“雙新”背景下數(shù)學(xué)建模融入高中數(shù)學(xué)的探究

敖羚峰

［摘? 要］ 隨著教育理念的不斷更新，以及新課改的推進，新課標、新教材、新高考越來越重視對學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)與考查，數(shù)學(xué)建模作為一種重要的數(shù)學(xué)思想與學(xué)科素養(yǎng)，它也變得越來越重要. 但目前中學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)才剛剛起步，缺乏實際案例. 中學(xué)應(yīng)該如何開展數(shù)學(xué)建?；顒幽?？對此，研究者從課堂、活動兩個方面做了思考，設(shè)計了兩個案例并進行實踐，最后提出了教學(xué)策略.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；高中數(shù)學(xué)；案例研究

研究背景

隨著新一輪課改的推進，新的課程標準發(fā)生了較大變化，其中最大的變化就是：將數(shù)學(xué)建模上升為六大核心素養(yǎng)之一，并將其提煉為一條單獨的知識主線. 它指：將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型，從而解決問題.

為了更好地落實數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，新教材中耗費了大量篇幅來講述數(shù)學(xué)建模，甚至還以專欄的形式開辟建模領(lǐng)地. 例如人教A版必修一教材第162頁，設(shè)計了一個“建立函數(shù)模型解決實際問題”專欄，要求學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模型，計算茶水的最佳泡制時間. 再例如人教A版選擇性必修三教材第141頁，設(shè)計了一個“建立統(tǒng)計模型進行預(yù)測”專欄，要求學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)，應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計模型，對城市的空氣情況進行預(yù)測，提出優(yōu)化方案. 這在國內(nèi)教材發(fā)展史上，從來沒有過.

新高考也呼應(yīng)了“雙新”（新課程、新教材）的要求，近幾年的高考中，涌現(xiàn)了大量的數(shù)學(xué)建模試題. 例如2021年全國Ⅰ卷中的剪紙模型，全國Ⅱ卷中的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)模型，全國甲卷（理科）中的三角高程測量法模型；2020年全國Ⅰ卷（理科）中的埃及胡夫金字塔模型，全國Ⅱ卷（理科）中的北京天壇模型，全國Ⅲ卷（理科）中的Logistic模型；2019年全國Ⅰ卷（理科）中的斷臂維納斯模型，全國Ⅱ卷（理科）中的鵲橋模型和印信模型等. 由此可見，數(shù)學(xué)建模在新課改中，占據(jù)著越來越重要的地位.

現(xiàn)狀分析

數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中實施得如何呢？事實上，不太理想. 張思明教授在一次報告中談到他們團隊在全國范圍內(nèi)做了一次大數(shù)據(jù)調(diào)研，調(diào)研從兩個方面展開. 一方面是學(xué)校與教師方面，目前各中學(xué)對數(shù)學(xué)建模的重視度不夠，教師對數(shù)學(xué)建模課程的建設(shè)落實不到位，要么是課時配置不夠，學(xué)生一學(xué)期只能上一到兩次數(shù)學(xué)建模課程，遠遠達不到新課標要求的10課時的標準；要么是落實過程中有一些走樣，通過其他方式替代數(shù)學(xué)建模課程. 其中最為突出的，就是將傳統(tǒng)的解數(shù)學(xué)應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模畫上了等號，即通過傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的講解與練習(xí)替代了數(shù)學(xué)建模過程. 這種處理方式，并未組織學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)問題與模型的過程，因此學(xué)生很難體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 另一方面是學(xué)生方面，在調(diào)研中他們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在課堂中學(xué)習(xí)課本知識的能力是很強的，這表明學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力并不弱. 但是，一旦接觸到現(xiàn)實情境問題時，學(xué)生就會感覺陌生，無從下手，因為他們還不具備將現(xiàn)實情境與數(shù)學(xué)情境相結(jié)合的能力. 所以，加強數(shù)學(xué)建模課程的建設(shè)以及學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)是十分有必要的.

教學(xué)案例

中學(xué)階段究竟應(yīng)該如何開展建?；顒幽?？筆者依據(jù)自己參與建?；顒优c競賽的一些經(jīng)驗，從兩方面談?wù)勛约旱乃伎?

1. 立足教材知識，建設(shè)研討課堂

數(shù)學(xué)建模無處不在，可以說貫穿整個高中數(shù)學(xué)知識體系. 教師講授完某個知識后，可以專門用一到兩節(jié)課的時間，針對該章節(jié)知識，開展課堂研討活動，在活動中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 上海市紀雪穎老師曾開展了“菠蘿中的數(shù)學(xué)”［1］課堂研討活動，本文在此基礎(chǔ)上豐富與完善數(shù)學(xué)建模.

案例1 菠蘿中的數(shù)學(xué).

步驟1 提出問題.

師：同學(xué)們，菠蘿是我們喜歡的水果，吃菠蘿前要削皮去籽兒，去籽兒的方法有很多，能否舉例呢？

經(jīng)過短暫思考，有學(xué)生說豎著切，有學(xué)生說一圈一圈橫著切，這是最容易想到的；還有一個學(xué)生很細心，他說有的水果店是斜著切的.

師：那問題來了，為什么水果店會選擇斜著切呢？難道它比其他兩種方法更優(yōu)秀嗎？能否從數(shù)學(xué)角度進行解釋呢？

步驟2 分析問題.

此時，學(xué)生的新奇感油然而生. 教師再將這個問題細致化分析如下：在去籽兒的過程中，必然會削掉一些果肉，我們當(dāng)然希望削掉的果肉越少越好，因此我們關(guān)注的對象即為果肉損失量. 故原始的實際問題可以提煉為：如何去籽兒才能減少果肉損失量？

步驟3 建立模型.

有了問題，接下來就是建立模型. 教師引導(dǎo)學(xué)生從剛剛學(xué)習(xí)過的立體幾何知識出發(fā)進行思考，很快就有學(xué)生反應(yīng)到：哎，這不就是立體幾何中的最短路徑模型嗎？為了簡化問題，假定切的厚度不變，則削掉的果肉量正好與刀痕的長度成正比，長度越短，損失量也就越少，反之亦然. 此時，學(xué)生已經(jīng)初步具備了建模意識.

為了進一步簡化問題，教師將菠蘿抽象為圓柱體（如圖1所示），其中“點”代表籽兒，“線”代表刀痕. 要解決的問題，進一步轉(zhuǎn)化為了學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問題：怎樣切，才能使線段長度最短？學(xué)生經(jīng)歷從生活語言過渡到文字語言的轉(zhuǎn)化過程，逐步養(yǎng)成了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

步驟4 求解模型.

接著教師提問：怎么計算呢？學(xué)生立即想到幾何體的表面展開圖，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 可以看到，學(xué)生的幾何基本功還是很扎實的. 教師再提問：通盤考慮比較復(fù)雜，能否對其進行簡化呢？接著學(xué)生采用了“特殊化”思想，選取了圖形局部進行思考，并繪制了數(shù)學(xué)圖象（如圖2所示）. 其中，BD代表橫著切，AC代表豎著切，BC代表斜著切. 將線段總長度的計算轉(zhuǎn)化為了兩點之間距離的計算（兩點之間距離越短，線段總長度也就越短），即比較BD，AC，BC的長度. 在這個過程中，學(xué)生應(yīng)用了平面化、特殊化這兩個數(shù)學(xué)思想，順利將立體問題轉(zhuǎn)化為了局部平面問題，從文字語言過渡到了圖形語言，進一步發(fā)展了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

步驟5 回答問題.

最后，學(xué)生利用平面幾何知識進行了計算，得出結(jié)論：對于常見的菠蘿，斜著切是果肉損失最少的切法.

設(shè)計意圖 這節(jié)課，從一個生活小實例出發(fā)，通過課堂研討的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷“從生活中提出問題，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，接著建立數(shù)學(xué)模型，然后求解模型，最后解決問題”的過程. 在整個過程中，學(xué)生直觀感受到了生活中處處有數(shù)學(xué)，體會到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2. 取材校園環(huán)境，建設(shè)實踐課堂

數(shù)學(xué)建模不僅存在于課本之中，還大量存在于課堂之外. 在學(xué)生學(xué)習(xí)生活的校園中，處處有數(shù)學(xué)建模身影. 建筑物的高度、消防演習(xí)疏散方案、運動會3000米的跑法，都可以成為數(shù)學(xué)建模素材.

案例2 應(yīng)用所學(xué)知識，測量名人塑像的高度.

由于學(xué)生第一次正式接觸數(shù)學(xué)建模，因此筆者選了一個容易操作的模型，給學(xué)生布置了一個課題：測量學(xué)校名人塑像的高度. 學(xué)生實踐后撰寫了相應(yīng)報告，下面選取其中兩份，對其進行分析.

（1）應(yīng)用三角知識，構(gòu)建相似模型.

學(xué)生小齊利用的是三角形幾何學(xué)知識，實踐測量后撰寫報告，探究過程共六個步驟.

步驟1 構(gòu)建模型.

小齊利用人高構(gòu)建了相似三角形模型：找準一個A點，使得A點與人的頭頂（即點E）、名人塑像的頭頂（即點C）在同一直線上，再利用△AEF與△ACD相似計算出名人塑像的高度.

步驟2 采集數(shù)據(jù).

小齊在理論分析框架的基礎(chǔ)上，到實地采集數(shù)據(jù). 但采集數(shù)據(jù)時，小齊遇到了困難：如何準確找到A點呢？經(jīng)過思考，小齊想到了相機定位的方式，逆向?qū)ふ褹點的位置：先粗略估計A點的位置，再通過相機拍攝，在一定角度下，移動相機的位置，當(dāng)相機中人的頭頂與名人塑像的頭頂恰好重合時，即可視為三點共線. 這個方法相當(dāng)優(yōu)秀，充分展現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

找到A點后，接著需要測量AF的長度，但是小齊手上沒有米尺可以使用，怎么辦呢？經(jīng)過思考，小齊想到了人體測量法，即利用手臂與腳步來估測長度，多次測量后，得到AF=28×7=196（cm）.

測量DF的長度時，小齊又遇到了阻礙. 由于名人塑像位于一座平臺上，人體測量法只能到達G點，無法得到DG的長度. 但小齊細心地發(fā)現(xiàn)，該平臺有地磚，數(shù)一下磚塊的數(shù)量，再乘上單個磚塊的長度，便可以得到DG的長度. 最終，小齊測量得到DF=836 cm.

步驟3 計算模型.

小齊計算得到tan∠CAD=0.89，故CD=tan∠CAD×AD=918.48 cm. （如圖4所示）

步驟4 分析誤差.

這個結(jié)果與實際高度950 cm相差31.52 cm，有一定的差距，但差距不是很大. 誤差主要源于以下兩方面：①角度的測量. 逆推A點時，只是通過相機粗略估計，不能保證三點（A，E，C）共線，會有一定的偏差. ②距離的測量. 測量AF與DF的長度時，使用的是人體測量法，在行走的過程中，不能保證走的完全是直線，可能會有一定的偏離，產(chǎn)生一定的偏差.

步驟5 改進方案.

從誤差分析來看，后續(xù)可做如下改進：①角度的測量：使用激光筒來確定A點的位置，可使數(shù)據(jù)更加準確. ②距離的測量：使用標準米尺進行測量，并且多測量幾次，然后取平均值.

步驟6 心得體會.

實踐后，學(xué)生感悟如下：①數(shù)學(xué)存在于我們的日常生活中，因此我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要與實際生活聯(lián)系起來. ②起初覺得這個任務(wù)挺簡單，所以本次測量活動的準備不夠充分. 但在實際操作過程中發(fā)現(xiàn)，原來會有很多意想不到的事情發(fā)生，以后一定要提前做好充足準備.

（2）應(yīng)用物理知識，構(gòu)建豎直上拋模型.

除了上述幾何方法外，還有一位學(xué)生小李采用的是物理學(xué)方法.

步驟1 構(gòu)建模型.

小李從物理學(xué)的角度構(gòu)建了豎直上拋模型：由一人拿著小球從身前向上拋出，拋至名人塑像頭部上方（在同一水平面上，A點與塑像頂部同高，M點高于A點），再由另一人記錄小球拋出后第一次到達A點的時間和拋至頂點M的時間，然后運用豎直上拋模型進行計算.

步驟2 采集數(shù)據(jù).

小李興致勃勃地購買了彈力小球，并到實地開展實驗. 但在實踐過程中發(fā)現(xiàn)，第一次到達A點的時間與拋至M點的時間十分接近，很難同時記錄.? 為了保證觀測數(shù)據(jù)更加接近真實值，小李坐在地面上向上拋出彈力小球.

步驟3 計算數(shù)據(jù).

利用采集到的數(shù)據(jù)，計算得到h=9.28 m.

步驟4 分析誤差.

上述數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)之間存在一定差距，該差距主要來自以下幾方面：①重力加速度的值. 本實驗采用的重力加速度g=9.8 m/s2，與實際數(shù)據(jù)有一定差距. ②忽略了空氣阻力的影響. ③人工操作存在誤差. 本實驗為純?nèi)斯げ僮?，無法保證每次拋出的點一致，而且由于身高，拋出點與落地點不可能在同一水平面上. ④人工測量存在誤差. 每次實驗的時間數(shù)據(jù)由人工觀測與記錄，實驗數(shù)據(jù)會受到人工影響.

步驟5 改進方案.

從誤差分析來看，后續(xù)可以做如下改進：①查閱真實的重力加速度，讓實驗數(shù)據(jù)更加精確. ②多人測量：單人測量會受到單人觀測習(xí)慣的影響，多人同時進行觀察，求取平均值，可使獲得的數(shù)據(jù)更接近真實值.

步驟6 心得體會.

實踐后，學(xué)生感悟如下：①感受到了所學(xué)知識在生活中的運用和學(xué)科之間的相互融合，體會到了數(shù)學(xué)的魅力. ②學(xué)到了數(shù)學(xué)建模過程和基本思路. ③由衷地感謝教師的指導(dǎo)和幫助，正是因為教師對教學(xué)有獨特體會和創(chuàng)新，學(xué)生才有了開展此次活動的機會，并有希望在今后的教學(xué)活動中加以推廣.

（3）案例分析.

通過本次實踐活動，讓學(xué)生“做中學(xué)”，體會數(shù)學(xué)建模的實踐過程，滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 從上述兩份案例中，我們認識到，學(xué)生具備以下素質(zhì)：

嚴謹?shù)目蒲袘B(tài)度. 縱觀整個數(shù)學(xué)建模過程，對方案的設(shè)計，學(xué)生經(jīng)歷了多次修改與調(diào)整. 為了獲得真實、準確的數(shù)據(jù)，學(xué)生到實地并開展了多輪實驗，通過求平均值的方式減小誤差. 撰寫報告時，學(xué)生查閱了相關(guān)文獻，按照標準格式進行撰寫. 在整個活動過程中，學(xué)生都秉承嚴謹?shù)目蒲袘B(tài)度.

靈敏的數(shù)學(xué)思維. 兩位學(xué)生在實踐過程中，都遇到了意外：學(xué)生小齊發(fā)現(xiàn)未攜帶米尺等測量工具，而且無法達到塑像底座，所以轉(zhuǎn)而采用了人體測量法；學(xué)生小李發(fā)現(xiàn)無法同時記錄預(yù)想的時間點，于是轉(zhuǎn)化為記錄小球的落地時間. 可以看到，學(xué)生的思維很靈活，沒有因為無法完成測量而放棄，而是思考替代方案. 這正是開展數(shù)學(xué)建模實踐活動的意義所在.

較強的實踐能力. 實踐方案由學(xué)生自主設(shè)計，實驗由學(xué)生到實地開展，數(shù)據(jù)由學(xué)生采用多種方案后采集. 由此展現(xiàn)了學(xué)生較強的實踐能力.

由此可見，學(xué)生的能力超乎我們的想象，給學(xué)生一個機會，學(xué)生將展示無窮的潛力. 因此，在中學(xué)階段開展數(shù)學(xué)建?；顒泳哂锌尚行裕蚕喈?dāng)有必要.

數(shù)學(xué)建模融入高中課程的思考

除了上述兩種方式外，數(shù)學(xué)建模還可以什么方式融入高中課程呢？筆者認為可從以下幾個方面進行.

（1）舉辦校園數(shù)學(xué)建模競賽. 高校之間開展了較為豐富的數(shù)學(xué)建模競賽，例如“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽”“美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽”“‘認證杯數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽”等. 競賽以現(xiàn)實題材為背景，設(shè)計兩三道試題要求參賽學(xué)生三人一組，通過設(shè)計模型、編寫程序、運行程序、生成數(shù)據(jù)、獲得結(jié)果、形成論文等步驟，參與競賽活動. 教研組可以借鑒這種模式，圍繞中學(xué)數(shù)學(xué)知識，開展建模活動. 例如學(xué)習(xí)函數(shù)知識后，可以“探究茶水泡制的最佳時間”為題設(shè)計數(shù)學(xué)建?；顒?；學(xué)習(xí)排列組合知識后，可以“怎樣包裝小包紙巾最省材料”為題設(shè)計數(shù)學(xué)建模活動. 類似的案例還有很多. 學(xué)生報名參加活動，組隊設(shè)計方案，撰寫提交論文，最后由教研組評審，再給優(yōu)秀隊伍頒獎，以此鼓勵學(xué)生積極參與.

（2）開設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課. 除了競賽外，還可以開展數(shù)學(xué)建模選修課. 選修課的開展方式可以分為三種：①呈現(xiàn)理論知識與案例. 由授課教師主講，傳授數(shù)學(xué)建模的相關(guān)理論知識，以及論文撰寫方法，并以具體案例的方式呈現(xiàn)建模方案. ②課堂研討. 給出一些實際問題，如“探究A、B系列復(fù)印紙大小之間的關(guān)系”“教學(xué)中使用的粉筆采用哪種形狀更好”“購置新房，選取哪種貸款方式更合算”［2］，等等. 圍繞這些實際問題，分小組運用所學(xué)知識，開展研討活動. ③實踐活動. 提供實際問題，如“如何描述中學(xué)生的投籃水平和發(fā)展?jié)摿Α? 組織學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源、圖書資源等，設(shè)計描述模型，并通過實地采集數(shù)據(jù)、生成論文報告、課堂交流分享等步驟，培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng).

結(jié)語

數(shù)學(xué)建模對培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力、開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)潛力、發(fā)展數(shù)學(xué)的學(xué)科價值具有十分重要的作用. 但目前數(shù)學(xué)建模融入高中課程的案例較少，因此需要一線教師積極探索，結(jié)合所在學(xué)校的實際情況，開展相關(guān)研究.

參考文獻：

［1］ 紀雪穎. 考察“菠蘿中的數(shù)學(xué)”，培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2008（05）：26-28.

［2］ 賴嘉輝. 數(shù)學(xué)建模融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的案例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（14）：14-16.