直觀想象素養(yǎng)導(dǎo)向的立體幾何教學(xué)研究

李靜依

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但在課堂教學(xué)中如何培養(yǎng)核心素養(yǎng)仍是一大難題.本研究以新教材立體幾何證明的開(kāi)篇課“直線與平面平行”為例，通過(guò)借助幾何直觀幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)引入判定定理的必要性，構(gòu)建幾何直觀模型發(fā)現(xiàn)和論證判定定理與性質(zhì)定理，嘗試將內(nèi)隱的直觀想象核心素養(yǎng)外顯化到具體的教學(xué)環(huán)節(jié)中，借助幾何直觀使抽象問(wèn)題形象化，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而落實(shí)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：直觀想象；線面平行；內(nèi)隱素養(yǎng)外顯化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（下稱(chēng)《高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)》）提出要在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］.課堂教學(xué)是落實(shí)核心素養(yǎng)的主要陣地，但在實(shí)際教學(xué)中，教師如何落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)？

《高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)：直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)［1］.立體幾何是提升直觀想象素養(yǎng)的重要載體，“直線與平面平行”是高中立體幾何證明學(xué)習(xí)的開(kāi)篇課，對(duì)后續(xù)建立線線、線面、面面平行與垂直的知識(shí)體系，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)具有示范引領(lǐng)作用.因此研究首先明確直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵，以“直線與平面平行”為例，嘗試將內(nèi)隱的直觀想象素養(yǎng)外顯化到教學(xué)活動(dòng)中，進(jìn)一步落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，為后續(xù)立體幾何教學(xué)提供參考.

1 “直觀想象”素養(yǎng)的內(nèi)涵

《高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)》將直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵概括為：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.其外延包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路［1］.

學(xué)者們?cè)谘芯恐幸蔡岢隽藢?duì)直觀想象能力內(nèi)涵的理解：徐德同和錢(qián)云祥認(rèn)為直觀想象是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象，本質(zhì)上是一種基于圖形展開(kāi)想象的思維能力［2］.胡鳳娟等認(rèn)為“直觀想象”是運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力；通過(guò)幾何直觀洞察表面現(xiàn)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，抓住事物的本質(zhì)［3］.朱立明認(rèn)為直觀想象即借助幾何直觀來(lái)生動(dòng)形象地描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維之間的轉(zhuǎn)換；空間想象則是掌握描述空間圖形的符號(hào)語(yǔ)言，空間圖形與直觀圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，能夠?qū)臻g幾何體進(jìn)行分解與組合，并分析新幾何體的數(shù)量和位置關(guān)系［4］.

通過(guò)文獻(xiàn)梳理，學(xué)者們對(duì)直觀想象的內(nèi)涵基本上都引用了教育部髙中新課標(biāo)給出的界定.因此，本文將直觀想象能力的概念界定為：借助幾何直觀和空間想象理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.幾何直觀借助直觀化的圖形，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化；空間想象則對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析、抽象及思考和構(gòu)造創(chuàng)新，包括認(rèn)識(shí)事物的構(gòu)成要素、結(jié)構(gòu)特征、位置關(guān)系、形態(tài)變化和運(yùn)動(dòng)規(guī)律等.

2 “直線與平面平行”教學(xué)設(shè)計(jì)

新教材對(duì)“空間直線、平面的平行”的內(nèi)容編排進(jìn)行了調(diào)整，以往2003版是將線面平行的判定和性質(zhì)分開(kāi)，在單元教學(xué)中先完成線面平行、面面平行的判定再轉(zhuǎn)向性質(zhì)的探究，而新教材則將兩課時(shí)合并，在研究線面平行的判定后轉(zhuǎn)向性質(zhì)的研究，更注重思維的連續(xù)性.本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一是發(fā)現(xiàn)并論證線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，需要解決三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是線面平行判定定理引入的必要性；二是如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并論證線面平行的判定定理；三是在學(xué)習(xí)判定定理后如何自然過(guò)渡到性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)和論證.

根據(jù)直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵，建立數(shù)與形的聯(lián)系、借助幾何直觀使抽象問(wèn)題形象化、構(gòu)建直觀模型使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化是落實(shí)直觀想象素養(yǎng)的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，本文借助幾何直觀幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)判定定理的必要性，構(gòu)建幾何直觀模型發(fā)現(xiàn)和論證判定定理和性質(zhì)定理，從而解決三個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題并落實(shí)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.1 借助幾何直觀形成認(rèn)知沖突，明確學(xué)習(xí)判定定理的必要性

在教學(xué)導(dǎo)入時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與平面的位置關(guān)系及判定方法，為了明確學(xué)習(xí)判定定理的必要性，提出以下問(wèn)題.

核心問(wèn)題1：“線在面內(nèi)和線與面相交從直觀上易判斷直線與平面的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，如何判斷線面平行呢？”在得到學(xué)生用線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)的方法判斷線面平行時(shí)，追問(wèn)：“圖1中直線a與平面α平行嗎？直線是無(wú)限延伸的，平面也是無(wú)限延展的，用直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)來(lái)判斷線面平行是否方便？”

將圖1設(shè)置成動(dòng)畫(huà)，展示直線無(wú)限延伸、平面無(wú)限延展的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生用定義去判定線面平行存在困難，需要引進(jìn)一個(gè)更易于操作的方法來(lái)判斷線面平行，明確學(xué)習(xí)判定定理的必要性.

【設(shè)計(jì)意圖】在導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，回顧直線和平面的三種位置關(guān)系及判斷依據(jù)，結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)通過(guò)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷線在面內(nèi)、線面相交較為容易，但構(gòu)建的“直線無(wú)限延伸、平面無(wú)限延展”幾何直觀與學(xué)生已有的判斷線面平行的方法形成認(rèn)知沖突，明確學(xué)習(xí)判定定理的必要性.

2.2 從實(shí)例中抽象出幾何直觀模型，發(fā)現(xiàn)判定定理的關(guān)鍵要素

線面平行判定定理的證明難度不大，關(guān)鍵在于如何明確判定定理的關(guān)鍵要素，以往教師在授課時(shí)大多數(shù)是讓學(xué)生觀察實(shí)例，從而得出判定定理及證明，但定理?xiàng)l件的發(fā)現(xiàn)較為突兀，本文則通過(guò)構(gòu)建幾何直觀模型，通過(guò)“直觀感知—操作確認(rèn)—推理論證—思辨分析”，小步子引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)判定定理.

2.2.1 直觀感知

結(jié)合教材中“觀察門(mén)和書(shū)本轉(zhuǎn)動(dòng)”判斷線面平行位置關(guān)系的具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生初步感知直線與平面平行的模型，將感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為理性思考.

2.2.2 操作確認(rèn)

核心問(wèn)題2：我們觀察到上述兩個(gè)例子，直線和平面是平行的，那是什么因素讓我們有這樣的感受呢？借助直角梯形紙板做個(gè)小實(shí)驗(yàn)：

（1） 將直角梯形的下底邊BC緊靠桌面，并繞BC轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察上底邊AD所在直線與桌面所在平面的位置關(guān)系.

（2） 將直角梯形的直角腰AB緊靠桌面，并繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察斜腰CD所在直線與桌面所在平面的位置關(guān)系.

學(xué)生易觀察出第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中直線AD和平面平行，第二個(gè)實(shí)驗(yàn)直線CD和平面不平行.

追問(wèn)：上述演示的直線與平面的位置關(guān)系為何不同？關(guān)鍵是什么要素在起作用？

學(xué)生易發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果不同的原因在于第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中直線AD和BC平行，第二個(gè)實(shí)驗(yàn)直線CD和AB不平行.從而確定判定直線與平面平行關(guān)鍵在三個(gè)要素：① 平面外一條線；② 平面內(nèi)一條直線；③ 這兩條直線平行，進(jìn)一步得出線面平行的判定定理：aα，bα且a∥ba∥α.

2.2.3 推理論證

猜想 如果平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.

2.2.4 思辨分析

核心問(wèn)題3：能否從定義的角度對(duì)判定定理進(jìn)行辨析？

因?yàn)閍∥b，所以?xún)蓷l直線沒(méi)有公共點(diǎn)；在平面α內(nèi)平移b，得到直線c，根據(jù)平行公理可得a∥c.前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)推理3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.無(wú)數(shù)條與a平行的直線“鋪滿”平面α，則平面α內(nèi)的任一點(diǎn)均在直線a的某條平行線上，于是直線a與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，即a∥α.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)“直觀感知—操作確認(rèn)—推理論證—思辨分析”的認(rèn)識(shí)方法，讓學(xué)生經(jīng)歷線面平行判定定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，進(jìn)一步滲透化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.其中在判定定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，除了對(duì)生活實(shí)例進(jìn)行抽象，還設(shè)計(jì)了“梯形實(shí)驗(yàn)”，抽象出幾何直觀模型引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)判斷線面平行的關(guān)鍵要素，培養(yǎng)學(xué)生借助直觀模型和空間想象分析、解決問(wèn)題的意識(shí).

2.3 引入線、面構(gòu)建幾何直觀模型，發(fā)現(xiàn)并論證性質(zhì)定理

新教材將“線面平行判定定理和性質(zhì)定理”進(jìn)行合并，在研究線面平行的判定后轉(zhuǎn)向性質(zhì)的研究，更注重思維的連續(xù)性，在教學(xué)中如何建立性質(zhì)定理與判定定理的緊密聯(lián)系？本文將在原有模型中引入線、面，構(gòu)建新的幾何直觀模型，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并論證線面平行的性質(zhì)定理.

核心問(wèn)題4：已知a∥α，直線a與平面α內(nèi)的直線有怎樣的位置關(guān)系？由定義易發(fā)現(xiàn)平面α內(nèi)的直線與直線a平行或異面.追問(wèn)：那么在什么條件下，平面α內(nèi)的直線與直線a平行呢？

追問(wèn)：在上述模型中，我們引入的是過(guò)直線a的平面β，從而發(fā)現(xiàn)了線面平行的性質(zhì)定理，是否可以加入其他的直線或平面，它們與已知的直線、平面會(huì)有怎樣的位置關(guān)系？

如圖6，在原有線面平行模型的基礎(chǔ)上，引入與直線a平行的平面β，且平面β與平面α相交，那么直線a與兩個(gè)平面的交線b平行.如圖7，在平面α外引入與直線a平行的直線b，那么直線b也與平面α平行.

【設(shè)計(jì)意圖】從尋找線面平行的必要條件出發(fā)，通過(guò)猜想能否從線面平行推出線線平行，將平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間問(wèn)題，再一次滲透化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)是在原有線面平行的模型中，引入過(guò)直線a且與平面α相交的平面β，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考能否從已有的位置關(guān)系出發(fā)，加入同類(lèi)元素（線、面）組成新的直觀模型，發(fā)現(xiàn)模型中的一些確定關(guān)系.

3 教學(xué)思考

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的思路

為了解決前文提到的三個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)合新教材做了如下處理：① 在課程導(dǎo)入時(shí)動(dòng)態(tài)展示直線無(wú)限延伸，平面無(wú)線延展，發(fā)現(xiàn)用定義判斷線面平行不易操作，明確學(xué)習(xí)線面平行判定定理的必要性，從而解決關(guān)鍵問(wèn)題一.② 在判定定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，除了引用教材中讓學(xué)生觀察門(mén)和書(shū)本轉(zhuǎn)動(dòng)的具體實(shí)例，還構(gòu)建了“直角梯形”直觀模型，抽象出幾何直觀模型引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)線面平行的三個(gè)關(guān)鍵要素；在判定定理的論證過(guò)程中，采用反證法和思辨論證分析相結(jié)合.根據(jù)平行線的傳遞性，直線平行于平面無(wú)數(shù)條直線，由“線動(dòng)成面”得出直線與平面沒(méi)有交點(diǎn)，從而證明線面平行，此過(guò)程學(xué)生可以接受，但根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知，由直線判斷直線是否平行于平面，大部分學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)是會(huì)從直線與平面沒(méi)有交點(diǎn)的角度來(lái)論證，因此本教學(xué)設(shè)計(jì)在思辨分析的前面增加了反證法，即先通過(guò)交點(diǎn)個(gè)數(shù)論證，再結(jié)合“線動(dòng)成面”回歸定義進(jìn)一步解釋?zhuān)容^符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從而解決關(guān)鍵問(wèn)題二.③ 對(duì)于性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與論證，則通過(guò)邏輯推理引導(dǎo)學(xué)生探究在線面平行條件下線線的位置關(guān)系（異面或平行），再過(guò)渡到線線平行這種特殊的位置關(guān)系.在論證過(guò)程中，通過(guò)在原有線面平行的模型中，加入同類(lèi)元素（線、面）組成新的模型，借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)并論證線面平行的性質(zhì)定理，邏輯清晰容易理解，從而解決關(guān)鍵問(wèn)題三［5］.教學(xué)結(jié)合數(shù)學(xué)問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，拋出關(guān)鍵問(wèn)題，教學(xué)過(guò)程層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣，符合學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)和基本認(rèn)知規(guī)律.

3.2 教學(xué)中滲透直觀想象素養(yǎng)

本節(jié)課的另一教學(xué)目標(biāo)是在教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)，在本節(jié)課的教學(xué)中，從課程導(dǎo)入（借助線面位置關(guān)系幾何直觀分析問(wèn)題）——判定定理的發(fā)現(xiàn)及論證（借助梯形實(shí)驗(yàn)抽象出線面平行的直觀模型，明確判定定理的關(guān)鍵要素）——性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)及論證（引入不同的線、面構(gòu)建不同的直觀模型），將內(nèi)隱的直觀想象素養(yǎng)外顯化到具體的教學(xué)環(huán)節(jié)中，借助幾何直觀理解問(wèn)題、運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物、構(gòu)建幾何直觀模型探索問(wèn)題等，較好地培養(yǎng)學(xué)生直觀想象這一核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的落實(shí)是一線教師的難題，核心素養(yǎng)不能停留在內(nèi)隱層面，不能只是空洞的理念，而應(yīng)當(dāng)積極走向外顯，用顯性的行為實(shí)踐隱性的意圖［6］.本設(shè)計(jì)在確立素養(yǎng)目標(biāo)后將其分解到一個(gè)個(gè)具體的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師必須對(duì)課標(biāo)進(jìn)行深入的分析，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容明確本單元、本課時(shí)的核心素養(yǎng)目標(biāo)，將具體目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，把核心的理念轉(zhuǎn)化為外顯的數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展過(guò)程，從而隱性地發(fā)展核心素養(yǎng).

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