遇“數(shù)”不惑　尋“形”而導(dǎo)

胡艷英

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)時，數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合才是王道.“數(shù)”與“形”相關(guān)聯(lián)，讓抽象的數(shù)學(xué)知識“有形可尋”，學(xué)生在具體形象中掌握知識的本質(zhì)屬性，進(jìn)行深度學(xué)習(xí).本文通過研究三下第四單元練習(xí)中的一道習(xí)題，深度挖掘教學(xué)材料內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索與數(shù)學(xué)本質(zhì)，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體性，有效提升學(xué)生的深度學(xué)習(xí)水平，讓學(xué)生經(jīng)歷伴隨學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；深度學(xué)習(xí)；高階思維

深度學(xué)習(xí)是一種基于理解的學(xué)習(xí)，是指學(xué)習(xí)者以高階思維的發(fā)展和實(shí)際問題的解決為目標(biāo)，以整合的知識為內(nèi)容，積極主動地、批判地學(xué)習(xí)新的知識和思想，并將它們?nèi)谌氲皆械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，且能將已有的知識遷移到新的情境中的一種學(xué)習(xí).小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)則是在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》也明確提出了“四基”，即學(xué)生通過學(xué)習(xí)，獲得必需的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn).從傳統(tǒng)的“雙基”演變成現(xiàn)在的“四基”，新添加的基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)其實(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)素養(yǎng)如何培養(yǎng)重在學(xué)生的思考和實(shí)踐，由此可見，學(xué)生學(xué)會深度學(xué)習(xí)、真正參與其中的教育教學(xué)活動是至關(guān)重要的.但在實(shí)際教學(xué)中，教師們在對具體內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，往往會比較過多地關(guān)注學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握、關(guān)注某個生動的例子或者某個有趣的課外拓展等，而忽視了學(xué)習(xí)素材內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索與數(shù)學(xué)本質(zhì)，忽視了學(xué)生深度學(xué)習(xí)的真正發(fā)生.

筆者認(rèn)為有價值的學(xué)習(xí)材料需要教師去深度挖掘其內(nèi)在數(shù)學(xué)本質(zhì)，并以此設(shè)計(jì)有意義、面向問題解決的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生從淺層學(xué)習(xí)走向深層學(xué)習(xí)，追求對學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng).

1 探索——深度學(xué)習(xí)的核心教學(xué)內(nèi)容

深度學(xué)習(xí)以理解為前提，而不是機(jī)械的記憶.要想學(xué)生在課堂上經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的過程，首先教師就要對數(shù)學(xué)素材進(jìn)行深度挖掘，像這樣有價值的素材有很多，比如現(xiàn)行人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》三年級下冊第四單元《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》第51頁練習(xí)十一中有一道通過計(jì)算找規(guī)律的題目.“計(jì)算下面第一列各題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請根據(jù)規(guī)律直接填寫其他各題的得數(shù).15×15= 25×25= 35×35= 45×45= 55×55= 65×65= 75×75= 85×85=”

這些算式乘數(shù)的十位上的數(shù)字相同，個位上的數(shù)字之和為十，像這樣的算式叫頭同尾合十，計(jì)算此類算式時是有特殊并且快速的巧算方法，但學(xué)生只通過這樣的計(jì)算題的形式是否能真正掌握此類題目的巧算方法呢？因此，筆者用問卷調(diào)查的方法采訪了學(xué)校四年級學(xué)生，通過問卷調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生知道頭同尾合十算式并能正確利用巧算規(guī)律計(jì)算只占13.2%.詢問相關(guān)教師后發(fā)現(xiàn)，教師只是讓學(xué)生做一遍后說一說發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，讓學(xué)生機(jī)械記憶這個巧算規(guī)律的結(jié)論，而且結(jié)論是通過不完全歸納法得出的，沒有經(jīng)過演繹的推理過程，在學(xué)生的腦子里根本沒有留下烙印，過一段時間就遺忘了.說明在實(shí)際的教學(xué)過程中，許多數(shù)學(xué)教師對教材的認(rèn)識不夠深刻，忽視了一些練習(xí)題所擔(dān)負(fù)的使命，沒有去深度挖掘此題背后的本質(zhì)內(nèi)涵.

筆者仔細(xì)研讀教材后也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)完筆算進(jìn)位乘法之后，在教材的練習(xí)中的確出現(xiàn)了此題.因此，筆者對這一學(xué)習(xí)材料進(jìn)行深入研究，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索與數(shù)學(xué)本質(zhì)，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生展開數(shù)學(xué)探索活動，讓學(xué)生知其然而不知其所以然，以期促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的真正發(fā)生.

2 經(jīng)歷——深度學(xué)習(xí)的豐富教學(xué)活動

深度學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在于關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).通過深度學(xué)習(xí)的教學(xué)過程，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的核心知識，經(jīng)歷有意義的學(xué)習(xí)過程，把握所學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)所學(xué)內(nèi)容的思維方法，促進(jìn)學(xué)生關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展，形成積極的情感、態(tài)度.在實(shí)踐教學(xué)中，如果能讓經(jīng)歷助力成長，它能最大化激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，同時也能讓學(xué)生充分感受到學(xué)習(xí)的樂趣和成長的快樂.

例如在這一題一課的教學(xué)過程中，學(xué)生通過頭同尾合十題目的計(jì)算后，可以顯而易見地得出頭同尾合十的巧算規(guī)律，但如何讓學(xué)生證明這個巧算規(guī)律，把握這個規(guī)律的數(shù)學(xué)本質(zhì)呢？其實(shí)很多數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，又有“形的特征”，只有從這兩方面來認(rèn)識它們，才能更好地理解并掌握它們的本質(zhì)意義.而此題內(nèi)容就符合這樣的“數(shù)”與“形”的特征，通過數(shù)形結(jié)合，經(jīng)歷3種不同的教學(xué)活動，讓學(xué)習(xí)內(nèi)容變得更形象、更生動，逐步培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)與形之間化歸與轉(zhuǎn)化的意識，讓學(xué)生在深度探究中提升綜合素養(yǎng)，發(fā)展多方面的能力.

2.1 算理明悟：“數(shù)”中尋“形”，初建模型

深度學(xué)習(xí)的課堂應(yīng)立足于學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)的激發(fā)和保持.只有真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，并不斷地保持學(xué)習(xí)動機(jī)，學(xué)生才能真正融入到整個課堂學(xué)習(xí)中.這就要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，為學(xué)生提供豐富的、富有挑戰(zhàn)色彩的研究性問題，以此來促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

例如在這一課的教學(xué)中，我們通過前測，了解了已經(jīng)知道頭同尾合十巧算規(guī)律的學(xué)生，化身記者采訪他們快速計(jì)算的秘密，并提問其他學(xué)生“為什么可以這樣算？”，因?yàn)橹挥欣斫饬怂憷淼挠蓙聿拍苷嬲莆账惴ā叭绾斡?jì)算”.接著讓學(xué)生自己在“數(shù)”中尋找“形”，把問題轉(zhuǎn)化為圖形去解決問題，這樣直觀的呈現(xiàn)，易于學(xué)生的理解和接受.學(xué)生在探究知識點(diǎn)隱含著的深意、領(lǐng)悟巧算算理的過程中，學(xué)生的建模思維得到發(fā)展，形成抽象的巧算方法，真正展開知識的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

【教學(xué)片段截取】

實(shí)踐證明，學(xué)生對于巧算算理和算法的理解，不應(yīng)該僅僅停留在機(jī)械的記憶上，而是應(yīng)該建立在對知識點(diǎn)的本質(zhì)理解之上.算理教學(xué)中教師也往往要引導(dǎo)學(xué)生，用數(shù)聯(lián)系形，以形詮釋數(shù)，在關(guān)聯(lián)和對比中直擊了知識重點(diǎn)，直觀中明晰了算理，抽象中掌握了算法.在這樣的學(xué)習(xí)動機(jī)的激發(fā)和保持中，學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不斷積累，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的深度發(fā)生.

2.2 矛盾沖突：“形”中驗(yàn)“數(shù)”，打破模型

深度學(xué)習(xí)的課堂應(yīng)著眼于高階思維的運(yùn)用.美國教育學(xué)家布魯姆按照認(rèn)知的復(fù)雜程度，將思維過程具體劃分為6個目標(biāo)，由低到高包括記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造.其中記憶、理解和應(yīng)用稱為低階思維；分析、評價和創(chuàng)造被稱為高階思維.因此在要想促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，還應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會分析、評價與創(chuàng)造.

例如，在這一課教學(xué)中，先讓學(xué)生用前期積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)快速搶答31×39、54×56、43×57、27×26這四個算式的答案，接著利用計(jì)算器來進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)生矛盾沖突，為什么43×57、27×26就不適用了呢？教學(xué)中創(chuàng)建知識沖突，再次讓學(xué)生運(yùn)用“形”的直觀性，厘清差異，經(jīng)歷高階思維來促進(jìn)學(xué)生對只有符合頭同尾合十的算式的才有這一巧算規(guī)律的理解，提升學(xué)生思維.

【教學(xué)片段截取】

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非.”用數(shù)與形的關(guān)聯(lián)，把抽象轉(zhuǎn)化成具象，在直觀圖中找尋數(shù)的特征，把內(nèi)在的數(shù)學(xué)知識展現(xiàn)出來，在多元表征中讓學(xué)生建立模型.而且也讓學(xué)生明白巧算規(guī)律的探索可以運(yùn)用圖形變換，用更形象、直觀的表征方式突破難點(diǎn)，追溯巧算規(guī)律的根本，理解巧算算理的本質(zhì)，順藤摸瓜掌握巧算算法以達(dá)到靈活的應(yīng)用.

2.3 對比歸納：借“形”理“數(shù)”，透析內(nèi)涵

深度學(xué)習(xí)不是一蹴而就的活動，是持續(xù)的知識積累的過程.在教學(xué)中通過觀察發(fā)現(xiàn)、提出猜想、推理驗(yàn)證、歸納總結(jié)等一系列的活動，能充分調(diào)動學(xué)生手、眼、腦等多種感官地積極參與，使得學(xué)生的思維更具有主動性和創(chuàng)造性.

例如，在這一課教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷種種探索過程后，對比區(qū)別、歸納整理，借助幾何直觀，探索完整的巧算規(guī)律，揭示巧算規(guī)律的本質(zhì)和內(nèi)在的屬性，一層層地深入，達(dá)到學(xué)生與知識的深度對話，從而建立模型，形成概念.

【教學(xué)片段截取】

重點(diǎn)討論：那么怎么樣的算式有這樣的巧算規(guī)律呢？怎么樣的算式?jīng)]有？為什么呢？

歸納總結(jié)：“十位數(shù)字相同，個位上的數(shù)字相加等于十”這樣的兩位數(shù)乘兩位數(shù)稱為“頭同尾合十”，它的巧算規(guī)律：頭乘（頭+1）的積作為積的前兩位；兩個乘數(shù)個位數(shù)相乘作為積的后兩位.

事實(shí)證明，在這樣的建模、破模再建模的過程中，讓學(xué)生深刻理解頭同尾合十算式的概念內(nèi)涵，并借助幾何直觀，探索出計(jì)算頭同尾合十算式的巧算規(guī)律，即乘積=［頭×（頭+1）］×100+尾×尾，使得學(xué)生對這一巧算規(guī)律并不是簡單的機(jī)械記憶，而是有層次、有內(nèi)在的理解.

3 反思——深度學(xué)習(xí)的多元教學(xué)評價

深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者在深層理解的基礎(chǔ)上能夠“融會貫通”并“活學(xué)活用”，在實(shí)踐中應(yīng)用所學(xué)知識，實(shí)現(xiàn)問題解決.有效且有層次地鞏固練習(xí)評價有助于促進(jìn)學(xué)生對知識點(diǎn)的理解和掌握，通過自我內(nèi)化，能做一題、學(xué)一法、會一類、通一片，通過思維的升華，達(dá)到舉一反三，一通百通.

學(xué)生經(jīng)歷這樣的教學(xué)后，明白了遇“數(shù)”不惑，要把抽象的知識具體化、形象化；尋“形”而導(dǎo)，借圖形掌握知識要領(lǐng)，真正促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).這也正是21世紀(jì)全球教育面向未來的重要話題——“如何學(xué)習(xí)”.