高中數(shù)學(xué)古典概型解題思路探析

李銳堂

摘 要：古典概型是概率學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)的重難點(diǎn).古典概型問題雖然計算公式簡單，但涉及到的具體問題卻非常復(fù)雜、多變，致使學(xué)生在解題的時候，很難找到一種確切的方法，這加大了學(xué)生的解題難度.鑒于此，本文以古典概型典型例題——“摸球問題”作為切入點(diǎn)，對其具體的解題思路進(jìn)行了詳細(xì)的研究和分析.

關(guān)鍵詞：古典概型；概率；高中數(shù)學(xué)；摸球問題；解題思路

概率是高中數(shù)學(xué)中最為重要的組成部分，通過這一部分知識學(xué)習(xí)，可促使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)概率是對現(xiàn)實(shí)生活中的隨機(jī)事件進(jìn)行研究，且概率在學(xué)習(xí)、生活、生產(chǎn)和科技領(lǐng)域中都具備廣泛用途.因此，全面學(xué)好概率知識，利用相關(guān)的解題方法解決概率問題，歷來是教學(xué)的重難點(diǎn).在解決概率問題時，由于其產(chǎn)生條件和背景有所不同，也沒有固定的法則，這就在很大程度上增加了概率問題的解決難度.尤其是針對古典概型問題，鑒于事件的不確定性，學(xué)生常常難以運(yùn)用確定性的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解決.面對這一現(xiàn)狀，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合不同類型的題目，幫助學(xué)生找到正確的解題思路和技巧，使得學(xué)生在日常解題訓(xùn)練中，逐漸提升自身的概率問題解決能力.

1 高中數(shù)學(xué)古典概型問題概述

古典概型在高中概率中占據(jù)十分重要的位置，看似非常簡單，許多概念非常直觀并且容易理解.同時，古典概型問題又涉及到實(shí)際生活中很多問題，應(yīng)用十分廣泛.如：股市漲跌、發(fā)生某類事故、抓鬮、摸球等.具體來說，與一般的概率問題相比，古典概型問題中主要包括兩個特點(diǎn)，即：只有有限個可能的結(jié)果、各個結(jié)果發(fā)生的可能性相同.在高中數(shù)學(xué)概率問題研究中，具備以上兩個特點(diǎn)的概率問題就屬于古典概型問題［1］.

2 基于“摸球問題”的古典概型問題的解題思路

針對數(shù)學(xué)古典概型問題來說，概念和計算公式相對比較簡單，在具體解題的時候，由于事件不夠確定，學(xué)生難以借助正確的解題思路進(jìn)行解答.鑒于此，結(jié)合古典概型中最為常見的“摸球問題”，對這一類題目的解題思路進(jìn)行了分析.

例1 （取球問題）袋子中有5個白球，3個黑球，分別按照下列的三種方法，在袋子中取球：

第一種：有放回地取球：從袋子中取三次球，每次只取一個，看后放回袋子中，再取下一個球；

第二種：無放回地取球：從袋子中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋子中，再取下一個球；

第三種：一次取球：從袋子中任取三個球.

在以上的三種取法中，均求A={恰好取得2個白球}的概率.

3 古典概型問題的其他解題思路

在古典概型問題解決中，摸球問題屬于一項(xiàng)重要的解題模型，在實(shí)際解題中存在極強(qiáng)的應(yīng)用價值.除此之外，在日常解題中，還可充分借助“窮舉法”“歸納法”等進(jìn)行解答.

3.1 窮舉法

窮舉法是解決概率問題所用方法中最為常見的一種方法，尤其是針對一些比較簡單的古典概型題目，基本事件發(fā)生的數(shù)目比較少，屬于有限的情況，且每一個事件出現(xiàn)的概率也相等.面對這一類型的題目，“窮舉法”無疑是最佳的選擇.

例3 將一枚質(zhì)地均勻的硬幣投擲三次，計算出三次投擲都為正面的概率.

解析：這是一道非常簡單、常見的古典概型題目，基本事件發(fā)生的數(shù)目是有限的，且每一個基本事件出現(xiàn)的概率也相等.在這種情況下，就可借助“窮舉法”進(jìn)行解答.根據(jù)題意得知，投擲一次出現(xiàn)正面或者反面的概率相等，均為0.5，因此，如果將連續(xù)投擲三次出現(xiàn)正面的情況計為“1”，將投擲出現(xiàn)反面的情況計為“0”，那么就可以借助“窮舉法”，將投擲三次可能出現(xiàn)的情況列舉出來，即：1，1，1；1，1，0；1，0，0；1，0，1；0，1，1；0，1，0；0，0，1；0，0，0.基于此，就可輕松得出答案，即：1/8［3］.

3.2 歸納法

在解決古典概型問題時，歸納法也是非常重要的一種方法，可基于樣本空間中的基本事件出現(xiàn)的概率進(jìn)行歸納，主要是針對一些比較復(fù)雜的問題.

例4 在一副沒有大小王的撲克牌中，計算連續(xù)抽三次牌，抽到三張A的概率.

解析：這一題目也是一道非常常見的古典概型題目，但與上述題目不同，本題目中涉及到的樣本空間相對比較大，如果運(yùn)用窮舉法進(jìn)行解答就會變得非常繁瑣，浪費(fèi)大量的時間，甚至產(chǎn)生錯誤.面對這一現(xiàn)狀，就可引導(dǎo)學(xué)生借助“組合分析法”進(jìn)行求解.“組合分析法”是解答復(fù)雜古典概型問題的主要方式，主要是將各種可能性做組織進(jìn)行分析和解答.在這一題目中就將四種花色的牌進(jìn)行整理，并將每次抽到A的概率進(jìn)行總結(jié)：第一次抽樣，樣本空間為52張撲克牌，其中有四張A，因此第一次抽到A的概率為1/13.如果第一次抽到了A，則樣本空間變?yōu)?1張撲克牌，其中有三種A，因此第二次抽到A的概率為1/17；如果前兩次均抽到了A，則樣本空間減少為50張，其中還有兩張A，因此，第三次抽到A的概率的為1/25.據(jù)此，可求得題目中“三次抽到A”的概率為三次概率的積，最終得出答案1/5525［4］.

3.3 實(shí)驗(yàn)法

在高中古典概型相關(guān)問題的解答中，如果每一個基本事件的發(fā)生概率都相等，樣本的空間沒有發(fā)生改變，并且開展的實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，個體基本事件的發(fā)生概率就隨之更加接近，那么，在對這一類問題進(jìn)行解答的時候，就可以借助實(shí)驗(yàn)法，指導(dǎo)學(xué)生通過多次實(shí)驗(yàn)進(jìn)行計算.

例5 投擲骰子一次，計算出現(xiàn)1點(diǎn)的概率.

解析：這就是一道非常典型的可利用實(shí)驗(yàn)法解決的題目.在該題目中，每一個基本事件的發(fā)生概率都相等，樣本的空間沒有發(fā)生變化，并且試驗(yàn)的次數(shù)越多，“出現(xiàn)一點(diǎn)”這一事件出現(xiàn)的概率就越為接近.對這一題目來說，雖然能夠簡單地明確答案為1/6，但在具體解答的時候，依然可運(yùn)用實(shí)驗(yàn)法，以6個學(xué)生為一個學(xué)習(xí)小組，每一個人擲骰子12次，對本組內(nèi)所有學(xué)生擲骰子出現(xiàn)1點(diǎn)的概率進(jìn)行匯總、計算.如此，學(xué)生在多次實(shí)驗(yàn)中所得出的“出現(xiàn)1點(diǎn)”事件的發(fā)生率就明顯接近于正確答案［5］.

3.4 枚舉法

枚舉思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，將其應(yīng)用到日常解題中可以提升學(xué)生的解題效率.在高中古典概型問題的解答中，就可結(jié)合實(shí)際情況，科學(xué)融入枚舉思想，幫助學(xué)生順利得出正確的答案.同時，還可以幫助學(xué)生在具體的解題訓(xùn)練中，逐漸建立起完整的數(shù)學(xué)知識體系.

例6 投擲一個骰子，對其朝上的點(diǎn)數(shù)進(jìn)行觀察.試著求出下列事件出現(xiàn)的概率：（1） 點(diǎn)數(shù)為3的概率.（2） 點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的事件概率.（3） 點(diǎn)數(shù)在3到6之間的事件概率.

解析：在這一類古典概型問題的解答中，由于骰子具備六個面，在投擲的過程中，每一種事件可能發(fā)生的概率都相同.因此，在這些簡單的隨機(jī)事件出現(xiàn)概率的解答中，就可融入枚舉法.因此，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的概率是1/6；出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的事件主要包括三種可能，即2、4、6，因此該事件發(fā)生的概率為3/6，即1/2；出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)在3到6之間主要包括兩種可能，即4、5，因此，該事件發(fā)生的概率為2/6，即1/3.由此可見，枚舉法的融入顯著提升了學(xué)生的解題效率［6］.

3.5 模型法

在高中古典概型問題中，也常常出現(xiàn)一些比較復(fù)雜的問題，這些問題常常以實(shí)際生活作為背景.在對這一類型問題進(jìn)行解決的時候，就可基于數(shù)學(xué)模型思想，從生活化的問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，并建立與其相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.如此，通過數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用，就可將原本不熟悉、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為學(xué)生熟悉的知識，以便于學(xué)生利用已有的知識快速完成其解答.

例7 A箱子中有兩種球，其中，紅球x個，藍(lán)球y個；B箱子中也有兩種球，其中，紅球y個，藍(lán)球x個.現(xiàn)在從A、B兩個箱子中，各隨機(jī)抽取一個球，試著將兩球同色、異色的概率計算出來.

4 結(jié)束語

綜上所述，古典概型問題在考試中、生活中尤為常見，對各種概率計算公式進(jìn)行了有效的考查，同時也極大地鍛煉了學(xué)生的思維.鑒于當(dāng)前學(xué)生在古典概型問題解答中面臨的困難，必須要指導(dǎo)學(xué)生善于具體問題具體分析，針對不同的題目，找到最佳的解題切入點(diǎn)，選擇針對性的解題思路和方法，進(jìn)而達(dá)到順利解題的目的.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 周樂一.“摸球獲獎”中的概率應(yīng)用［J］.高中數(shù)理化，2019（1）：2021.

［2］ 楊祺帆.高中數(shù)學(xué)概率題解題技巧及錯誤總結(jié)［J］.新教育時代電子雜志（學(xué)生版），2018（40）：193.

［3］ 譚永長.高中數(shù)學(xué)概率解題研究［J］.當(dāng)代教育實(shí)踐與教學(xué)研究（電子刊），2018（2）：879.

［4］ 許延芳.高中數(shù)學(xué)概率方法的解題思路與技巧淺析［J］.中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2020（12）：36.

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［6］ 倉琳.高中數(shù)學(xué)古典概型問題分析解答的教學(xué)策略［J］.中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2020（4）：93.

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