數(shù)概念建構(gòu)中直觀想象的運(yùn)用

鐘燕 劉君

摘 要：數(shù)的概念比較抽象，需要借助直觀的圖形來(lái)理解。數(shù)概念建構(gòu)中直觀想象的運(yùn)用一般包括三個(gè)層次，即量的感知、形的理解、“系”的架構(gòu)?；诖耍缎?shù)的意義》一課的教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷如下三個(gè)環(huán)節(jié)：借直觀之形，理解量之間的關(guān)系，初步形成小數(shù)的表象；借關(guān)聯(lián)之形，理解數(shù)之間的關(guān)系，建構(gòu)小數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵；借結(jié)構(gòu)之形，理解數(shù)的整體性，獲得小數(shù)的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；直觀想象；數(shù)概念；數(shù)形結(jié)合；小數(shù)的意義

一、直觀想象與數(shù)的認(rèn)識(shí)

直觀想象是連接直觀與抽象的重要過(guò)程，也是探索形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象化表達(dá)，數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象?！霸谡J(rèn)識(shí)數(shù)之前首先要認(rèn)識(shí)數(shù)量，并在認(rèn)識(shí)數(shù)量的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的關(guān)系，在認(rèn)識(shí)數(shù)的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)之間的關(guān)系。數(shù)量之間最基本的關(guān)系是多與少，與此對(duì)應(yīng)，數(shù)之間最基本的關(guān)系是大與小。”［1］數(shù)的概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)（尤其是數(shù)的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)），也幾乎是所有學(xué)科的基礎(chǔ)。數(shù)的認(rèn)識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，涉及整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等的認(rèn)識(shí)。

數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程是一個(gè)從直觀到抽象的遞進(jìn)過(guò)程。從具有現(xiàn)實(shí)意義的具體數(shù)量開(kāi)始，如糖果的顆數(shù)、房子的幢數(shù)、車子的輛數(shù)等，在數(shù)數(shù)的過(guò)程中達(dá)成量與物的一一對(duì)應(yīng)，在腦海中完成對(duì)數(shù)的構(gòu)造，這一過(guò)程離不開(kāi)實(shí)物的模型支撐。然后，在多與少的感受中，逐漸抽象成利用圖形對(duì)應(yīng)表征具體數(shù)量，把同等數(shù)量的不同事物對(duì)應(yīng)于同一類圖像，漸而形成數(shù)的模型——特別是基于心理數(shù)軸實(shí)現(xiàn)空間與數(shù)量的融合［2］。最后，將圖形符號(hào)化來(lái)表示數(shù)。

對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)的概念比較抽象。在教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生借助能夠顯示數(shù)的直觀材料，利用實(shí)物、圖形等載體進(jìn)行數(shù)學(xué)想象和思考，從而明確形與數(shù)的聯(lián)系，建立數(shù)的直觀模型，把握數(shù)的意義，由此讓規(guī)定性的數(shù)學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為理解性的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓數(shù)看得見(jiàn)、摸得著。

二、策略要義

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排，多以直觀想象的借形理解策略引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)的概念進(jìn)行建構(gòu)。但是，在實(shí)際教學(xué)中，直觀想象的過(guò)程常被簡(jiǎn)化。實(shí)際上，使用借形理解策略幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)的概念，應(yīng)以“形”為載體積累表象，推動(dòng)學(xué)生直觀感知、分析、建構(gòu)或拓展相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的直觀想象過(guò)程。具體來(lái)說(shuō)，一般要經(jīng)歷以下三個(gè)層次：

第一，借助實(shí)際的具體數(shù)量，理解數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義?；趯W(xué)生的原始經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)數(shù)概念的學(xué)習(xí)。原始經(jīng)驗(yàn)可能來(lái)源于生活經(jīng)驗(yàn)，也可能是之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時(shí)，可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)意義創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)表征數(shù)，如借助具象實(shí)物，通過(guò)擺一擺、10個(gè)一堆等行為，感知數(shù)所表示的具體量；同時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖圈一圈等方式，從實(shí)物到圖形，對(duì)表象進(jìn)行抽象，理解數(shù)量是一種對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中與量有關(guān)的事物的抽象。

第二，借助圖形的多樣變化，理解數(shù)的抽象意義。數(shù)概念的理解是一次次抽象的過(guò)程，借形的要義在于關(guān)聯(lián)與想象。要引導(dǎo)學(xué)生在圖形之間、圖形要素之間尋找關(guān)系，產(chǎn)生關(guān)聯(lián)與想象，通過(guò)圖形的多樣變化，理解數(shù)的位值概念以及數(shù)位之間的進(jìn)率關(guān)系，感知數(shù)中不同位值的大小關(guān)系，從而幫助學(xué)生更清楚地看到數(shù)的本質(zhì)關(guān)系。

第三，借助數(shù)系的內(nèi)涵拓展，理解數(shù)形的互鑒意義。數(shù)概念的學(xué)習(xí)是一次次數(shù)系拓展的過(guò)程，數(shù)系的形成是一個(gè)越來(lái)越抽象的過(guò)程。在此過(guò)程中，學(xué)生需要不斷地借助直觀的數(shù)軸進(jìn)行豐富的想象，才能形成對(duì)數(shù)的完整理解、立體認(rèn)知。在借形理解的過(guò)程中，數(shù)形關(guān)系的互通是建構(gòu)數(shù)概念體系的重要過(guò)程。

三、實(shí)踐案例

現(xiàn)以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《小數(shù)的意義》一課為例，具體闡述數(shù)概念建構(gòu)中直觀想象運(yùn)用的借形理解策略。

本課是學(xué)生在認(rèn)識(shí)了整數(shù)以及初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)和小數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)小數(shù)的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)的四則運(yùn)算打基礎(chǔ)。學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)的過(guò)程中，對(duì)位值記數(shù)法、“滿十進(jìn)一”有著豐富的經(jīng)驗(yàn)，能在具體情境中，借助十進(jìn)分?jǐn)?shù)理解小數(shù)表示的意思。但是，前測(cè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)一個(gè)抽象的小數(shù)做圖示化的意義解讀，存在一定的困難。張奠宙先生認(rèn)為：“小數(shù)的本質(zhì)在于‘位置記數(shù)法的拓展，而不在‘十分之幾的表述。小數(shù)是將個(gè)、十、百、千等不斷擴(kuò)大的位置計(jì)數(shù)方式，朝著另一個(gè)方向（‘不斷縮小的位置計(jì)數(shù)方式）加以延伸，是整數(shù)的延續(xù)?！保?］由此，本課應(yīng)當(dāng)強(qiáng)化小數(shù)與整數(shù)的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)十進(jìn)位置制記數(shù)法的拓展理解小數(shù)的意義。借形理解策略可以在這樣的學(xué)習(xí)目標(biāo)引導(dǎo)下逐漸展開(kāi)，助力學(xué)生立體建構(gòu)小數(shù)的概念。

（一）借直觀之形，理解量之間的關(guān)系，初步形成小數(shù)的表象

【教學(xué)活動(dòng)1】 畫(huà)指定長(zhǎng)度的線段

教師先出示3、0.3、30、0.03這四個(gè)數(shù)，請(qǐng)學(xué)生讀一讀、認(rèn)一認(rèn)；再加上長(zhǎng)度單位“厘米”，提出任務(wù)要求“在半張A4紙上畫(huà)出這四個(gè)長(zhǎng)度的線段”，讓學(xué)生自主完成、小組討論。

這一活動(dòng)，一方面立足學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)，以“計(jì)數(shù)單位”為核心，借助直觀的長(zhǎng)度模型——線段，讓學(xué)生在具體畫(huà)線段的過(guò)程中，感知小數(shù)的意義、小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系；另一方面，利用成組出現(xiàn)的四個(gè)數(shù)據(jù)，建立整數(shù)和小數(shù)的聯(lián)系，促進(jìn)十進(jìn)位值制的遷移。

由于紙張大小以及操作精度的限制，在這個(gè)活動(dòng)中，3厘米和0.3厘米容易被畫(huà)出來(lái)；而30厘米和0.03厘米一個(gè)太長(zhǎng)，一個(gè)太短，很難被畫(huà)出來(lái)。因此，教學(xué)反饋主要分兩個(gè)層次：

一是3厘米和0.3厘米是怎么畫(huà)出來(lái)的。結(jié)合線段圖，引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)理解3厘米是3個(gè)1厘米，和單位“1”建立聯(lián)系；0.3厘米是3個(gè)0.1厘米，說(shuō)明把1厘米平均分成10份，其中的3份是就是0.3厘米，也即310厘米。

二是30厘米和0.03厘米畫(huà)不出來(lái)怎么辦。引導(dǎo)學(xué)生在想象畫(huà)線段的過(guò)程中，理解30厘米是3個(gè)10厘米，或30個(gè)1厘米；0.03厘米是3個(gè)0.01厘米，說(shuō)明把0.1厘米再平均分成10份，其中的3份就是0.03厘米，也即3100厘米，或把1厘米平均分成100份，其中的3份就是0.03厘米。

畫(huà)線段活動(dòng)聚焦數(shù)的大小，在紙上反映出來(lái)也就是線段的長(zhǎng)度?；诙攘壳榫常诋?huà)圖、觀察、比較和說(shuō)理等豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，借形理解1厘米這一基本單位，感知小數(shù)概念的表象，實(shí)現(xiàn)小數(shù)與分?jǐn)?shù)、整數(shù)的連接以及數(shù)概念教學(xué)的整體性和一致性。

（二）借關(guān)聯(lián)之形，理解數(shù)之間的關(guān)系，建構(gòu)小數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵

【教學(xué)活動(dòng)2】 看圖寫數(shù)

教師出示圖1，提出問(wèn)題：這四幅圖表示了四個(gè)數(shù)，你認(rèn)為表示的是哪四個(gè)數(shù)？怎么想的？讓學(xué)生獨(dú)立思考、同桌交流。

這一活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生建立圖形與數(shù)的關(guān)系，借助有關(guān)聯(lián)的圖形，獲取數(shù)之間的關(guān)系。教學(xué)反饋主要分三個(gè)層次：

一是把小正方體看成1。學(xué)生基于整數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，把一個(gè)小正方體看成1，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，得到10個(gè)一是10，10個(gè)十是100，10個(gè)百是1000，從而認(rèn)為這四幅圖表示的數(shù)分別是1000、100、10、1。

二是把大正方體看成1。學(xué)生往另一個(gè)方向思考（退位的方向），把1個(gè)大正方體看成1，表示的數(shù)依次就變成了1、0.1、0.01、0.001。教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)明：把1平均分成10份，其中的1份就是0.1，也就是110；把0.1再平均分成10份，其中的1份就是0.01，也就是1100；把0.01再平均分成10份，其中的1份就是0.001，也就是11000。

三是把任意一個(gè)圖形看成1。在變化比較中，學(xué)生受到啟發(fā)，認(rèn)識(shí)到可以把這四幅圖中的任意一個(gè)看成1，根據(jù)它們之間的十進(jìn)關(guān)系，得到不同的數(shù)。

隨即，教師出示圖2，提出問(wèn)題：如果把左邊的大正方體看成1，右邊的這幾幅圖合起來(lái)表示幾？學(xué)生回答后，教師追問(wèn)：為什么表示0.22？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，這幾幅圖表示22個(gè)0.01或2個(gè)0.1加2個(gè)0.01。

以圖形化問(wèn)題為載體，從圖形中獲得直觀想象的能力，即從圖中獲取合理的思維，認(rèn)識(shí)從形入手，掌握從形起步，這也是借形理解的重要價(jià)值。這個(gè)環(huán)節(jié)，以正方體為載體，建立直觀模型，突出1的關(guān)鍵作用，幫助學(xué)生理解小數(shù)概念的本質(zhì)：以1為基本單位，可以向大小兩個(gè)方向延伸，得到整數(shù)和小數(shù)；整數(shù)是計(jì)數(shù)單位的累加，滿足十進(jìn)制；小數(shù)是計(jì)數(shù)單位的均分，滿足十分制。

（三）借結(jié)構(gòu)之形，理解數(shù)的整體性，獲得小數(shù)的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)

在利用看得見(jiàn)長(zhǎng)度、體積的線段、方塊圖，引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義的基礎(chǔ)上，再利用半抽象的計(jì)數(shù)器和數(shù)線模型，幫助學(xué)生系統(tǒng)建構(gòu)小數(shù)的概念。

【教學(xué)活動(dòng)3】 在計(jì)數(shù)器上表示數(shù)

這個(gè)活動(dòng)主要分兩個(gè)層次。一是在計(jì)數(shù)器上表示0.22，交流時(shí)聚焦計(jì)數(shù)單位。二是在0.22的基礎(chǔ)上接著往下?lián)軘?shù)，先一起數(shù)，計(jì)數(shù)器停在0.29時(shí)問(wèn)：“再加一個(gè)0.01是幾？你是怎么寫的？”辨析得出10個(gè)0.01就是0.1。繼續(xù)問(wèn)：“再撥幾個(gè)又要前進(jìn)一位了？為什么？”辨析得出10個(gè)0.1就是1.0。

由此，從整數(shù)和小數(shù)聯(lián)系的角度進(jìn)行小結(jié)：數(shù)數(shù)也就是數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，都是滿十進(jìn)一。該活動(dòng)借助計(jì)數(shù)器，緊緊圍繞著十進(jìn)位值制，幫助學(xué)生融合小數(shù)與整數(shù)的進(jìn)率與位值，建構(gòu)更為完整的記數(shù)系。

【教學(xué)活動(dòng)4】 在數(shù)線上表示數(shù)

教師出示圖3，布置任務(wù)：在數(shù)線上找出各個(gè)小數(shù)的位置。請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成。

反饋時(shí)重點(diǎn)交流0.72和1.3是如何確定的。0.72里有7個(gè)0.1和2個(gè)0.01，基于前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生容易正確解答。對(duì)于1.3，學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題是標(biāo)在0.13或1.03的位置。根據(jù)學(xué)生的真實(shí)錯(cuò)誤，突出小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，在辨析過(guò)程中明確數(shù)線上的1，以及1.3里有13個(gè)0.1。

該活動(dòng)借助數(shù)線模型，進(jìn)一步抽象數(shù)的直觀表征，并且把小數(shù)納入有理數(shù)的體系中，化形散為神合，發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)線上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。［4］

回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)，借形理解是直觀想象的典型特點(diǎn)：借線段之形、關(guān)聯(lián)之形和結(jié)構(gòu)之形，強(qiáng)化小數(shù)與整數(shù)的關(guān)聯(lián)，結(jié)合十進(jìn)制位值記數(shù)法的深刻認(rèn)識(shí)，理解小數(shù)的意義。以“線段、立方體、計(jì)數(shù)器、數(shù)線”為載體的“形”，在助力學(xué)生理解小數(shù)的意義、感受小數(shù)的本質(zhì)、建構(gòu)小數(shù)概念的過(guò)程中，起到了重要的作用。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題［M］.北京：高等教育出版社，2013：3-7.

［2］ 吳增生.“有理數(shù)”單元教學(xué)研究：在教育神經(jīng)科學(xué)視野下［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（4）：60.

［3］ 張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究［M］.北京：高等教育出版社，2010：89-94.

［4］ 費(fèi)嶺峰.三重認(rèn)知，助力數(shù)概念立體建構(gòu)——人教版四下“小數(shù)的意義”教與思［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018（7/8）：105-108.