操作表征的方法：用6根小棒代替小鳥，第一次拿走2只，第二次拿走3只。借助這樣的直觀操作，學(xué)生就能快速得出答案，繼而在直觀操作的基礎(chǔ)上反推出此題的數(shù)量關(guān)系式。

低年級數(shù)學(xué)教學(xué)重在幫助學(xué)生理解、積累相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式，而非一味要求學(xué)生規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行表述。教師只有幫助學(xué)生筑牢基礎(chǔ)、積累經(jīng)驗，才能讓他們在高年級時靈活運用知識，正確解題。

（三）幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)表征能夠幫助學(xué)生剝?nèi)嶋H問題的“華麗外殼”，露出問題的本質(zhì)，使學(xué)生理解不同題目之間的相同本質(zhì)，將其統(tǒng)整為一類問題，建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

例如：“雞有8只，鵝有2只，雞比鵝多幾只？”“黃絲帶長5米，紅絲帶長3米，紅絲帶比黃絲帶短多少？”“哥哥今年7歲，弟弟今年4歲，哥哥比弟弟大幾歲？”……這些問題看似不同，但教師借助表征明晰其中的數(shù)量關(guān)系后，就能讓學(xué)生明白它們都屬于“兩數(shù)相差多少”的問題。教師在教學(xué)生解決這一類問題時不能局限于讓學(xué)生正確列式解答，而應(yīng)引導(dǎo)其分析過程，進(jìn)行多元表征，幫助學(xué)生建構(gòu)“兩數(shù)相差多少”問題的數(shù)學(xué)模型，總結(jié)這一類問題的解決方法，提升學(xué)生的問題解決能力。

三、實踐：培養(yǎng)學(xué)生靈活表征能力的教學(xué)策略探索

（一）日常教學(xué)重積累

數(shù)學(xué)表征方式不唯一，按抽象程度可以分為直觀表征和抽象表征。小學(xué)階段常見的有語言表征、操作表征、圖形圖表表征、圖式表征、符號表征等。培養(yǎng)學(xué)生的表征能力不是一蹴而就的，教師需要強化多元表征教學(xué)，以幫助學(xué)生積累表征方法，培養(yǎng)學(xué)生合理表征具體問題的能力，提升學(xué)生的表征水平。

1.新授課：多元表征助理解

針對學(xué)生數(shù)學(xué)表征能力的培養(yǎng)，教師可以在常規(guī)新授課中進(jìn)行。例如，在教學(xué)二年級上冊“認(rèn)識線段”這一課時，教師可以設(shè)計如下環(huán)節(jié)幫助學(xué)生掌握概念：動手拉毛線（操作表征）—由毛線抽象出線段圖形（圖形表征）—說線段特征（語言表征）—找生活中的線段（操作表征、語言表征）—折線段、比線段（操作表征、語言表征）。這些環(huán)節(jié)既能幫助學(xué)生正確、全面地理解線段的概念，還能讓學(xué)生經(jīng)歷操作表征、圖形表征、語言表征的過程，豐富學(xué)生的表征經(jīng)驗。

2.習(xí)題課：一題多解散思維

在習(xí)題課的教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維的培養(yǎng)。以這樣一道題為例：圍棋盤有四條邊，在每條邊上放5顆棋子，最少要放幾顆？學(xué)生在解決這道題時容易直接列式4×5=20來解決問題。如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形表征，畫簡圖表示棋盤和棋子的擺放，再讓學(xué)生解題，不同的學(xué)生便會有不同的想法：有的學(xué)生直接數(shù)出棋子數(shù)；有的學(xué)生通過圈畫看成每條邊上有4顆棋子，共有4組，可列式4×4=16；有的學(xué)生先不看四個角上的棋子，看成每條邊上有3顆棋子，共有4組，最后再加上四個角上的4顆棋子，便可列式為3×4＋4＝16；有學(xué)生借助圖形發(fā)現(xiàn)算式4×5=20相當(dāng)于多算了角上的4顆，需要減去，修正算式為4×5-4=16?？梢姴扇D形表征將題意直觀且正確地進(jìn)行呈現(xiàn)后，學(xué)生個人的內(nèi)部抽象表征仍舊各不相同。因此，教師在習(xí)題課上應(yīng)為學(xué)生留出充足的時間，使其各抒己見，對題目進(jìn)行表征。這一過程一方面利于教師隨時了解學(xué)生的思維情況，以適時進(jìn)行糾正；另一方面有利于學(xué)生進(jìn)行思維碰撞，積累經(jīng)驗。

（二）不同學(xué)生有差異

學(xué)生的個體差異是客觀存在的，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力不能“一刀切”，對不同思維層次的學(xué)生，教師應(yīng)進(jìn)行差異化對待。不同年齡層次的學(xué)生對同一類問題表征不同，教師應(yīng)該進(jìn)行有針對性的教學(xué)設(shè)計。

1.同級生：允許慢一步

受身心發(fā)展、學(xué)習(xí)習(xí)慣等因素的影響，同一年齡層次的學(xué)生思維發(fā)展水平出會有所不同。這要求教師在授課時慢下來，對同一問題進(jìn)行多元表征，由直觀表征逐步過渡到抽象表征，揭示問題的本質(zhì)。這一過程能夠讓不同思維層次的學(xué)生以適合自己的表征方式解決問題。在進(jìn)行個別輔導(dǎo)，特別是對后進(jìn)生進(jìn)行輔導(dǎo)時，教師不能要求過高，可以采用較直觀的表征方式，如操作表征、圖形表征，助力學(xué)生直觀理解題目，允許后進(jìn)生在表征上慢一步。這樣既有利于幫助后進(jìn)生打好基礎(chǔ)，又可以提升后進(jìn)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。例如，一年級學(xué)生常遇到這樣的排隊問題：我的前面有4個人，我的后面有2個人，這條隊伍一共有多少人？對此，思維水平較高的學(xué)生可以直接進(jìn)行抽象表征，得出答案4+2+1=7；但是思維水平較低的學(xué)生單憑想象無法理解為什么還要加1人。對此，教師應(yīng)放慢腳步，首先采用操作表征的方式讓學(xué)生排一排、站一站，然后用圖形表征的方式，用黑白小圓圈代替人，畫一畫，最后進(jìn)行抽象表征。學(xué)生打好了基礎(chǔ)，再遇到此類問題就能抽象出數(shù)學(xué)模型了。

2.異級生：需要邁一步

蘇教版數(shù)學(xué)課本的一個編排特點是知識呈螺旋上升，這意味著本質(zhì)相同的問題在不同年級可能會反復(fù)出現(xiàn)。但本質(zhì)相同的問題在不同年級的呈現(xiàn)方式是不同的，這要求學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平要逐步提高。例如，在二年級，學(xué)生剛學(xué)乘法時，會遇到這樣的乘法問題—每堆有3根胡蘿卜，有2堆，一共有多少根？教材多配有圖形，教師在教學(xué)時也會引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形表征，讓其畫一畫，使學(xué)生理解問題的本質(zhì)，即求2個3相加的和可用乘法計算。隨著年級升高，學(xué)生還是會遇到這樣的問題：新學(xué)期，學(xué)校要給三年級5個班更換桌椅，每個班有42人，一共需要多少套新桌椅？對于這樣的問題，教師若采用圖形表征，讓學(xué)生畫一畫顯然不合適，此時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生往前邁一步，利用所積累的數(shù)學(xué)模型，直接進(jìn)行抽象表征：求幾個相同的數(shù)的和用乘法表示［2］。

（三）具體問題活轉(zhuǎn)譯

1.化難為易，尋思路

問題的呈現(xiàn)方式不同，解題的難度也不同。教師要培養(yǎng)學(xué)生靈活進(jìn)行數(shù)學(xué)表征的能力，使其可以將不熟悉的、難以解決的問題轉(zhuǎn)譯為熟悉的、容易找到突破口的問題。例如：果園里種了3行桃樹和4行梨樹，桃樹每行有5棵，梨樹每行有7棵，桃樹比梨樹多了幾棵？這一實際問題的條件較多，對于小學(xué)生而言，文字表征顯得混亂，教師可以引導(dǎo)學(xué)生列個簡易表格，將該問題轉(zhuǎn)譯為圖表進(jìn)行表征，如此，學(xué)生就能更快地厘清思路了。再如，小紅有8盒巧克力，小紅給小麗2盒后兩人同樣多，小麗原來有幾盒巧克力？這一實際問題對小學(xué)生的思維要求比較高，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫一畫，將其轉(zhuǎn)譯為圖形進(jìn)行表征，使學(xué)生理解其中的數(shù)量關(guān)系。針對具體問題，靈活選用數(shù)學(xué)表征方式，化難為易，能更好地幫助學(xué)生獲得解題思路。

2.由繁轉(zhuǎn)優(yōu)，提能力

學(xué)生對同一題進(jìn)行不同的表征后，其解題思路也有所差別，出現(xiàn)一題多解，而比較得出最優(yōu)解可以提高學(xué)生的解題速度，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。例如：國慶期間要在馬路的一側(cè)掛上彩旗，第一面是紅旗，第二面是黃旗，第三面是藍(lán)旗，第四面是紅旗，第五面是黃旗，第六面是藍(lán)旗……照這樣掛下去，第10面彩旗是什么顏色的？第30面呢？若要解決這一問題，學(xué)生可以通過去掛一掛（操作表征），或畫一畫（圖形表征）尋求答案，但這樣的解題方式都比較煩瑣，學(xué)生若能夠發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，可采用算式進(jìn)行表征：10÷3=3（組）……1（面），30÷3=10（組）。如此，學(xué)生便能更快更簡潔地解題，逐步提升自己的解題能力。

結(jié)語

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)課程教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識與方法，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）為主。問題解決能力作為“四能”之一，具有十分重要的作用，而數(shù)學(xué)表征作為解決問題的重要策略值得教師重視。教師在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的表征能力，發(fā)展其思維，助力其問題解決能力的提升。

［參考文獻(xiàn)］

［1］唐靜芳.個性化“草圖”表征在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值初探［J］.新課程研究，2021（19）：44-46.

［2］姜湘君.巧用數(shù)學(xué)表征 促進(jìn)問題解決［J］.江蘇教育，2021（18）：75-76.