以數(shù)線促進(jìn)估算的理解

王小蓮

【摘? ?要】數(shù)線，即表征數(shù)的意義、性質(zhì)和運(yùn)算的線，是一種教學(xué)輔助工具。求小數(shù)近似數(shù)的難點(diǎn)在于四舍五入，它從整數(shù)的區(qū)間數(shù)判斷走向了較為抽象的小數(shù)區(qū)間數(shù)判斷。教學(xué)中，教師創(chuàng)造性地利用數(shù)線表征數(shù)的意義，用多維視角理解估算，用數(shù)形結(jié)合的方法促進(jìn)學(xué)生對(duì)小數(shù)估算的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，也為學(xué)生后續(xù)建立整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等不同數(shù)系之間的聯(lián)系積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】小數(shù)近似數(shù)；數(shù)線；估算；表征

【課前思考】

數(shù)線，即表征數(shù)的意義、性質(zhì)和運(yùn)算的線，是一種教學(xué)輔助工具。利用數(shù)線估計(jì)是解決日常生活中常見問題的一種數(shù)學(xué)能力，能幫助學(xué)生理解相應(yīng)的知識(shí)內(nèi)容。近似數(shù)和估算教學(xué)的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是從確切的數(shù)擴(kuò)充到表示范圍的區(qū)間；二是根據(jù)實(shí)際情況確定范圍。［1］人教版教材四年級(jí)下冊(cè)在編排“小數(shù)的近似數(shù)”這一內(nèi)容時(shí)，以“求小欣身高的近似數(shù)”這一現(xiàn)實(shí)問題引入，接著出示“求一個(gè)小數(shù)的近似數(shù)，同求整數(shù)的近似數(shù)相似”這一遷移性結(jié)論，并直接給出四舍五入求近似數(shù)“看尾數(shù)首位，即省略的尾數(shù)部分最高位上的數(shù)”［2］的方法性結(jié)論。這樣的編排方式重視方法的指導(dǎo)，卻忽視了原理的理解。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)易出現(xiàn)以下難點(diǎn)：一是為什么保留兩位小數(shù)，要看千分位；二是在表示近似數(shù)時(shí)，小數(shù)末尾的0為什么不能去掉。

基于上述問題，筆者進(jìn)行了整數(shù)近似數(shù)的調(diào)研。調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然能正確解答，卻說不清楚“四舍五入到萬位要看千位”的道理。這一現(xiàn)象暴露出學(xué)生對(duì)整數(shù)近似數(shù)的理解并不深刻?！盀槭裁纯梢杂盟纳嵛迦敕ㄇ笮?shù)的近似數(shù)？保留一位小數(shù)，為什么只要看百分位就可以了？在表示近似數(shù)時(shí)，小數(shù)末尾的0為什么不能去掉？”［3］在針對(duì)五年級(jí)學(xué)生（學(xué)習(xí)過小數(shù)的近似數(shù)）的訪談中，學(xué)生對(duì)這些問題一臉茫然。由此可見，學(xué)生在近似數(shù)原理的自然遷移上具有一定困難。

那么，如何才能讓學(xué)生更好地理解近似數(shù)，并能運(yùn)用近似數(shù)解決問題呢？針對(duì)這一教學(xué)難點(diǎn)，教師可創(chuàng)造性地運(yùn)用具象的數(shù)線，化抽象為形象，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)線觀察，將整數(shù)的四舍五入近似法則遷移到小數(shù)中；通過數(shù)線對(duì)比，解決“看尾數(shù)首位”這一關(guān)鍵難點(diǎn)，深刻理解“四舍五入”求小數(shù)近似數(shù)的方法；通過數(shù)線推理，深刻理解精確度，體會(huì)近似數(shù)背后的區(qū)間思想，發(fā)展學(xué)生的測(cè)量和數(shù)感等數(shù)學(xué)能力。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.能夠根據(jù)要求用“四舍五入法”保留一定的小數(shù)位數(shù)，求出小數(shù)的近似數(shù)。

2.在對(duì)數(shù)線模型的探索中歸納求小數(shù)近似數(shù)的方法，體會(huì)近似背后的區(qū)間思想，理解在表示近似數(shù)時(shí)小數(shù)末尾的0不能去掉的本質(zhì)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

借助直觀數(shù)線，掌握用“四舍五入法”求小數(shù)近似數(shù)的方法。理解保留的位數(shù)不同，求得近似數(shù)的精確度也不一樣。

【教學(xué)過程】

一、觀察數(shù)線，理解為什么要和中間數(shù)進(jìn)行比較

1.經(jīng)驗(yàn)回溯：求整百數(shù)近似數(shù)的方法

教師出示圖1。

師：在圖1這條數(shù)線中，哪些數(shù)接近300？哪些數(shù)接近400？你是怎么想的？

生：30?、31?、32?、33?、34?這些數(shù)接近300；35?、36?、37?、38?、39?更接近400；350正好在中間。

生：十位比5小就接近300，十位比5大就接近400。

師：原來，我們只要看十位就能知道這個(gè)數(shù)是離300近還是400近。

2.方法回溯：求整十?dāng)?shù)近似數(shù)的方法

教師出示圖2。

師：在圖2這條數(shù)線中，哪些數(shù)接近30？哪些數(shù)接近40？你是怎么想的？

生：個(gè)位比5小就接近30，個(gè)位比5大就接近40。

生：只要把這個(gè)數(shù)和35進(jìn)行比較就可以了。

師：請(qǐng)大家觀察這兩條數(shù)線，判斷數(shù)字的近似數(shù)時(shí)，是和誰進(jìn)行比較？

生：只要和中間的數(shù)35或350進(jìn)行比較，就能快速判斷它的近似數(shù)。

師：我們?cè)谇笠粋€(gè)數(shù)的近似數(shù)時(shí)，都是把這個(gè)數(shù)和中間的數(shù)進(jìn)行比較，這個(gè)方法就是“四舍五入法”，而且中間的數(shù)也是要“五入”的。

評(píng)析：求小數(shù)的近似數(shù)和求整數(shù)近似數(shù)的方法相近，都是用“四舍五入法”。但隨著數(shù)域的擴(kuò)大，學(xué)生在小數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用“四舍五入法”有一定難度。與教材直接給出遷移性結(jié)論相比，上述環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)能為將“四舍五入法”從整數(shù)遷移到小數(shù)提供直觀支持。它承接了整數(shù)范圍內(nèi)求近似數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，利用觀察數(shù)線的活動(dòng)，探究“哪些數(shù)更接近”“判斷近似數(shù)時(shí)是和誰進(jìn)行比較”的關(guān)鍵問題，從而連接“舍”“入”和“遠(yuǎn)”“近”。學(xué)生通過數(shù)線上中間數(shù)的分段，感知求一個(gè)三位數(shù)的近似數(shù)要關(guān)注十位，求一個(gè)兩位數(shù)的近似數(shù)要關(guān)注個(gè)位。以求整百數(shù)近似數(shù)的方法為例，十位是0～4對(duì)應(yīng)“四舍”，十位是5～9對(duì)應(yīng)“五入”，直觀形象地對(duì)“四舍五入法”進(jìn)行了遷移。

二、對(duì)比數(shù)線，理解“為什么要看尾數(shù)首位”

1.保留到整數(shù)，為什么只看十分位

師：老師的身高是1.69米，保留整數(shù)是多少？

生：1.69比1大，比2小，保留整數(shù)可能是1或2。

生：1.69離1遠(yuǎn)，離2近，所以1.69保留整數(shù)是2。

教師出示圖3，圖中的數(shù)線將1和2之間的線平均分成了10份。

師：觀察圖3中的數(shù)線，我們?cè)谂袛?.69離誰近時(shí)其實(shí)是將它和誰進(jìn)行比較？

生：我是把它和1.5進(jìn)行比較。比1.5大就接近2，比1.5小就接近1。1.69在1.5的右邊，更接近于2。

師：比較1.69和1.5時(shí)，整數(shù)部分都一樣，關(guān)鍵是比較什么？

生：保留整數(shù)時(shí)，1.69和1.5的整數(shù)部分都一樣，只要將十分位上的6和5進(jìn)行比較即可。6比5大，所以1.69約等于2。

生：我還發(fā)現(xiàn)在精確到個(gè)位時(shí)，不用看百分位和千分位，只要將十分位進(jìn)行四舍五入就可以了。

教師用課件動(dòng)態(tài)演示圖4，并追問。

師：那1.691保留整數(shù)呢？1.692呢？1.6939呢？1.697869456呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：只要十分位上的數(shù)比5大，精確到個(gè)位都是2。

師：到底是哪個(gè)數(shù)位上的數(shù)決定了保留整數(shù)都約等于2？

生：是由十分位上的6決定的。

師：只要十分位上的數(shù)比5大，不管后面數(shù)位上的數(shù)是幾，對(duì)最后的結(jié)果都沒有影響，在保留整數(shù)時(shí)都約等于2。所以，保留整數(shù)只需看十分位。

2.保留一位小數(shù)，自主探索求近似數(shù)的方法

師：那將1.69米保留一位小數(shù)會(huì)是多少？把你的探究過程記錄在數(shù)線上。

學(xué)生獨(dú)立思考，并將探究過程記錄在作業(yè)紙的數(shù)線上。

生：我是將1.6和1.7之間的格子再平均分成10份，找到1.69，發(fā)現(xiàn)1.69在1.6和1.7之間，離1.6遠(yuǎn)，離1.7近，所以1.69保留一位小數(shù)是1.7（如圖5）。

生：我是把它和1.6與1.7中間的1.65進(jìn)行比較，比1.65大就接近1.7，比1.65小就接近1.6。

師：你們?cè)诒容^1.69和1.65時(shí)，關(guān)鍵是在比較什么？

生：保留一位小數(shù)時(shí)，關(guān)鍵要比較百分位上的9，9比5大，所以1.69約等于1.7。

師：那1.691保留一位小數(shù)呢？1.692呢？1.6939呢？1.697869456呢？觀察這些數(shù)據(jù)，到底是哪個(gè)數(shù)位上的數(shù)決定了它們?cè)诒Ａ粢晃恍?shù)時(shí)都約等于1.7呢？

生：這些數(shù)的百分位都是9，其實(shí)只要百分位上的數(shù)大于或等于5，不管千分位、萬分位上的數(shù)是幾，這些數(shù)在保留一位小數(shù)時(shí)都約等于1.7。

師：所以在保留一位小數(shù)時(shí)，只需要將百分位四舍五入就可以了。

3.保留兩位小數(shù)，遷移應(yīng)用求近似數(shù)的方法

師：通過精準(zhǔn)測(cè)量，老師的身高是1.697米，現(xiàn)在不看數(shù)線圖，根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)，你知道怎么保留兩位小數(shù)嗎？

生：1.697保留兩位小數(shù)在1.69和1.70之間，千分位是7，離1.70更近，所以1.697保留兩位小數(shù)約等于1.70。

生：保留整數(shù)要看十分位，保留一位小數(shù)要看百分位，那么保留兩位小數(shù)就要看千分位。將千分位四舍五入，7大于5，所以1.697約等于1.70。

師：看來，求整數(shù)近似數(shù)的方法在求小數(shù)近似數(shù)時(shí)同樣適用，都需要用“四舍五入法”保留一定的小數(shù)位數(shù)。

評(píng)析：教師將數(shù)線不斷均分，以具體的形助力學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)區(qū)間的理解，引導(dǎo)學(xué)生明白將一個(gè)小數(shù)保留到整數(shù)只要和十分位上的5進(jìn)行比較，再利用“四舍五入法”進(jìn)行判斷即可。教師先提供多組數(shù)據(jù)，不斷向?qū)W生追問，讓學(xué)生理解不管是三位小數(shù)還是更多位數(shù)的小數(shù)，將它們保留一位小數(shù)只需看百分位上的數(shù)。接著利用學(xué)生第一次的比較經(jīng)驗(yàn)，開展保留一位小數(shù)和兩位小數(shù)的說理探究，讓學(xué)生在數(shù)線的“遠(yuǎn)近模型”中形成求近似數(shù)要看尾數(shù)首位的推理判斷經(jīng)驗(yàn)，用數(shù)線感悟小數(shù)區(qū)間數(shù)范圍，完善對(duì)保留小數(shù)位數(shù)的原理的探究。

三、利用數(shù)線，理解“小數(shù)末尾的0為什么不能去掉”

1.借助數(shù)線表征，尋找近似區(qū)間

師：剛才將1.697米保留兩位小數(shù)時(shí)，出現(xiàn)了兩種答案：1.7米和1.70米。你們同意哪種答案？為什么？

生：我認(rèn)為都對(duì)，1.7和1.70都表示1米7分米，答案是一樣的。

生：我認(rèn)為不對(duì)，因?yàn)?.7是一位小數(shù)，而我們需要保留兩位小數(shù)。

師：大家有不同的意見，那到底哪種說法對(duì)呢？請(qǐng)你在數(shù)線上找一找、畫一畫，并把你的想法和同桌進(jìn)行交流。

學(xué)生先在作業(yè)紙（如圖6）上獨(dú)立完成，再和同桌交流。

生：一個(gè)數(shù)保留一位小數(shù)后是1.7，所以關(guān)鍵要看百分位。百分位上可能是1、2、3、4，那么這個(gè)小數(shù)可能是1.7到1.74之間的數(shù)。

師：在1.7的右邊，你找到了4個(gè)近似數(shù)是1.7的兩位小數(shù)。那么在1.7的左邊有這樣的數(shù)嗎？

生：在1.7的左邊還有1.69、1.68、1.67、1.66、1.65。

師：利用將百分位四舍五入的方法，你們?cè)跀?shù)線上找到了近似數(shù)是1.7的兩位小數(shù)，那么這個(gè)數(shù)有可能是三位小數(shù)嗎？

生：它還可能是1.701、1.712、1.734、1.748……

師：為什么這些小數(shù)保留一位小數(shù)也是1.7？這樣的數(shù)還有多少個(gè)？我們一起把這些數(shù)的范圍畫出來。

教師用課件動(dòng)態(tài)演示圖7。

生：近似數(shù)是1.70，說明是要把這個(gè)數(shù)保留兩位小數(shù)，所以要看千分位上的數(shù)。我在數(shù)線上找到了1.695、1.696、1.697、1.698、1.699、1.700、1.701、1.702、1.703、1.704這些三位小數(shù)。

生：除了這些三位小數(shù)，只要大于等于1.695，小于1.705，不管是幾位小數(shù)，它保留兩位小數(shù)的近似數(shù)都是1.70。

教師用課件動(dòng)態(tài)演示圖8。

2.合并表征結(jié)果，對(duì)比精確區(qū)間

教師用課件動(dòng)態(tài)演示，合并圖7、圖8，得到圖9。

師：剛才我們通過數(shù)線的推理，找到了近似數(shù)是1.7和1.70的小數(shù)范圍，仔細(xì)觀察，它們一樣嗎？

生：1.70的近似范圍要比1.7的近似范圍小得多，它們是不一樣的。

師：想象數(shù)線，1.700的近似范圍在哪里？1.7000的呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

評(píng)析：教師借助數(shù)線幫助學(xué)生建立起“小數(shù)末尾的0代表這個(gè)近似數(shù)的精確程度”的直觀模型，緊扣“一個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)單位越小，它的精確程度就越高”的意義本質(zhì)。在準(zhǔn)確數(shù)和近似數(shù)的比較中，數(shù)概念的學(xué)習(xí)從一個(gè)確定的數(shù)擴(kuò)展到一個(gè)區(qū)間，這也是數(shù)感的表現(xiàn)之一。一個(gè)小數(shù)的近似數(shù)同樣和計(jì)數(shù)單位有關(guān)，一個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)單位越小，它的精確度就越高。［4］通過數(shù)線中精確區(qū)間的直觀呈現(xiàn)，學(xué)生理解了去掉小數(shù)末尾的0會(huì)直接影響數(shù)的精確度和對(duì)應(yīng)區(qū)間數(shù)。

【教學(xué)反思】

一、從數(shù)線感悟小數(shù)區(qū)間數(shù)的范圍，完善對(duì)保留小數(shù)位數(shù)的原理探究

四舍五入求近似數(shù)“看尾數(shù)首位”的結(jié)論性方法對(duì)學(xué)生來說難度很大。教學(xué)中，教師除了要利用整數(shù)“四舍五入法”進(jìn)行自然遷移，還要引導(dǎo)學(xué)生探究為什么保留一位小數(shù)就要把百分位上和后面的數(shù)都省略，即“為什么只要看百分位”“小數(shù)尾數(shù)為什么可以去掉”等問題。教學(xué)時(shí)，教師借助數(shù)線，化抽象為具體，緊扣核心概念“計(jì)數(shù)單位”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的理解，通過學(xué)生熟悉的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生直觀看到小數(shù)最接近的數(shù)，利用小數(shù)區(qū)間范圍的數(shù)理解“看尾數(shù)首位，即省略的尾數(shù)部分最高位上的數(shù)”進(jìn)行四舍五入的原因，完善對(duì)小數(shù)位數(shù)原理的探究。

二、從數(shù)線感知數(shù)與距離的關(guān)系，完善對(duì)小數(shù)意義教學(xué)的整體建構(gòu)

精確數(shù)是一個(gè)點(diǎn)，而近似數(shù)是靠近精確數(shù)的一段范圍內(nèi)所有點(diǎn)的集合。教師可引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)的均分特征，找到相應(yīng)小數(shù)所在位置與起點(diǎn)和終點(diǎn)的距離，在數(shù)線的“遠(yuǎn)近模型”中，形成求近似數(shù)要看尾數(shù)首位的推理判斷能力，積累經(jīng)驗(yàn)，更加深入形象地理解小數(shù)的意義；在利用數(shù)線和創(chuàng)作數(shù)線的過程中建構(gòu)模型，促進(jìn)數(shù)線的產(chǎn)生，感受計(jì)數(shù)單位的細(xì)分，從而完善對(duì)小數(shù)意義的整體建構(gòu)。

參考文獻(xiàn)：

［1］章勤瓊. 3.8是3.80的近似數(shù)嗎：近似和估算教學(xué)的關(guān)鍵是什么［J］. 教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（4）：60-63.

［2］朱紹敏.數(shù)形結(jié)合 直觀感悟：數(shù)線解決四舍五入求近似數(shù)看尾數(shù)首位問題［J］.小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2017（11）：25-26.

［3］張雅芬.巧借數(shù)軸 探其本質(zhì)：“求小數(shù)的近似數(shù)”片段賞析［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（19）：87，89.

［4］吳正憲，張秋爽.整體把握教材 突出數(shù)概念本質(zhì)：“小數(shù)的意義和性質(zhì)”單元教學(xué)思考［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2020（5）：25-27.

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