觀察結(jié)構(gòu)特征 思悟內(nèi)在本質(zhì)
——以破解比較大小問(wèn)題為例

江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) (226300) 瞿春波

江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心 (226300) 瞿國(guó)華

從2023年2月的四省聯(lián)考到各地?？?甚至近幾年的高考中,時(shí)常在小題中看到比較大小的“影子”,它往往將冪(指數(shù)及對(duì)數(shù))函數(shù)和三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等聯(lián)系在一起,這類問(wèn)題交匯性強(qiáng),難度較大.本文通過(guò)實(shí)例總結(jié)破解該問(wèn)題的幾種優(yōu)化方法,供參考.

例1 (2023屆四省2月聯(lián)考)已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則( ).

A．|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B. |a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C. |a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D. |a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

點(diǎn)評(píng)：由b的范圍,從特殊情況入手,得a,b,c大小關(guān)系,再用二分法精確a,c的大致范圍,從而去掉絕對(duì)值比大小.另外,用數(shù)形結(jié)合、極限、構(gòu)造函數(shù)等方法也能破解此題.

例2 (2023屆齊魯名校高三二聯(lián))設(shè)a=sin0.2,b=0.2cos0.1,c=2sin0.1,則( ).

A.a

C．b

點(diǎn)評(píng)：作商后,三角化簡(jiǎn),再利用三角函數(shù)線放縮為冪函數(shù)的值,從而比較大小.

A.a

C.b

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

例5 (2020屆濟(jì)南高三二模)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足z·lnx=z·ey=1.則下列關(guān)系式中不成立的是( ).

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)構(gòu)造關(guān)于k(k>0)的三個(gè)函數(shù),結(jié)合圖象,比較函數(shù)值x,y,z的大小.

例6 (2022屆T8高三一聯(lián))設(shè)a,b都為正數(shù),aea+1+b

A．a(chǎn)b>eB.b>ea+1C．a(chǎn)b

點(diǎn)評(píng)：對(duì)條件變形,觀察結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx并確定單調(diào)性,從而得到自變量值的大小關(guān)系.

A．b>a>cB．b>c>a

C．a(chǎn)>b>cD．c>a>b

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)兩次構(gòu)造函數(shù),先比較g(x)函數(shù)值大小,再比較f(x)自變量值大小.

A.a

C.c

例10 (2023屆綿陽(yáng)高三二診理科卷)設(shè)x=e0.03,y=1.032,z=ln(e0.6+e0.4),則( ).

A.z>y>xB.y>x>z

C.x>z>yD.z>x>y

總之,比較大小問(wèn)題,形式多樣,方法靈活,但離不開(kāi)基本知識(shí)和方法,掌握此類問(wèn)題的通性通法,熟練變形技巧與破解策略,從而讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.