例說(shuō)一類含參數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解法

安徽省宿州市碭山中學(xué) (235300) 毛曉偉 王 義

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一直是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn),尤其是當(dāng)其與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)時(shí),解題方法更顯得靈活多變,難度不容小覷,筆者認(rèn)為,函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的基本解決思路及方法可歸納如下:

首先研究函數(shù)f(x)單調(diào)性——自然要借助函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)(或f″(x))——這就需要知曉f′(x)的正負(fù)——往往要利用導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)——或隱零點(diǎn)——利用“隱零點(diǎn)”時(shí)則需借助“變形+構(gòu)造”或“變形+放縮+構(gòu)造”等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)解題目的.

本文結(jié)合我校近期一道含參數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的月考試題為例,一題多解,拋磚引玉.

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x+1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=aex-x+lna,若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

二、解法探究

第(1)題略;本文重點(diǎn)討論第(2)小問(wèn).

思路1:隱零點(diǎn)視角

點(diǎn)評(píng)：本題由于函數(shù)F(x)復(fù)雜,直接分類討論,參變分離,參變半分離等基本方法行不通,故先求導(dǎo),再求單調(diào)區(qū)間,極大值,轉(zhuǎn)化求函數(shù)F(x)極大值大于零,運(yùn)用隱零點(diǎn)設(shè)而不求,消元轉(zhuǎn)化,解法1全部消參換元,進(jìn)而求函數(shù)最值,解法2部分消參,利用不等式放縮,求解最值,解法3部分消參,直接分類討論求參數(shù)的取值范圍.

思路2:同構(gòu)視角

點(diǎn)評(píng)：解法4,解法5從函數(shù)F(x)整體入手,觀察分析,可變形為ln(x+1)+x+1=aex+x+lna,由對(duì)數(shù)恒等式可知,aex=elna+x,x+1=eln(x+1),x+lna=lna·ex,則可構(gòu)造h(x)=ex+x或h(x)=x+lnx在利用函數(shù)單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可分離參數(shù)類型的簡(jiǎn)單函數(shù),進(jìn)而求出參數(shù)a的取值范圍.

思路3:構(gòu)造函數(shù)視角

點(diǎn)評(píng)：解法6參數(shù)半分離,轉(zhuǎn)化兩個(gè)互為反函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為與函數(shù)y=x有兩個(gè)不同交點(diǎn)問(wèn)題,在利用函數(shù)單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可分離參數(shù)類型的簡(jiǎn)單函數(shù),進(jìn)而求出參數(shù)a的取值范圍.