理解數(shù)學(xué)本質(zhì)凸顯以生為本

陳家才 段志貴

摘 要：在某高中視導(dǎo)過(guò)程中通過(guò)課堂觀察發(fā)現(xiàn)，教師的傳統(tǒng)教學(xué)理念根深蒂固，課堂教學(xué)中教師急著替學(xué)生畫(huà)圖、思考、解題，仍然是教師一講到底，缺乏以生為本的理念，課堂教學(xué)中教師仍然是就題論題，沒(méi)有結(jié)合數(shù)學(xué)固有特性對(duì)課堂內(nèi)容進(jìn)行深度加工.結(jié)合目前課堂教學(xué)中現(xiàn)象，教師如何把握數(shù)學(xué)本質(zhì)設(shè)計(jì)以生為本的課堂是值得研究的問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：傳統(tǒng)教學(xué)理念；數(shù)學(xué)本質(zhì)；以學(xué)為主

1 視導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題

在某高中視導(dǎo)過(guò)程中通過(guò)課堂觀察發(fā)現(xiàn)，教師的傳統(tǒng)教學(xué)理念根深蒂固，課堂教學(xué)中教師急著替學(xué)生畫(huà)圖、思考、解題，仍然是教師一講到底，缺乏以生為本的理念，課堂教學(xué)中教師仍然是就題論題，沒(méi)有結(jié)合數(shù)學(xué)固有特性對(duì)課堂內(nèi)容進(jìn)行深度加工.已有研究認(rèn)為數(shù)學(xué)本質(zhì)是蘊(yùn)含在“數(shù)學(xué)知識(shí)形成”和“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神［1］.結(jié)合目前課堂教學(xué)中現(xiàn)象，教師如何把握數(shù)學(xué)本質(zhì)設(shè)計(jì)以生為本的課堂呢？本文以蘇教版“5.1函數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例探尋以生為本的教學(xué)策略.

2 指向以生為本的函數(shù)概念教學(xué)流程設(shè)計(jì)

以生為本的教學(xué)設(shè)計(jì)離不開(kāi)教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，這是組織和實(shí)施課堂教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是歸宿點(diǎn).為此，教師要知道知識(shí)的來(lái)龍去脈，要厘清知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，要深度分析概念的基本內(nèi)涵，要理解問(wèn)題解決過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想.我們研究指向以生為本的教學(xué)設(shè)計(jì)必須明確“為什么學(xué)”“學(xué)習(xí)什么”“怎么學(xué)習(xí)”“理解學(xué)習(xí)內(nèi)容”“感悟獲得什么”等基本問(wèn)題，充分把握課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的主線，具體流程如下（圖1）.

2.1 明確知識(shí)由來(lái)，揭示為什么學(xué)

從1673年萊布尼茨的手稿創(chuàng)造了“函數(shù)”一詞，到1939年布爾巴基學(xué)派給出函數(shù)的定義，縱看函數(shù)定義的演變過(guò)程，“單值對(duì)應(yīng)”是函數(shù)概念的最本質(zhì)特征.創(chuàng)設(shè)這樣一個(gè)真實(shí)情景：

問(wèn)題1：三峽大壩最大蓄水393億立方米.校核洪水位以下的水庫(kù)容積稱為總庫(kù)容，即水位達(dá)到185.40米時(shí)的蓄水量.水庫(kù)工作人員是借助水庫(kù)里的標(biāo)示水位的桿子知道水位，為什么知道水位就能確定蓄水量？這里的蓄水量與水位有怎樣的關(guān)系呢？

依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程創(chuàng)設(shè)三峽大壩蓄水量與水位關(guān)系的教學(xué)情景，不僅落實(shí)了立德樹(shù)人的根本任務(wù)，提升學(xué)科素養(yǎng)，凸顯以生為本，讓教師扮演助學(xué)、導(dǎo)學(xué)角色，還能使學(xué)生化身已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，把握知識(shí)的本質(zhì).一言以敬之，這種問(wèn)題的切入方式能啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生感覺(jué)過(guò)渡自然，有利于學(xué)生感悟知識(shí)與實(shí)際生活之間關(guān)聯(lián).

2.2 呈現(xiàn)知識(shí)去脈，計(jì)劃學(xué)習(xí)什么

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，為什么現(xiàn)在還要學(xué)習(xí)函數(shù)，這是本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)，在上面問(wèn)題1之后，學(xué)生從初中函數(shù)出發(fā)，回憶“變量說(shuō)”，復(fù)習(xí)函數(shù)的三種表示方法，為后面提出3個(gè)實(shí)例起到前后呼應(yīng)作用，奠定了學(xué)習(xí)新知的基礎(chǔ).

問(wèn)題2：在初中學(xué)習(xí)了“函數(shù)”，請(qǐng)舉出你熟悉的函數(shù)例子.

追問(wèn)1：這位同學(xué)所舉的函數(shù)例子是怎樣表示的？

追問(wèn)2：請(qǐng)你給出初中函數(shù)的概念.

追問(wèn)3：請(qǐng)你分析以下3個(gè)問(wèn)題.

這個(gè)追問(wèn)3是關(guān)鍵，直擊高中為什么還要再學(xué)習(xí)函數(shù)的問(wèn)題，初中函數(shù)是刻畫(huà)兩個(gè)變量的變化過(guò)程，沒(méi)有提到符號(hào)f（x）、定義域、值域，沒(méi)有提及對(duì)應(yīng)關(guān)系.可以預(yù)設(shè)學(xué)生對(duì)追問(wèn)3的3個(gè)問(wèn)題的回答存在爭(zhēng)議，有的同學(xué)說(shuō)y不是x的函數(shù)，有的同學(xué)說(shuō)y是x的函數(shù)，學(xué)生又無(wú)法說(shuō)明是與不是的理由，引出再次學(xué)習(xí)函數(shù)的概念的必要性.

2.3 借助知識(shí)關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)怎么學(xué)習(xí)

本節(jié)的難點(diǎn)是如何借助3個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析，探究3個(gè)實(shí)例共性，高度概括出一般規(guī)律，把握“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的本質(zhì)，讓學(xué)生形成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，使學(xué)生的素養(yǎng)達(dá)到數(shù)學(xué)抽象水平.初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)概念是“變量說(shuō)”，沒(méi)有明確定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，高中函數(shù)的表達(dá)呈現(xiàn)是“集合說(shuō)”，為了重點(diǎn)突出自變量的范圍對(duì)函數(shù)影響，更加符合學(xué)生的認(rèn)知，對(duì)教材中問(wèn)題的順序進(jìn)行了調(diào)整，將第2個(gè)問(wèn)題變成第1個(gè)情景，第1個(gè)問(wèn)題變成第2個(gè)情景，通過(guò)5個(gè)遞進(jìn)式問(wèn)題，讓問(wèn)題的解決過(guò)程能夠可視化.

情景1：一物體從靜止開(kāi)始下落，下落的距離y（單位：m）與下落時(shí)間x（單位：s）之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=4.9x2.若一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎？

追問(wèn)1：若物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎？若物體下落4s，2s？

追問(wèn)2：下落的距離y是下落時(shí)間x的函數(shù)？為什么？

追問(wèn)3：物體靜止時(shí)離地面距離為19.6m，經(jīng)過(guò)3s，你能求出它下落的距離嗎？

追問(wèn)4：在追問(wèn)3的情景下，y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如何表達(dá)才能更準(zhǔn)確呢？

追問(wèn)5：請(qǐng)你完成表1.

追問(wèn)1—2引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解決問(wèn)題溫習(xí)了初中的函數(shù)定義，追問(wèn)3—5指向函數(shù)自變量的取值范圍，讓學(xué)生在追問(wèn)3情景中思考、表達(dá)、反思對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)自變量的取值范圍不一樣，則不是同一個(gè)函數(shù).通過(guò)具體的情景具體的問(wèn)題追問(wèn)3—5，讓數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程變得簡(jiǎn)單易懂.追問(wèn)1—5讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)例—觀察、比較、分析—抽象”的過(guò)程，概括出函數(shù)自變量的取值范圍是函數(shù)必不可少的一部分，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等能力.情景1的探究過(guò)程喚醒了學(xué)生抽象思維，再研究情景2人口數(shù)量變化趨勢(shì)、情景3某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖對(duì)函數(shù)概念的影響，學(xué)生已經(jīng)具備了基本的抽象和分析能力.

從情景1我們研究了函數(shù)的自變量范圍對(duì)函數(shù)的影響，理解了函數(shù)自變量范圍不同，兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).初中時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)自變量、函數(shù)值、函數(shù)關(guān)系，接下來(lái)我們會(huì)研究什么對(duì)函數(shù)的影響呢？學(xué)生類(lèi)比剛學(xué)過(guò)研究函數(shù)自變量范圍的方法，進(jìn)而研究函數(shù)值范圍、函數(shù)關(guān)系對(duì)函數(shù)的影響，從而理解函數(shù)的本質(zhì).

情景2：人口數(shù)量變化趨勢(shì)是我們制定一系列相關(guān)政策的依據(jù).從中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒中可以查得我國(guó)1979—2014年人口數(shù)據(jù)資料（年末）如表2所示，你能根據(jù)該表說(shuō)出我國(guó)人口的變化情況嗎？

追問(wèn)1：1979年我國(guó)人口數(shù)是多少呢？1999年呢？

追問(wèn)2：人口數(shù)是年份的函數(shù)嗎？能寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式嗎？

追問(wèn)3：請(qǐng)你寫(xiě)出人口數(shù)的集合B.

追問(wèn)4：若將集合B改為集合{y1979≤y≤2014}，兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，為什么？

追問(wèn)5：基于追問(wèn)4的分析，你能舉出表示同一個(gè)函數(shù)的例子嗎？為什么？

情景3：圖2為某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖.

追問(wèn)6：全天的最高、最低氣溫分別是多少？上午6時(shí)的氣溫是多少？

追問(wèn)7：氣溫是時(shí)間的函數(shù)嗎？能寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式嗎？

情景2中的追問(wèn)1—5是類(lèi)比情景1的研究方法，依托表格數(shù)據(jù)突出函數(shù)值范圍對(duì)函數(shù)的影響，通過(guò)把有限集集合B變?yōu)闊o(wú)限集集合{y1979≤y≤2014}，讓學(xué)生解釋函數(shù)值集合與函數(shù)值所在集合的關(guān)系，讓學(xué)生在思維的碰撞中去感知，集合的變化依然不改變?cè)瘮?shù)的內(nèi)在本質(zhì)，使學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上得到提升，使學(xué)生感悟到知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，情景3中的追問(wèn)6—7是借助圖象突出“對(duì)應(yīng)關(guān)系”對(duì)函數(shù)的影響，追問(wèn)6全天的最高、最低氣溫分別是多少，學(xué)生根據(jù)圖象可以直接回答出來(lái)，筆者將原來(lái)教材中“上午6時(shí)的氣溫約是多少”改為“上午6時(shí)的氣溫是多少”，通過(guò)新情景的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生觀察、思考交流“氣溫是時(shí)間的函數(shù)？”，經(jīng)歷具體的數(shù)據(jù)之間的對(duì)應(yīng)到一般對(duì)應(yīng)的過(guò)程，學(xué)會(huì)了從細(xì)微之處去分析問(wèn)題，逐步抽象并構(gòu)建完整的函數(shù)概念.

2.4 分析概念內(nèi)涵，理解學(xué)習(xí)內(nèi)容

追問(wèn)8：請(qǐng)你結(jié)合情景1、追問(wèn)3、情景2、情景3的研究完成表3，并尋找四個(gè)情景中的函數(shù)共同特征是什么？

追問(wèn)9：你能給出高中階段函數(shù)的定義嗎？

為了使學(xué)生能自主建構(gòu)出函數(shù)的概念，筆者在課堂教學(xué)中提供追問(wèn)8的表格讓學(xué)生填寫(xiě)，讓學(xué)生在做中學(xué)、做中思、做中悟，經(jīng)過(guò)表格內(nèi)容填寫(xiě)，教師可以根據(jù)學(xué)生課堂反應(yīng)情況，可提出輔助性問(wèn)題：自變量集合能否抽象為一個(gè)“代號(hào)”，對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？函數(shù)值所在集合是什么？然后再提出追問(wèn)9，學(xué)生自己給出函數(shù)的概念就水到渠成，符號(hào)f（x）、定義域、值域也就掌握了，問(wèn)題2中追問(wèn)3也就迎刃而解.通過(guò)“實(shí)例—觀察、比較、分析—抽象—表達(dá)—遷移—建構(gòu)—反思”的過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷“三會(huì)”的過(guò)程，領(lǐng)悟“是什么知識(shí)、如何做知識(shí)”的思考?xì)v程，使學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)得到落實(shí).

2.5 助力思維升華，感悟獲得什么

高中函數(shù)概念的本質(zhì)是在集合視角下實(shí)數(shù)x0與實(shí)數(shù)f（x0）之間的單值對(duì)應(yīng)，把實(shí)數(shù)x0與實(shí)數(shù)f（x0）組合在一起就是（x0，f（x0）），也就是函數(shù)的表示方法之一，也就是從“形”的角度內(nèi)化函數(shù)的概念，可以理解函數(shù)的幾何表示為一個(gè)動(dòng)態(tài)的點(diǎn)，為后面函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式等的兩個(gè)動(dòng)態(tài)的點(diǎn)的剖析做了鋪墊.

例題 已知函數(shù)f（x）=x2+1，

（1） 比較f（-2），f（1），f（3）的大??；

（2） 若0＜x1＜x2，試比較f（x1）與f（x2）的大??；

（3） 比較f（-1）與f（1），f（-2）與f（2），f（-3）與f（3）的大小？

（4） 請(qǐng)思考對(duì)x0∈R，是否有f（x0）=f（-x0）？

本例題是蘇教版第109頁(yè)例6的改編題，上承函數(shù)的概念的理解，下引函數(shù)的圖象，為后面以圖識(shí)性做好準(zhǔn)備.問(wèn)題（1）至（4）層層遞進(jìn)，問(wèn)題（1）與（2）由一個(gè)點(diǎn)的研究轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn)的探究，為學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性積累了思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).問(wèn)題（3）與（4）是在教材的基礎(chǔ)上改編的內(nèi)容，由具體數(shù)字到一般字母相應(yīng)的函數(shù)值大小比較，讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)圖象的對(duì)稱性，為學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性做好了鋪墊.整體上第一個(gè)層面從“形”和“數(shù)”角度出發(fā)理解函數(shù)概念的“輸出”與“輸入”的關(guān)系，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，第二層面為研究視角發(fā)生改變，由一個(gè)點(diǎn)向兩個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)變，兩個(gè)點(diǎn)的研究方法可以借鑒一個(gè)點(diǎn)研究程序，采取特殊到一般的研究順序，為學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式等提供思想和方法的支撐，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的思想.

3 指向以生為本的函數(shù)概念教學(xué)反思

基于上述教學(xué)設(shè)計(jì)，我們經(jīng)過(guò)兩輪教學(xué)改進(jìn)，最終在課堂教學(xué)中獲得令人滿意的教學(xué)成效.總結(jié)這節(jié)課的教學(xué)，我們有以下三點(diǎn)體會(huì).

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)要瞄準(zhǔn)數(shù)學(xué)思想，加強(qiáng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

以生為本的教學(xué)設(shè)計(jì)要整體規(guī)劃，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.教師不僅要把握冊(cè)與冊(cè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系、課時(shí)與課時(shí)之間的關(guān)系、概念之間的關(guān)系，還要從整體上把握知識(shí)的定位.函數(shù)的本質(zhì)是單值對(duì)應(yīng)，把實(shí)數(shù)x0與實(shí)數(shù)f（x0）結(jié)合在一起也就是研究（x0，f（x0）），此時(shí)研究的是一個(gè)點(diǎn)的問(wèn)題，而函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式等是以兩個(gè)點(diǎn)研究為切入點(diǎn)的，因而可以借“一點(diǎn)”研究的力，繼續(xù)研究“兩點(diǎn)”的問(wèn)題.

3.2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)要立足學(xué)情特點(diǎn)，優(yōu)化課堂教學(xué)情景

以生為本的教學(xué)設(shè)計(jì)要把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，站在學(xué)生視角思考問(wèn)題，將學(xué)生轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)的主人，激發(fā)學(xué)生的求知欲.本節(jié)課的內(nèi)容與舊教材比較增加了初中函數(shù)定義的陳述，增加了蘊(yùn)含變量說(shuō)和對(duì)應(yīng)說(shuō)之間本質(zhì)區(qū)別的3個(gè)核心問(wèn)題，部分教師在教學(xué)時(shí)忽略初高中函數(shù)的銜接.在原先設(shè)計(jì)中筆者按照課本情景順序處理，學(xué)生面對(duì)不熟悉情景顯得被動(dòng)接受，在課堂上學(xué)生沒(méi)有進(jìn)行深度思考.為讓學(xué)生能輕松進(jìn)入情景集中思考，筆者對(duì)情景呈現(xiàn)的順序進(jìn)行了調(diào)整.初中的函數(shù)教學(xué)基于具體背景，教材中的情景2物體的下落適合學(xué)生的思維起點(diǎn)，從學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將教材中的情景2調(diào)整為情景1設(shè)置追問(wèn)，有利于學(xué)生深入情景，探究新知.情景1的追問(wèn)是對(duì)函數(shù)概念的再次拷問(wèn)，以此引出再次研究函數(shù)概念的必要性，從而提高學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的能力.

3.3 教學(xué)手段設(shè)計(jì)要選擇合適載體，引領(lǐng)學(xué)生深度領(lǐng)悟

以生為本的教學(xué)設(shè)計(jì)要以核心素養(yǎng)作為教學(xué)目標(biāo)追求，借助三會(huì)，達(dá)成學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是從具體到一般的探究過(guò)程，尋找諸多情景的共性并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以精準(zhǔn)的刻畫(huà).如何讓“核心素養(yǎng)”看得見(jiàn)、講得清，這是教師面臨的一個(gè)困境.本節(jié)課通過(guò)表格填寫(xiě)—觀察表格—共性分析—抽象概括的過(guò)程實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)達(dá)成.具體在本文中出現(xiàn)了2次，情景1的出現(xiàn)順應(yīng)了學(xué)生的思維起點(diǎn)，情景1與追問(wèn)3自變量的集合不一樣，函數(shù)的表達(dá)式一樣，產(chǎn)生思維上的沖擊，引發(fā)學(xué)生深度思考.

另外一次是在情景3中出現(xiàn)的，學(xué)生通過(guò)完成表格，發(fā)現(xiàn)情景1、情景1的追問(wèn)3、情景2、情景3的自變量的集合不一樣，情景1、情景2、情景3的對(duì)應(yīng)關(guān)系是不一樣的，函數(shù)值集合是不一樣的，繼而教師提出輔助性問(wèn)題“自變量集合能否抽象為一個(gè)‘代號(hào)，對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？函數(shù)值所在集合呢”，借助表格填寫(xiě)使學(xué)生處于核心概念的最近發(fā)展區(qū)，使“數(shù)學(xué)抽象”摸得著看得見(jiàn).在這樣的情景中學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)抽象的操作步驟，再次體驗(yàn)特殊到一般思想.

以生為本的課堂要瞄準(zhǔn)素養(yǎng)目標(biāo)，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的情景，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，立足知識(shí)體系整體規(guī)劃，一以貫之.力求在每節(jié)課中落實(shí)以生為本的教學(xué)理念，教師還需要在教學(xué)目標(biāo)、教材分析、學(xué)情分析、活動(dòng)設(shè)計(jì)等方面不斷反思、提煉、實(shí)踐.

參考文獻(xiàn)：

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