分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

朱彥兵

摘 要：等腰三角形在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)十分重要的地位，常常與多個(gè)問題相關(guān)聯(lián)，性質(zhì)靈活多樣，且頂點(diǎn)、角、腰和底邊之間都存在極強(qiáng)的不確定因素.鑒于此，必須要融入分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生在討論中避免漏解的現(xiàn)象，真正提升學(xué)生的解題正確率.本論文就以此切入，結(jié)合常見考試題目，對(duì)分類討論思想的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)地探究，具備極強(qiáng)的參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；等腰三角形；分類討論；解題

結(jié)合學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可知，每一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都存在一個(gè)或者若干個(gè)成立的前提條件，每一種解決方法也有相應(yīng)的適用范圍.在數(shù)學(xué)解題中，有些問題往往存在多個(gè)結(jié)論，必須要將其劃分為若干種情況，并隨即按照不同的情況進(jìn)行探究、解答.這種解題方法在數(shù)學(xué)解題中尤為常見，即：分類討論思想；等腰三角形在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)十分重要的地位，同時(shí)也是考查的熱點(diǎn).但由于等腰三角形性質(zhì)靈活多樣，且三角形的頂點(diǎn)、角、底邊和腰之間都存在極強(qiáng)的不確定性，致使學(xué)生在解題中，頻頻出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象，嚴(yán)重影響了學(xué)生的解題效率.鑒于此，在加強(qiáng)等腰三角形解題教學(xué)時(shí)，就必須要融入分類討論的思想，引導(dǎo)學(xué)生在分類討論中，規(guī)避日常解題中常常出現(xiàn)的錯(cuò)誤現(xiàn)象.

1 分類討論思想在等腰三角形解題中應(yīng)用

1.1 在“等腰三角形邊”中的應(yīng)用

在等腰三角形的一些題目中，常常給出了等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，但卻并未明確指出哪條邊是三角形的腰，哪條邊是三角形的底邊.在這種情況下，如果學(xué)生想當(dāng)然將某一邊作為腰長(zhǎng)，或者將某一邊作為底邊長(zhǎng)，就會(huì)導(dǎo)致解題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.鑒于此，必須要充分借助分類討論思想展開討論，并在此基礎(chǔ)上分情況作答.

例1 已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)是方程x2-6x+8=0的兩個(gè)根.那么，這一等腰三角形的周長(zhǎng)是多少？

解析：這一問題將等腰三角形和二元一次方程進(jìn)行了結(jié)合，難度系數(shù)比較低.但是學(xué)生在解答的時(shí)候，常常出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象.根據(jù)二元一次方程解答得知，兩個(gè)根分別為x1=2，x2=4，但究竟哪個(gè)是腰長(zhǎng)，哪個(gè)是底邊長(zhǎng)并未明確給出來，則必須要展開分類討論：（1） 當(dāng)?shù)走吺?，腰長(zhǎng)為4時(shí)，此時(shí)等腰三角形的邊長(zhǎng)恰恰是4、4、2，符合三角形三條邊之間的關(guān)系定理，因此得出其周長(zhǎng)為4+4+2=10；（2） 當(dāng)?shù)走吺?，腰長(zhǎng)為2時(shí)，此時(shí)等腰三角形的邊長(zhǎng)恰恰是2、2、4，不符合三角形三條邊關(guān)系定理，無法構(gòu)成三角形.因此，這種情況應(yīng)舍取.由此可見，在這一道數(shù)學(xué)題目中，學(xué)生解出方程兩個(gè)根之后，必須要基于題目的內(nèi)容展開分類討論，并結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，才能真正完成題目的解答.

1.2 在“等腰三角形角分類”中應(yīng)用

這一類型的題目與“等腰三角形邊”同樣常見，在題目中常常只給出一個(gè)角的度數(shù)，但該角究竟是等腰三角形的底角還是頂角并未明確說明.在這種情況下，學(xué)生常常將自己算出來的答案，想當(dāng)然地視為頂角，或者底角，致使學(xué)生解答出來的答案不夠全面.

例2 已知三角形ABC中，∠A為40°.當(dāng)∠B是多少度的時(shí)候，該三角形是等腰三角形？

解析：這一道題目難度系數(shù)非常小，但卻是學(xué)生失分最嚴(yán)重的題目.在這一題目中，只給出了∠A的度數(shù)，但該角究竟是三角形的頂角，還是三角形的底角并未直接說明.鑒于此，必須要融入分類討論的思想：（1） 當(dāng)∠A是頂角時(shí)，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，則∠B=∠C=（180°-∠A）÷2=70°；（2） 當(dāng)∠B是頂角時(shí)，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，則∠A=∠C=40°，因此，∠B=100°；（3） 當(dāng)∠C是頂角時(shí)，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，則∠B=∠A=40°.可見，在解答這一類題目時(shí)，唯有融入分類討論的思想，才能避免漏解的現(xiàn)象［1］.

1.3 在“等腰三角形高”中應(yīng)用

三角形的高通常是由三角形的形狀所決定的.對(duì)于等腰三角形來說，當(dāng)頂角是銳角的時(shí)候，三角形腰上的高則在三角形內(nèi)部；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫殁g角的時(shí)候，三角形腰上的高則處于三角形之外.鑒于此，在對(duì)這一類問題進(jìn)行解答時(shí)，必須要融入分類討論思想進(jìn)行解答.

例3 已知等腰△ABC，AB=AC，BD為三角形腰AC邊長(zhǎng)的高.如果高BD與另外一個(gè)腰的夾角為50°，那么等腰△ABC的底角為多少度？

解析：學(xué)生受到慣性思維的影響，在解決這一問題時(shí)，常常會(huì)作出一個(gè)頂角為銳角的等腰三角形（如圖1所示），并未考慮頂角為鈍角的情況（如圖2所示）.但是符合題意的卻存在兩種情況，必須要展開分類討論：（1） 如圖1所示，當(dāng)頂角為銳角時(shí)，根據(jù)題意得知∠ABD=50°，BD⊥AC，由此得出∠A=40°，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°；（2） 如圖2所示，當(dāng)?shù)妊鰽BC頂角為鈍角的時(shí)候，根據(jù)題意得知∠ABD=50°，BD⊥AC，由于AC腰上的高BD位于三角形之外，得出：∠BAC=140°；又AB=AC，∴∠ABC=∠C=20°.由此可見，在對(duì)這一類問題的解答中，必須要擺脫定式思維的束縛，避免人為將等腰三角形設(shè)定為銳角等腰三角形，必須要結(jié)合題目的條件融入分類討論的思想，使得學(xué)生在分類討論中，對(duì)該題目作出全面的解答［2］.

1.4 在“等腰三角形垂直平分線”中應(yīng)用

在等腰三角形類型題目解答中，由于其性質(zhì)比較多，涉及的知識(shí)點(diǎn)也非常多.在諸多知識(shí)點(diǎn)中，三角形的垂直平分線常常是考查的重點(diǎn)，同時(shí)也是易錯(cuò)點(diǎn).尤其是在等腰三角形中，受到頂角大小的影響，一條腰上的平分線與另外一條腰的交點(diǎn)常常存在兩種不同的情況，唯有融入分類討論的思想，方能保障解題的正確性.

例4 已知等腰△ABC，AB=AC，且AB腰上垂直平分線與AB、AC分別相交于D、E點(diǎn)，且垂直平分線與AC腰所夾角的銳角為40°.求等腰三角形的底角為多少？

解析：在對(duì)這一問題進(jìn)行解答的時(shí)候，由于題目中并未給出等腰三角形頂角的度數(shù)，致使其存在兩種可能（如圖3、4所示）.因此，必須要展開分類討論：（1） 當(dāng)?shù)妊鰽BC頂角為銳角的時(shí)候，AB腰上垂直平分線與另外一腰相交于E點(diǎn)，且∠AED=40°.因此，根據(jù)題意得知∠A=50°，∴等腰三角形的底角為65°；（2） 當(dāng)?shù)妊鰽BC頂角為鈍角的時(shí)候，AB腰上垂直平分線與另外一腰相交于延長(zhǎng)線E點(diǎn)，且∠AED=40°.因此，根據(jù)題意得知∠A=130°，∴等腰三角形的底角為25°.

因此，在對(duì)這一問題進(jìn)行解答時(shí)，唯有融入分類討論的思想，結(jié)合頂角大小進(jìn)行分類，才能在解題的時(shí)候，避免漏缺的現(xiàn)象［3］.

1.5 在“等腰三角形存在性”中應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)解題中，判定三角形是否為等腰三角形的題目比較常見，同時(shí)該題目也存在極強(qiáng)的融合性，具備一定的難度.按照常規(guī)的解題思路，學(xué)生在判斷等腰三角形時(shí)，需要對(duì)三角形的兩條邊、兩個(gè)角進(jìn)行判斷，或者基于“三線合一”的逆定理展開判定.但是學(xué)生在解決這一類題目時(shí)，由于題目中并未給出到底是哪兩條邊或者哪兩個(gè)角相等，學(xué)生必須要融入分類討論思想，才能完成該題目的高效解答.

例5 如圖5所示，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，D、E分別是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與三角形的頂點(diǎn)相重合.如果DE∥BC，則以DE為邊長(zhǎng)，在△ABC內(nèi)部作一個(gè)正方形DEFG，若△BDG為等腰三角形，那么AD的長(zhǎng)度為多少？

解析：這一道題目難度系數(shù)相對(duì)比較高，將三角形、正方形融合到一起，具備一定的綜合性.同時(shí)，結(jié)合題意，在解答的時(shí)候，可采用逆推的方式，要想△BDG為等腰三角形，該三角形中必然要存在兩個(gè)相等的邊.但是結(jié)合題目中所給的條件，難以確定出究竟是哪兩條邊相等.鑒于此，必須要融入分類討論思想，才能對(duì)這一題目進(jìn)行全面、正確地解答，即：當(dāng)BD=DG；當(dāng)BG=DG；當(dāng)BD=BG.

2 分類討論思想在等腰三角形解題中應(yīng)用價(jià)值總結(jié)

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分類討論思想的運(yùn)用尤為常見，它不僅僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常見的數(shù)學(xué)解題手段.具體來說，分類討論思想就是在解答數(shù)學(xué)問題之前，對(duì)所要解決的問題進(jìn)行仔細(xì)地觀察和分析，如果無法借助統(tǒng)一的方式進(jìn)行解答，就必須要采用分類討論的方式，對(duì)解決的問題進(jìn)行劃分，對(duì)其各個(gè)擊破.因此，從這一角度上來說，分類討論思想屬于“化整為零”，各個(gè)擊破之后，再“積零為整”.

在等腰三角形的相關(guān)題目中，除了運(yùn)用常規(guī)的思維進(jìn)行解答，還應(yīng)認(rèn)真觀察圖形，及時(shí)融入分類討論思想.經(jīng)過課堂教學(xué)實(shí)踐證明，將這一思想融入到等腰三角形解題中，不僅提升了初中數(shù)學(xué)解題效率和準(zhǔn)確性，也在很大程度上培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).同時(shí)，分類思想的教學(xué)也有助于促使學(xué)生形成一定的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力.分類討論屬于一種非常有效的數(shù)學(xué)思想，將其應(yīng)用到等腰三角形解題中，學(xué)生可通過定理推演求解、系統(tǒng)分析等，也實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，并借助形象的知識(shí)完成抽象概念的理解，在一定程度上發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力；再者，學(xué)生在分類討論的過程中，思維也隨之發(fā)展，更加條理化.同時(shí)，在分類討論的過程中，學(xué)生也逐漸形成了系統(tǒng)化的知識(shí)體系，形成了一定的總結(jié)、概括和分析能力，真正落實(shí)了學(xué)科素養(yǎng)下的要求.

3 結(jié)束語

等腰三角形是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，也是學(xué)生失分率比較高的一類題目.鑒于等腰三角形題目類型的特點(diǎn)，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題的時(shí)候，必須要跳出傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”模式，不僅僅要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用常規(guī)的解題思路，還應(yīng)在必要時(shí)融入分類討論思想，使其在全方位的分析和思考中，完成題目的全面解答.

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