數(shù)學(xué)學(xué)科想象的內(nèi)涵、價(jià)值與生成策略

摘? ? ? 要 數(shù)學(xué)學(xué)科想象是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中基于自身對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的感知理解、已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)以及他人的幫助和指導(dǎo)進(jìn)而對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行意象建構(gòu)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。數(shù)學(xué)學(xué)科想象能促進(jìn)學(xué)生想象力的發(fā)展，助力數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的革新。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科想象，數(shù)學(xué)教師在課堂上可采取如下策略：精心組織材料，引導(dǎo)學(xué)生多維思考；巧用直觀教具，輔助學(xué)生進(jìn)行探索；嵌入信息技術(shù)，助力學(xué)生大膽想象；善于利用“數(shù)感”，鼓勵(lì)學(xué)生借“感”發(fā)揮。

關(guān) 鍵 詞 數(shù)學(xué)教學(xué)? 學(xué)科想象? 學(xué)科核心素養(yǎng)

引用格式 邱麗.數(shù)學(xué)學(xué)科想象的內(nèi)涵、價(jià)值與生成策略[J].教學(xué)與管理，2023（18）：92-96.

數(shù)學(xué)課堂本是充滿疑惑和想象的地方，但在實(shí)際的課堂教學(xué)中卻存在為了追求“效率”“高分”而無(wú)視賦予數(shù)學(xué)以趣味之想象的現(xiàn)象。2022年4月21日，教育部頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）在對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵的闡釋中明確指出要使學(xué)生“形成對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與想象力”，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科想象的培育理應(yīng)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的目標(biāo)之一，貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程。然而，在實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)學(xué)科想象卻未得到足夠的重視。鑒于此，本文討論數(shù)學(xué)學(xué)科想象的內(nèi)涵、價(jià)值及其生成策略。

一、數(shù)學(xué)學(xué)科想象的內(nèi)涵

1.數(shù)學(xué)學(xué)科想象的含義

從古希臘、羅馬時(shí)期一直到啟蒙運(yùn)動(dòng)晚期，想象多被抑制，讓位于理性。柏拉圖（Plato）視其為“理智的較低層部分”[1]，亞里士多德（Aristotle）認(rèn)為“想象可能是一種有用的智力的仆人”[2]，諸如此類的對(duì)于想象的誤解直到19世紀(jì)浪漫主義作家對(duì)想象的大力推崇才得以緩解。近現(xiàn)代以來(lái)，想象身上的污名被逐漸洗凈，想象的重要性得到世人的公認(rèn)。杜威（Dewey，J.）更是直言“想象是與肌肉運(yùn)動(dòng)差不多的、構(gòu)成正常的人類活動(dòng)的必須的一部分”[3]。那究竟什么是“想象”呢？通過(guò)文獻(xiàn)梳理發(fā)現(xiàn)，對(duì)想象的定義主要可以分為以下三類：其一是通過(guò)分析想象的內(nèi)在生成元素來(lái)定義想象。在心理學(xué)上“想象”被視作為一種高級(jí)的認(rèn)知活動(dòng)，是指“對(duì)頭腦中已有的表象進(jìn)行加工改造，形成新形象的過(guò)程”[4]。在《教育大辭典》中，“想象”被解釋為“對(duì)過(guò)去經(jīng)驗(yàn)和已有記憶表象加工改造，構(gòu)成新意向或觀念的心理過(guò)程。內(nèi)容可能是過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的心理回顧，也可能是對(duì)未來(lái)的計(jì)劃”[5]。其二是從想象的外在表現(xiàn)形式對(duì)想象進(jìn)行界定。杜威認(rèn)為想象是“使任何活動(dòng)不呆板”[6]的事物，Maxine Greene將想象定義為“從不同的角度看待事物”[7]。其三是對(duì)前面兩種定義的綜合。郭元祥教授認(rèn)為：“想象不僅是圖像或表象生成的精神活動(dòng)和心理活動(dòng)及其所表現(xiàn)出來(lái)的能力，更指向心靈的靈活性和超越性，是一種能動(dòng)思考多種可能性的活動(dòng)和能力，通過(guò)意識(shí)到隱藏的或另類的可能性來(lái)更加批判地把握現(xiàn)實(shí)。進(jìn)而從對(duì)真實(shí)事物的遇見中或基于語(yǔ)言、文字、符號(hào)的表述中預(yù)見一種不在眼前的可能狀態(tài)、景象、意象或意境。”[8]

概括而言，從想象發(fā)生的開端、過(guò)程、結(jié)果三方面來(lái)看，想象具有如下特點(diǎn)：在起始階段，想象表現(xiàn)出對(duì)象性和基礎(chǔ)性。對(duì)象性是指想象的發(fā)生基于對(duì)客體“此在”的感知、認(rèn)識(shí)、思考、探索，不是無(wú)根無(wú)源消極的幻想?；A(chǔ)性是指想象的發(fā)生源自一定的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或情感等可供加工利用的材料，正如Keiichi Takaya所言：“一個(gè)人缺乏知識(shí)或技能是無(wú)法變得有想象力的?！盵9]由此可知，由于學(xué)生個(gè)體已有知識(shí)背景的不同，想象的結(jié)果存在差異的概率較大。在想象的過(guò)程中，想象表現(xiàn)出靈活性和內(nèi)隱性。靈活性如克爾隆·伊根（Egan，K.）所言，“是一個(gè)人具有用一種不被諸如傳統(tǒng)、文化標(biāo)準(zhǔn)、習(xí)慣性思維和別人傳遞的信息等事實(shí)緊緊限制的方式進(jìn)行思考的能力和傾向”[10]，是想象自由的表現(xiàn)。內(nèi)隱性指出想象活動(dòng)的進(jìn)行存在于想象主體內(nèi)部，具有非外顯性，想象主體之外的人難于窺視。從想象的生成結(jié)果看，想象具有超越性和開放性。超越性具有創(chuàng)造性意味，指想象的結(jié)果新穎、不同尋常。超越性具有強(qiáng)烈的個(gè)體屬性，其評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)基于想象主體的想象結(jié)果是否超越自己迄今為止取得的成就。開放性是指想象生成的結(jié)果具有不確定性，對(duì)任何可能的結(jié)果形式均保持開放。

什么是數(shù)學(xué)學(xué)科想象呢？在中國(guó)知網(wǎng)（CNKI）以主題為檢索項(xiàng)，“數(shù)學(xué)學(xué)科想象”為檢索詞，截至2022年8月1日，共計(jì)檢索期刊文獻(xiàn)73條。對(duì)檢索結(jié)果整理發(fā)現(xiàn)，研究者多從“數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)”角度出發(fā)研究“數(shù)學(xué)”與“直觀想象”二者間的關(guān)系，并未有對(duì)“數(shù)學(xué)學(xué)科想象”的內(nèi)涵進(jìn)行深入剖析的研究。將檢索詞重新設(shè)定為“學(xué)科想象”，共計(jì)檢索有效文獻(xiàn)9條。其中，羅祖兵教授認(rèn)為學(xué)科想象“是基于學(xué)科知識(shí)和學(xué)科邏輯的想象”[11]。胡革新校長(zhǎng)把學(xué)科想象定義為：“基于感知和已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)符號(hào)知識(shí)進(jìn)行加工而構(gòu)建新的圖像、意象、意境和意義的認(rèn)知過(guò)程?！盵12]郭元祥教授認(rèn)為學(xué)科想象是：“一種‘意象性的認(rèn)知’，是學(xué)生在學(xué)科學(xué)習(xí)中基于感知理解、思維過(guò)程、已有經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科知識(shí)的加工而建構(gòu)意象的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)科學(xué)習(xí)的重要學(xué)習(xí)方式，是基于形象思維建立新的圖像表征并建構(gòu)意象的一種綜合學(xué)習(xí)能力。”[13]上述關(guān)于“學(xué)科想象”的定義大同小異，但均有力地論證了想象之于學(xué)科學(xué)習(xí)的重要性。就數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)而言，“想象發(fā)揮著比其他體驗(yàn)更為重要的作用”[14]，數(shù)學(xué)學(xué)科想象是學(xué)科想象在數(shù)學(xué)學(xué)科上的具體表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)化的學(xué)科想象。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，“數(shù)”與“形”的抽象本就兼具想象特性，因此學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科的大門更需要由想象來(lái)開啟。具體而言，數(shù)學(xué)學(xué)科想象是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中基于自身對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的感知理解、已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)以及他人的幫助和指導(dǎo)進(jìn)而對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行意象建構(gòu)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。數(shù)學(xué)學(xué)科想象從觸發(fā)到想象結(jié)果的生成具有和想象一樣的特性，但其所涉及的知識(shí)結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)等有其特有的學(xué)科屬性。數(shù)學(xué)學(xué)科想象是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出的一種素養(yǎng)，并不是想象在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的簡(jiǎn)單遷移運(yùn)用，恰如Keiichi Takaya所言：“一個(gè)在某一活動(dòng)領(lǐng)域充滿想象的人在不同活動(dòng)領(lǐng)域可能有也可能沒有豐富的想象力?！盵15]

2.數(shù)學(xué)學(xué)科想象的表現(xiàn)形式

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的三大核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)科想象發(fā)生的過(guò)程特性之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，表明數(shù)學(xué)學(xué)科想象內(nèi)在于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過(guò)程之中，數(shù)學(xué)學(xué)科想象是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種表現(xiàn)形式。具體說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科想象包括以下三方面的內(nèi)容：第一，在“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”素養(yǎng)維度，數(shù)學(xué)學(xué)科想象表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的集中、指向以及對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中涉及到的數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、命題、公式、運(yùn)算法則等數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的掌握。第二，在“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”素養(yǎng)維度，數(shù)學(xué)學(xué)科想象表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力，并強(qiáng)調(diào)這種數(shù)學(xué)思維過(guò)程源于“靈感突現(xiàn)”以及對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“直覺”。第三，在“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”素養(yǎng)維度，數(shù)學(xué)學(xué)科想象表現(xiàn)為數(shù)據(jù)意識(shí)或數(shù)據(jù)觀念、模型意識(shí)或模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，并強(qiáng)調(diào)最后結(jié)果的呈現(xiàn)形式與之慣常的結(jié)果相比存在差異。綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)科想象的具體表現(xiàn)形式見表1。

二、數(shù)學(xué)學(xué)科想象的價(jià)值

1.促進(jìn)學(xué)生想象力的發(fā)展

教育部頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》從官方角度明確提出發(fā)展學(xué)生的“好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí)”。由此可見，培育學(xué)生的想象力已成為數(shù)學(xué)學(xué)科的重要任務(wù)之一。然而，通過(guò)數(shù)學(xué)培育學(xué)生的想象力在實(shí)踐層面卻遭到雙重阻礙。其一，學(xué)生想象力的培養(yǎng)被視為藝術(shù)類學(xué)科的專屬權(quán)利?！读x務(wù)教育藝術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程性質(zhì)上指出“義務(wù)教育藝術(shù)課程包括音樂(lè)、美術(shù)、舞蹈、戲?。ê瑧蚯?、影視（含數(shù)字媒體藝術(shù)），是對(duì)學(xué)生進(jìn)行審美教育、情操教育、心靈教育，培養(yǎng)想象力和創(chuàng)新思維等的重要課程”。雖然藝術(shù)課程在官方文件中指出是培養(yǎng)學(xué)生想象力的“重要課程”，但在實(shí)踐中卻被認(rèn)為是培養(yǎng)學(xué)生想象力的“唯一課程”。藝術(shù)課程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生想象力的功能不容置疑，但“沒有理由讓人相信，某一領(lǐng)域富有想象力與其他領(lǐng)域富有想象力有必然聯(lián)系。想象力不是一種可以被單獨(dú)開發(fā)、然后被應(yīng)用于各種場(chǎng)景的能力”[16]。數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生想象力的培養(yǎng)有其特定、不可替代的作用。其二，反復(fù)、盲目地刷題成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主旋律。受高考考試招生制度“唯分?jǐn)?shù)論”等的影響，中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中仍存在滿堂灌的教育現(xiàn)象。數(shù)學(xué)教師將學(xué)生原本可以用以觀察、探索、思考、想象的時(shí)間偷換為學(xué)生做題、練習(xí)的時(shí)間，學(xué)生淪為做題的機(jī)器，“數(shù)學(xué)使諸多人心醉的巨大的驚奇和樂(lè)趣在學(xué)校教育中被大量破壞了”[17]，數(shù)學(xué)課堂變相成為學(xué)生想象力的屠宰場(chǎng)。其實(shí)數(shù)學(xué)是一門充滿想象的學(xué)科，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力并不沖突。學(xué)生對(duì)于呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)材料，結(jié)合自身原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在腦海中進(jìn)行探索求知，得出多樣的答案，也是學(xué)生想象力的體現(xiàn)。當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)于重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的正確掌握，為了防止學(xué)生對(duì)知識(shí)的錯(cuò)誤理解，幾乎不給學(xué)生留有思考的空間，而選擇直接呈現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)果，這種教學(xué)方法易導(dǎo)致學(xué)生在考試時(shí)難以應(yīng)對(duì)靈活性、開放性的題目。唯有在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間，注重給學(xué)生出錯(cuò)的機(jī)會(huì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力才能經(jīng)得起實(shí)踐的考驗(yàn)。

2.助力數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決

在做數(shù)學(xué)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)學(xué)科想象扮演著重要的角色。雖然對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，邏輯推理必不可少，但是“想象不是與理性相區(qū)別的事物，而是給予理性靈活性、活力和生動(dòng)性的事物”[18]。中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容涉及數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四大領(lǐng)域，其中綜合與實(shí)踐領(lǐng)域重在解決實(shí)際問(wèn)題，是前三大領(lǐng)域知識(shí)的綜合運(yùn)用。無(wú)論是在單一領(lǐng)域的問(wèn)題解決中還是在混合領(lǐng)域的問(wèn)題解決中，數(shù)學(xué)學(xué)科想象都是開啟未知問(wèn)題解決大門的鑰匙。如在圓面積公式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生怎么能想到把圓進(jìn)行無(wú)限等分轉(zhuǎn)換成平行四邊形進(jìn)而來(lái)進(jìn)行圓面積的求解呢？除教師引導(dǎo)之外，正是想象賦予學(xué)生剎那間的靈感，以及二者之間產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的“可視化”，使得學(xué)生有了思考以及動(dòng)手實(shí)踐的方向。正是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科想象促進(jìn)圓面積公式的意義生成。與之相比，如果不借助想象，教師直接將圓的面積公式告訴學(xué)生，學(xué)生或許短時(shí)間內(nèi)能夠借助圓的面積公式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，終究是淺層學(xué)習(xí)，在復(fù)雜的變式面前學(xué)生仍然束手無(wú)策。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)學(xué)科想象在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中增加學(xué)生思維的靈活性，賦予學(xué)生解題“直覺”，最終促成數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。

3.推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的革新

數(shù)學(xué)學(xué)科是一個(gè)動(dòng)態(tài)的存在，始終處于一個(gè)不斷修正、更新、向前發(fā)展的過(guò)程。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)使得人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)擴(kuò)充到了無(wú)理數(shù)，標(biāo)志著由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派建造的長(zhǎng)達(dá)幾百年的“萬(wàn)物皆數(shù)”（指整數(shù)）的信念寶塔的崩塌；第二次關(guān)于“無(wú)窮小究竟是不是0”的數(shù)學(xué)危機(jī)促成了微積分以及實(shí)數(shù)領(lǐng)域的完善；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)（羅素悖論）使得早已被千家萬(wàn)戶接納的集合論思想受到質(zhì)疑……每一次“數(shù)學(xué)危機(jī)”的出現(xiàn)，都是數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域的一次重大革命性突破，具有不可估量的價(jià)值。試問(wèn)在數(shù)學(xué)學(xué)科前進(jìn)的道路上，什么因素起著至關(guān)重要的作用呢？答案是數(shù)學(xué)學(xué)科想象?！跋胂髮?duì)于找出問(wèn)題的解決辦法是重要的，但它并不滿足檢驗(yàn)和證明的需要，而探索真理卻以此為先決條件?！盵19]愛因斯坦也指出：“想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉?！盵20]具體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)科想象助推數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)步的力量主要體現(xiàn)在以下兩方面：第一，通過(guò)解決現(xiàn)實(shí)沖突直接推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。以小學(xué)數(shù)學(xué)為例，在解決半個(gè)蘋果與一個(gè)蘋果是否都能用“1”來(lái)表示的沖突中，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從自然數(shù)擴(kuò)充到了分?jǐn)?shù)；在解決10℃與零下10℃是否都能用“10”來(lái)表示的沖突中，學(xué)生對(duì)數(shù)域的掌握從正數(shù)擴(kuò)充到了負(fù)數(shù)。在解決此類現(xiàn)實(shí)沖突中處處可見數(shù)學(xué)學(xué)科想象的身影。第二，通過(guò)回答數(shù)學(xué)難題間接助力數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步。如古希臘時(shí)期留下的三大幾何問(wèn)題之一——“化圓為方”（即用尺規(guī)作圖做一個(gè)正方形與給定的圓面積相等），各代數(shù)學(xué)家都對(duì)此進(jìn)行了不懈的探索，最后該難題由德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼所破解。林德曼借助數(shù)學(xué)學(xué)科想象提出了π的超越性，也就是π不可能是任何整系數(shù)代數(shù)方程的根。在π的超越性概念下，不僅該幾何問(wèn)題得到了解決，數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域也有了新的發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)科想象在數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步中所發(fā)揮的作用恰如克爾隆·伊根（Egan，K.）所說(shuō)：“如果我們想解決我們以前從未解決的問(wèn)題，我們就必須讓大門為未知半開著，而那扇門是由想象來(lái)打開的?！盵21]正是在數(shù)學(xué)學(xué)科想象的推動(dòng)下，才有今天如此異彩紛呈的數(shù)學(xué)王國(guó)。

三、數(shù)學(xué)學(xué)科想象的生成策略

1.精心組織材料，引導(dǎo)學(xué)生多維思考

“多維思考能鍛煉學(xué)生思維的靈活性，思維方式不再單一化和固化。”[22]數(shù)學(xué)教師在課堂上善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提供的教學(xué)材料進(jìn)行多維思考，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科想象的重要方式。多維思考是指對(duì)一個(gè)事物進(jìn)行多角度的思考。比如，在求解長(zhǎng)方體體積的時(shí)候，除了可以用慣常的“長(zhǎng)×寬×高”的長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式來(lái)進(jìn)行求解，學(xué)生還可以思考能否轉(zhuǎn)換成正方體來(lái)求解（擴(kuò)大或縮?。磕芊褶D(zhuǎn)換成四棱柱來(lái)求解（切割）？能否建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)求解？要培養(yǎng)學(xué)生的多維思考能力，教師在日常的教學(xué)中就要注重材料的精心組織。材料的有效組織，可以從以下兩方面著手：第一，多用變式。變式是指在不改變知識(shí)的本質(zhì)概念下，從不同的角度來(lái)呈現(xiàn)知識(shí)。如在“一個(gè)三角形的三內(nèi)角和等于180°”這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，教師可以通過(guò)讓學(xué)生分別動(dòng)手量一量銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三個(gè)角的度數(shù)，再相加求和來(lái)進(jìn)行教學(xué)。教師亦可以通過(guò)正方形、長(zhǎng)方形等來(lái)進(jìn)行教學(xué)，因?yàn)檎叫?、長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，四角之和是360°，沿著對(duì)角線將正方形、長(zhǎng)方形劃分成兩個(gè)三角形之后，便自然而然地得出三角形的三內(nèi)角之和是180°的結(jié)論。通過(guò)變式不僅促進(jìn)了學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的深度認(rèn)知，還給予學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)科想象更大的發(fā)展空間。第二，提供正、反例。以“對(duì)頂角的性質(zhì)”的學(xué)習(xí)為例，正例的提供多是基于“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”這一定理，在實(shí)際教學(xué)中教師可以構(gòu)造兩相交直線的情境考察學(xué)生對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。但是緊接著教師如果給出一個(gè)反例：已知∠1和∠2相等，請(qǐng)問(wèn)它們是對(duì)頂角嗎？就會(huì)讓學(xué)生進(jìn)一步明晰：相等的角不一定是對(duì)頂角，對(duì)頂角定理的逆定理不成立。比如兩直線垂直，那么一個(gè)角和它的相鄰角就都是90°，但是二者并不是對(duì)頂角。正、反例同時(shí)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)有利于學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)的深層次厘清，促進(jìn)學(xué)生的多維思考。總之，教師對(duì)教學(xué)材料的精心組織，有利于增加學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科想象的生成。

2.巧用直觀教具，輔助學(xué)生進(jìn)行探索

中小學(xué)生的邏輯思維能力隨著年齡的增長(zhǎng)逐漸從具體形象思維過(guò)渡到抽象邏輯思維，但無(wú)論在哪個(gè)階段，直觀教具的使用對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)、減輕思維負(fù)擔(dān)，啟發(fā)學(xué)生想象都有助力作用。如在北師版小學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第一單元關(guān)于“10以內(nèi)的數(shù)”的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)便借助于直觀形象的真實(shí)事物或圖片，諸如“一個(gè)橘子”“兩根香蕉”等等。采用直觀教具進(jìn)行教學(xué)對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)不僅符合其認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，還有利于他們感知、想象。當(dāng)學(xué)生們知道一個(gè)橘子是“1”的時(shí)候，那么一頭大象、一座房子、一輛公交車等就都是“1”。采用直觀教具進(jìn)行教學(xué)相比于直接使用抽象符號(hào)“1”進(jìn)行教學(xué)更有利于學(xué)生利用數(shù)學(xué)學(xué)科想象探索這個(gè)世界，獲得對(duì)世界更全面、更深入的感知。由上可知，在使用直觀教具時(shí)需要注意以下兩點(diǎn)：第一，直觀教具的選擇要貼近學(xué)生生活。只有從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，學(xué)生才會(huì)對(duì)所學(xué)內(nèi)容感到“熟悉”，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)學(xué)習(xí)的意義生成。第二，直觀教具的使用要服務(wù)于教學(xué)內(nèi)容。直觀教具作為手段，在教學(xué)過(guò)程中輔助學(xué)生展開想象，獲得對(duì)知識(shí)意義的更鮮活、更深層次的理解，若將直觀教具的使用作為目的，則背離了使用直觀教具的初心。

3.嵌入信息技術(shù)，助力學(xué)生大膽想象

“教育信息技術(shù)的革新為教育教學(xué)注入活力與動(dòng)力，推動(dòng)教育教學(xué)效率與質(zhì)量不斷提升?！盵23]數(shù)學(xué)課堂教學(xué)從最初的只能借助于教師的言傳身教到19世紀(jì)后半葉幻燈片的出現(xiàn)和20世紀(jì)70年代融合了文字、圖片、聲音、視頻等多種媒體于一體的電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，再到今天AI（人工智能）、VR（虛擬現(xiàn)實(shí)）、AR（增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)）、MR（混合現(xiàn)實(shí)）等技術(shù)的相繼出現(xiàn)，標(biāo)志著課堂教學(xué)各種“可能性”的實(shí)現(xiàn)。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，教育技術(shù)的不斷革新則為其進(jìn)行探索、想象提供了物質(zhì)條件上的支撐。如在探究“圓的面積”時(shí)，采用的策略是將圓等分為多個(gè)扇形，然后拼接成一個(gè)近似的平行四邊形（S=dr），此處平行四邊形的底為圓周長(zhǎng)的一半（d=πr），平行四邊形的高為圓的半徑（r），從而得出圓的面積公式S=πr2。但是圓的周長(zhǎng)是曲線，平行四邊形的底是線段，二者怎么能建立起直觀的聯(lián)系呢？答案就是想象。此時(shí)若在實(shí)際教學(xué)中借助教育信息技術(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)圓的無(wú)限等分，便可以形象地建立起圓的周長(zhǎng)與平行四邊形的底二者之間的聯(lián)系，即使得“化曲為直”可視化。從這個(gè)角度說(shuō)，只要學(xué)生“敢想”，技術(shù)上就能提供驗(yàn)證。為充分發(fā)揮信息技術(shù)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科想象中的作用，增進(jìn)數(shù)學(xué)教師的信息技術(shù)應(yīng)用能力可以從以下兩方面入手：第一，購(gòu)買線上培訓(xùn)資源。在信息化程度越來(lái)越高的智慧時(shí)代，通過(guò)線上學(xué)習(xí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)教師信息技術(shù)應(yīng)用能力的課程，可以高效、便捷地提升數(shù)學(xué)教師的信息技術(shù)應(yīng)用能力。諸如七點(diǎn)半學(xué)苑、千聊等平臺(tái)有大量的相關(guān)課程，學(xué)校應(yīng)出資統(tǒng)一購(gòu)買此類課程，為數(shù)學(xué)教師的無(wú)憂學(xué)習(xí)提供后勤保障。第二，加強(qiáng)線下學(xué)科互涉。數(shù)學(xué)教師和信息技術(shù)等教師之間應(yīng)加強(qiáng)溝通，取人之長(zhǎng)，補(bǔ)己之短，通過(guò)學(xué)科之間適度地相互融合，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂與信息技術(shù)的深度融合，豐富數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科想象的生成提供技術(shù)上的支撐。

4.善于利用“數(shù)感”，鼓勵(lì)學(xué)生借“感”發(fā)揮

“數(shù)感”是一種直覺式的預(yù)感，有著工具性的依靠特征。“數(shù)感”在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，其內(nèi)涵為：“對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟。”[24]這里的“數(shù)感”不僅包括作為上述概念所提出的“數(shù)感”，還包括對(duì)數(shù)學(xué)圖形的感悟、數(shù)學(xué)符號(hào)的感悟、數(shù)學(xué)問(wèn)題的感悟等，簡(jiǎn)言之，是對(duì)“數(shù)學(xué)”整體的一種感覺。這種數(shù)學(xué)感覺區(qū)別于情感意義上對(duì)數(shù)學(xué)的喜好，更多指向數(shù)學(xué)問(wèn)題解決。數(shù)感類似于美國(guó)著名教育學(xué)家布魯納（Bruna.J.S.）提出的直覺思維，需要進(jìn)行澄清的是數(shù)感和直覺一樣，不是只有形式而無(wú)內(nèi)容。布魯納在《教育過(guò)程》中指出：“有關(guān)學(xué)習(xí)的一些實(shí)驗(yàn)表明，為了有效地用直覺方法運(yùn)用材料，精通材料是重要的?！盵25]換言之，數(shù)感的產(chǎn)生建立在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的掌握之上。數(shù)感如同想象一樣，人皆有之，數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生順著這種感覺繼續(xù)進(jìn)行思考、想象、探索。具體而言，在教學(xué)中為了幫助學(xué)生借“感”發(fā)揮，教師可采取下述策略：第一，將自身借“感”發(fā)揮的內(nèi)隱過(guò)程顯性化。如在一些需要做輔助線的幾何題中，教師可以用言語(yǔ)分享自己的解題思路。在具體操作中，教師應(yīng)該首先表明自己覺得應(yīng)該怎么做輔助線，即用尚不充分的證據(jù)來(lái)進(jìn)行猜測(cè)。如果有學(xué)生問(wèn)道“為什么要這么做呢？”教師可以明晰地回答學(xué)生“感覺”。在接下來(lái)的教學(xué)時(shí)間里，教師在做好輔助線的基礎(chǔ)上，一步步地反推以驗(yàn)證自己猜想的正確性。在這個(gè)解題過(guò)程中，教師不僅示意了學(xué)生如何借感發(fā)揮，其本身也成為一個(gè)可供效仿的榜樣。第二，教授各種啟發(fā)式方法。數(shù)感不是胡思亂想、憑空捏造，而是建立在對(duì)特定知識(shí)的感知、理解基礎(chǔ)之上。從這個(gè)角度講，數(shù)感的發(fā)生有跡可循。具體的啟發(fā)式方法主要有：聯(lián)結(jié)法，即將知識(shí)融入已學(xué)知識(shí)的體系中，綜合整體知識(shí)的特點(diǎn)進(jìn)行想象；相關(guān)法，即提煉出知識(shí)的典型特征，并將其與相關(guān)的材料進(jìn)行整合，從而進(jìn)行想象。第三，給學(xué)生留夠時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生探索。數(shù)感很玄妙，學(xué)生難以用語(yǔ)言解釋清楚。因此，當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生了感覺之后，教師應(yīng)盡量給予學(xué)生足夠的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)思考下去，切忌不加思考地否定學(xué)生、打擊學(xué)生。

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? ?[作者：邱麗（1999-），女，四川樂(lè)至人，華中師范大學(xué)教育學(xué)院，碩士生。]

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