一道?？碱}的逆問(wèn)題及推廣

重慶市銅梁二中 (402560) 田 飛 李 波

某校的高三模擬試卷中,解析幾何題目如下:

已知點(diǎn)P(4,4)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,直線l:y=kx+2與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)設(shè)直線l與拋物線C的交點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)A作與C的準(zhǔn)線平行的直線,分別與直線OP,OB交于點(diǎn)M,N(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:|AM|=|MN|.

1.一般化及逆問(wèn)題

筆者發(fā)現(xiàn):(1)直線l過(guò)定點(diǎn)K(0,2);(2)直線KP恰好是拋物線C在點(diǎn)P處的切線.抓住這兩個(gè)特點(diǎn),考慮將第(2)問(wèn)一般化.

性質(zhì)1 如圖1,過(guò)K(0,a)(a≠0)作拋物線C:y2=2px(p>0)的異于y軸的切線交C于點(diǎn)P,過(guò)K的另一直線l與C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作與y軸平行的直線分別交直線OP,OB于M,N,則|AM|=|MN|.

圖1

在性質(zhì)1中,“KP為切線”是關(guān)鍵的條件,自然的問(wèn)題:性質(zhì)1的逆是否成立?

性質(zhì)2 過(guò)K(0,a)(a≠0)作直線l交拋物線C:y2=2px(p>0)于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線交OB于N.設(shè)M是線段AN的中點(diǎn),直線OM交C于點(diǎn)P,則KP是C的切線.

另一方面,拋物線C在P處的切線方程為yyP=p(x+xP),即px-2ay+2pa2=0.顯然,點(diǎn)K在此切線上,即KP是拋物線C的切線.

2.推廣

為了從更高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)考察性質(zhì)1,需要預(yù)先準(zhǔn)備以下知識(shí).

定義1(極點(diǎn)極線的幾何定義)如圖2,點(diǎn)P不是圓錐曲線Γ上的點(diǎn),過(guò)P引兩條割線依次交Γ于E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.

圖2

引理1 如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在圓錐曲線Γ外時(shí),過(guò)P引Γ的兩條切線PA,PB,則切點(diǎn)弦AB所在的直線為P對(duì)應(yīng)的極線.

引理2 如圖2,MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線,若過(guò)P的直線交MN于K,交Γ于G,H,則P,G,K,H四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

在性質(zhì)1中,KO,KP都是拋物線C的切線,由引理1知,OP是點(diǎn)K關(guān)于C的極線. 圓錐曲線的許多性質(zhì)都能統(tǒng)一起來(lái),那么,性質(zhì)1能否推廣到一般情形,橢圓和雙曲線上是否有相似的結(jié)論?針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,下面將在橢圓上給出肯定的回答.

性質(zhì)3 如圖3,設(shè)點(diǎn)K是橢圓L外任意一點(diǎn),K關(guān)于L的極線交L于P,Q兩點(diǎn),過(guò)K作直線l1交L于A,B,過(guò)A作直線l2//KQ交PQ,QB于M,N,則|AM|=|MN|.

圖3

當(dāng)點(diǎn)K在橢圓L內(nèi)時(shí),有

性質(zhì)4 如圖4,設(shè)橢圓L內(nèi)任意一點(diǎn)K關(guān)于橢圓L的極線為l,過(guò)K的直線交l于點(diǎn)T,交L于A,B兩點(diǎn),過(guò)T作L的切線且切點(diǎn)為P,過(guò)A作平行PT的直線且分別交BP,KP于N,M,則|AM|=|MN|.

圖4

由于K的極線l上任意一點(diǎn)關(guān)于橢圓L的極線必過(guò)點(diǎn)K,且切點(diǎn)P是T關(guān)于L的極線上的點(diǎn),故KP是T關(guān)于L的極線. 因此T,A,K,B構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列. 從而,性質(zhì)4仿照性質(zhì)3的證明得到.

如果我們認(rèn)為,雙曲線兩支的中間部分是雙曲線內(nèi),兩邊是雙曲線外,那么雙曲線上也有與性質(zhì)3和性質(zhì)4平行的結(jié)論.

性質(zhì)5 設(shè)雙曲線L外任意一點(diǎn)K關(guān)于橢圓L的極線為l,過(guò)K的直線交l于點(diǎn)T,交L于A,B兩點(diǎn),過(guò)T作L的切線且切點(diǎn)為P,過(guò)A作平行PT的直線且分別交BP,KP于N,M,則|AM|=|MN|.

性質(zhì)6 設(shè)點(diǎn)K是雙曲線L的內(nèi)任意一點(diǎn),K關(guān)于L的極線交L于P,Q兩點(diǎn),過(guò)K作直線l1交L于A,B,過(guò)A作直線l2//KQ交PQ,QB于M,N,則|AM|=|MN|.