比較大小型高考試題的解法探究

山東省德州市陵城區(qū)第一中學(xué) (253500) 侯懷有

比較大小型試題是高考試題的?？?也是同學(xué)們解題的難點(diǎn),本文從三方面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行精析,幫助同學(xué)們掌握這類(lèi)問(wèn)題的解法.

一、同構(gòu)構(gòu)造

同構(gòu)構(gòu)造針對(duì)的是條件給出一個(gè)等式或不等式的問(wèn)題,將等式或不等式的兩邊整理為結(jié)構(gòu)一致的代數(shù)式,從中歸納總結(jié)抽象出母函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.在整理時(shí),先將兩個(gè)變量分別置于式子的兩邊,若結(jié)構(gòu)相同,即可構(gòu)造函數(shù);若結(jié)構(gòu)不相同,再將其中一個(gè)式子通過(guò)放縮法轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)完全相同的式子.

例1 (2020新課標(biāo)Ⅰ)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ).

A．a(chǎn)>2bB．a(chǎn)<2bC．a(chǎn)>b2D．a(chǎn)

構(gòu)造精析：觀察所給的等式,兩個(gè)變量位于等號(hào)的兩邊,兩邊結(jié)構(gòu)類(lèi)似,都是冪和對(duì)數(shù)的和;但又不完全相同,等號(hào)前面的底數(shù)都是2,而后面都是4.能不能把底數(shù)4化為底數(shù)2呢?可以,根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得4b+2log4b=22b+log2b,但是結(jié)構(gòu)還是不完全相同,再將22b+log2b放縮一下22b+log2b<22b+log22b,就得到了結(jié)構(gòu)完全相同的式子2a+log2a<22b+log22b,再構(gòu)造函數(shù)就水到渠成了.

例2 (2020新課標(biāo)Ⅱ)若2x﹣2y<3-x-3-y,則( ).

A．ln(y-x+1)>0 B．ln(y-x+1)<0

C．ln|x-y|>0 D．ln|x-y|<0

構(gòu)造精析：由于變量x、y沒(méi)有位于式子兩邊,先移項(xiàng)將其變形為2x-3-x<2y-3-y,此時(shí)兩邊結(jié)構(gòu)完全相同,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x-3-x進(jìn)行求解即可.

解：由2x-2y<3-x-3-y,可得2x-3-x<2y-3-y,令f(x)=2x-3-x,則f(x)在R上單調(diào)遞增,且f(x)0,由于y-x+1>1,故ln(y-x+1)>ln1=0．

二、作差構(gòu)造

比較三個(gè)數(shù)大小的問(wèn)題難易不一,對(duì)于比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題,通過(guò)直接運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和中間值即可確定大小,而較難的問(wèn)題需要先作差,然后再根據(jù)式子中數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系,選擇合適的變量,構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).

A．a(chǎn)

C．c

A．a(chǎn)

C．b

三、根據(jù)零點(diǎn)的關(guān)系構(gòu)造

此類(lèi)問(wèn)題與函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān),根據(jù)兩個(gè)零點(diǎn)的取值范圍以及兩零點(diǎn)之間關(guān)系將雙變量式子轉(zhuǎn)化為單變量式子,然后構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解題

“授之以魚(yú),不如授之以漁”.通過(guò)以上三個(gè)方面的精析,引導(dǎo)同學(xué)們從已知代數(shù)式或已知數(shù)的結(jié)構(gòu)特征出發(fā),細(xì)心觀察,大膽猜想,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)函數(shù)并利用其單調(diào)性解決問(wèn)題.另外,構(gòu)造函數(shù)體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化化歸思想,函數(shù)思想等數(shù)學(xué)思想方法的具體運(yùn)用,有效地鍛煉同學(xué)們的觀察能力,直觀想象能力,抽象概括能力,推理論證能力,使同學(xué)們?cè)诮忸}過(guò)程中,不斷經(jīng)歷感知、想象、認(rèn)同、抽象、重構(gòu)等思維過(guò)程,而這正是數(shù)學(xué)新課程核心素養(yǎng)不可或缺的重要內(nèi)容.