隱圓定義在圓錐曲線問題中的應(yīng)用探究

楊來

［摘? 要］ 利用隱圓定義可以解決圓錐曲線相關(guān)問題，即根據(jù)隱圓定義確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，提取圓的方程，進(jìn)而結(jié)合圓的方程來運(yùn)算推導(dǎo). 隱圓定義較多，常用的有定長、距離平方和、張角、距離比值四大定義，文章結(jié)合實(shí)例開展隱圓定義的解題探究及教學(xué)思考.

［關(guān)鍵詞］ 隱圓；定義；圓錐曲線；方程

“圓的方程”是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)考點(diǎn)，實(shí)際考查的問題中可能不會(huì)直接給出圓方程相關(guān)信息，但挖掘、轉(zhuǎn)化、分析題目條件，可以獲得需要的信息，然后推導(dǎo)求解. 對(duì)于一些圓錐曲線問題，可以借助隱圓定義，提取問題中的圓方程求解，下面開展實(shí)例探究及解題思考.

隱圓定義，解題探究

1. 隱圓定義——定長定義

隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長，該定義是基于圓上各點(diǎn)到圓心的距離均相等來構(gòu)建的. 解題時(shí)要關(guān)注題目中的定點(diǎn)位置和動(dòng)點(diǎn)軌跡以及定長，根據(jù)隱圓的第一定義來提取圓的方程.

評(píng)析 在上述問題中，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，兩點(diǎn)滿足定長條件AP=1，根據(jù)隱圓的第一定義可以推導(dǎo)出圓的方程，后續(xù)借助圓的參數(shù)方程完成最值求解. 對(duì)于隱圓第一方程的應(yīng)用，要關(guān)注三大要素，即定點(diǎn)坐標(biāo)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、定長條件，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)方程.

2. 隱圓定義——距離平方和定義

隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值，即圓上動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的平方和為一定值. 該定義可視為關(guān)于圓標(biāo)準(zhǔn)方程的抽象. 實(shí)際求解時(shí)要關(guān)注問題中的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，根據(jù)距離平方和的條件來構(gòu)建代數(shù)方程，確定隱圓情形.

評(píng)析 上述解析利用的是隱圓的第二定義，即根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值這個(gè)條件來構(gòu)建代數(shù)方程，進(jìn)而確定點(diǎn)D的軌跡為圓. 利用該定義推導(dǎo)隱圓，一般分兩步：第一步，建立坐標(biāo)系，推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步，根據(jù)距離的平方和構(gòu)建方程，并轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而確定隱圓.

3. 隱圓定義——張角定義

隱圓的第三定義：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的夾角為90°，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)連線的夾角為90°，則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓. 該定義是基于圓的特性“直徑對(duì)直角”所構(gòu)建的. 實(shí)際求解時(shí)注意開展角度分析，確定其中90°角，進(jìn)而提取圓的方程.

評(píng)析 上述解析借用的是隱圓的90°角定義，即通過幾何分析確定其中的垂直關(guān)系，進(jìn)而確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓，推導(dǎo)出圓的方程. 對(duì)于隱圓的90°角定義的運(yùn)用，有兩種思路：一是開展幾何特性分析，推導(dǎo)張角為90°；二是逆用勾股定理，推導(dǎo)垂直關(guān)系.

4. 隱圓定義——距離比值定義

隱圓的第四定義：到兩定點(diǎn)的距離之比為定值，即構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離，若比值為定值，則該動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓. 實(shí)際解題時(shí)同樣要重點(diǎn)關(guān)注動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，將比值條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，進(jìn)而確定隱圓.

例4 被譽(yù)為古希臘“數(shù)學(xué)三巨匠”之一的數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)不同定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)k（k>0且k≠1），則P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在AB直線上的圓，簡稱“阿氏圓”. 據(jù)此請(qǐng)回答如下問題：

解析 可以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖4所示.

評(píng)析 上述解析利用的是隱圓的距離比值定義，即建立平面直角坐標(biāo)系，算出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合比值條件構(gòu)建代數(shù)方程，進(jìn)而推導(dǎo)出圓的方程. 此類問題解析時(shí)需要注意兩點(diǎn)：一是合理建立平面直角坐標(biāo)系；二是關(guān)注特殊點(diǎn)，準(zhǔn)確確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍.

解題思考，教學(xué)建議

隱圓定義在圓錐曲線問題中有著廣泛的應(yīng)用，利用定義可直接確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，確定圓的方程，充分簡化解題過程. 上述結(jié)合實(shí)例探究了隱圓的四大定義，其解題思路及構(gòu)建過程有一定的參考價(jià)值. 下面進(jìn)一步開展教學(xué)思考，提出幾點(diǎn)建議.

1. 關(guān)注定理定義，挖掘知識(shí)內(nèi)涵

定理定義是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)，也是后續(xù)探究的基礎(chǔ)，探究學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)要關(guān)注教學(xué)中的定理定義，結(jié)合圖象深刻理解其內(nèi)涵，如上述隱圓的張角定義，本質(zhì)上是圓周角定理的衍生. 在實(shí)際教學(xué)中，教師要重視指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圓錐曲線的定理定義，挖掘定理定義的內(nèi)涵，可以采用數(shù)形結(jié)合的方式，即結(jié)合具體圖象，指導(dǎo)學(xué)生完成“定理定義解讀→圖象詮釋→內(nèi)涵挖掘→應(yīng)用探究”的系統(tǒng)學(xué)習(xí).

2. 總結(jié)隱圓定義，探究總結(jié)應(yīng)用

上述是利用隱圓的四大定義破解圓錐曲線問題的具體過程，涉及定長定義、距離平方和定義、張角定義、距離比值定義，不同定義適用于不同的問題情形，解題時(shí)要注意解析題設(shè)條件，確定問題類型，再結(jié)合隱圓定義來確定方法. 在探究教學(xué)中，教師要從三點(diǎn)進(jìn)行引導(dǎo)：一是引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)隱圓定義，分析對(duì)比不同定義的異同點(diǎn)，掌握不同定義適用的問題情形；二是引導(dǎo)學(xué)生掌握不同隱圓定義的解題思路，包括分析過程、解題構(gòu)建、注意事項(xiàng)等；三是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用探究，結(jié)合實(shí)例具體講解，讓學(xué)生內(nèi)化吸收，形成自我的解題策略.

3. 挖掘解題思想，提升綜合素養(yǎng)

使用隱圓定義解題涉及眾多思想方法，如化歸轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)造、數(shù)形結(jié)合等，實(shí)則是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下完成思路構(gòu)建、運(yùn)算解析等. 因此，教學(xué)中教師要合理滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生掌握思想內(nèi)涵，掌握利用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題構(gòu)建的技巧. 關(guān)于思想方法的教學(xué)滲透，教師可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行：一是開展定義講解，闡述思想方法的本質(zhì)內(nèi)涵，以及解題的重點(diǎn)，如利用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)圖形與運(yùn)算的分析緊密配合，由“數(shù)”構(gòu)“形”，以“形”釋“數(shù)”；二是解題過程中詳細(xì)講解思想方法，可結(jié)合具體問題進(jìn)行過程拆解，讓學(xué)生思考重點(diǎn)步驟所使用的數(shù)學(xué)思想方法，從而具體感知思想方法的應(yīng)用.

寫在最后

利用隱圓的四大定義可高效破解圓錐曲線相關(guān)問題，通常解題過程可以分為兩個(gè)階段：一是解析條件，利用定義構(gòu)建隱圓，推導(dǎo)圓的方程；二是結(jié)合圓的方程開展分析推算，求解問題. 在探究教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻理解隱圓定義，歸納總結(jié)定義，講解使用技巧，結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化解題應(yīng)用，同時(shí)關(guān)注學(xué)生的思維培養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).