高效課堂探索之移花接木

毛廣魁

蘇科版八上《2.5等腰三角形》共3課時，本人在教學第一課時知識時，覺得上課時間特別緊湊，學生在這時對“三線合一”定理的理解和運用效果很不好。學生學習數(shù)學知識本就需要有連貫性，那就從圖形的本質出發(fā)展開對本內容的學習。本案例從單個等腰三角形圖形出發(fā)開始探究，隨著探究的深入在這一個圖上研究性質、判定，再到類比到等邊三角形性質、判定學習。全課時“一圖以貫之”。

案例背景：學生學習數(shù)學知識需要有連貫性，本人在教學等腰三角形第一課時知識時，覺得上課時間特別緊湊，學生在這里對三線合一定理的理解和運用效果很不好。既然是第一次正式探究等腰三角形的性質為什么不多在原生圖形上好好研究，而要探究添加了底邊高線的等腰三角形性質？問題是在學生認知中本就沒有那條高線，學生探究時必須畫出底邊高線，這使得學生思維跨越大了些，很多學生不易高效掌握等腰三角形知識。本案例就對等腰三角形知識教學提出整合意見，主要是課時1和課時2的學習調整。

教材分析：等腰三角形內容是蘇科版八年級上學期教材第二章軸對稱圖形第5節(jié)內容，本節(jié)內容教材安排三節(jié)課，第一節(jié)課內容是等腰三角形性質定理1等邊對等角、定理2三線合一；第二節(jié)課內容為等腰三角形判定定理——等角對等邊，等邊三角形性質和判定定理；第三節(jié)課內容為直角三角形斜邊上中線定理。

學生分析：等腰三角形是八年級上學期圖形內容，學生已經(jīng)掌握了第一章全等三角形的相關知識，還在本章剛學習過軸對稱圖形的內容，對翻折、重合有一定感性認識，會用基本的圖形語言進行簡單推理。

教學內容：“2.5等腰三角形的軸對稱性”第一課時，研究等腰三角形的性質定理1和判定定理、探索等邊三角形的性質定理及判定定理。

學習目標：

（1）經(jīng)歷探索等腰三角形的軸對稱性的過程，進一步體驗軸對稱的特性，培養(yǎng)幾何直觀能力；

（2）探索等腰三角形的性質定理1、等腰三角形的判定定理、探索等邊三角形的性質定理及判定定理；

（3）在“操作—探究—歸納—證明”的過程中，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力。

學習重點：探索等腰三角形的性質定理1、等腰三角形的判定定理。

學習難點：利用等腰三角形性質定理和判定定理解決問題。

學習過程：

今天我們一起來研究等腰三角形，老師在課件中呈現(xiàn)一個等腰三角形。

探索一：等腰三角形的性質定理1

在黑板上畫一等腰三角形（注：留作底板圖）

師問：談談你的對等腰三角形的認識。

生1：等腰三角形兩條腰相等。

生2：等腰三角形分為銳角等腰三角形、直角等腰三角形、鈍角等腰三角形。

教師在黑板上畫銳角等腰三角形、直角等腰三角形、鈍角等腰三角形。

師問：按角的大小來給等腰三角形分類，實際上是按哪個角的大小來分類的？

生：按頂角分類。

師問：那兩個底角之間有怎樣的大小關系？

生：等腰三角形的兩個底角相等。

思考：為什么說等腰三角形的兩個底角是相等的？

師：把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：發(fā)現(xiàn)兩條腰重合，兩個底角重合。

生2：得到等腰三角形兩條腰相等，兩個底角相等。

師歸納得到等腰三角形性質定理：<板書>

等腰三角形的兩個底角是相等（等邊對等角）。

圖形語言：∵AB=AC，∴∠B=∠C。

練一練：（口答）

（1）在等腰三角形中，

①如果兩邊長分別是5和12，則這個等腰三角形的周長是? ? ?；（考查等腰三角形邊性質的運用與掌握）

②如果兩邊長分別是5和6，則這個等腰三角形的周長是? ? ?；（分類思想在這里的運用）

③如果這個等腰三角形的周長是17，一邊長是5，則另兩邊的長是? ? ?。（互逆思想在這里的運用）

（2）在△ABC中，AB=AC，

①如果∠B=70°，那么∠C=? ? °，∠A=? ? °；

②如果∠A=70°，那么∠B=? ? °，∠C=? ? °；

③如果有一個角等于120°，那么∠A=? ? ? ? ?°，∠B=

°，∠C=? ? ? ? °；（考查等腰三角形角性質的運用與掌握）

（3）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∠BAC＝120°。求：∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù)。（直接在老師所畫圖3底板中添加底邊BC上的高線出問題）（變式：把高做在圖2圖1上求解一次）。

例題：在圖3中，作腰AB的垂直平分線交BC于點E，你能得到哪些相等的角？

即已知：如圖4，在△ABC中，AB=AC，點E在BC上，且AE=BE。求證? ? ? ? 。

（本題是書中的例1，更改為開放性問題，易想到∠B=∠C=∠BAE，可以進一步思考∠AEB=∠BAC）

注：不增加圖形，以圖3為底板畫，本題是等腰三角形性質定理的運用，引導學生由圖形邊的相等關系聯(lián)想角之間的關系。

學生討論：由AB=AC可以得到∠B=∠C，由AE=BE可得∠B=∠BAE，綜上可得∠C=∠BAE，又因為∠BAC=∠BAE+∠CAE、∠AEB=∠C+∠CAE可以得到∠BAC=∠AEB。每得到一個結論，嘗試用圖形語言說出理由。

探索二：等腰三角形的判定定理。

師問：滿足什么條件的三角形會是等腰三角形？

<板書>

定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

圖形語言：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形

判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（等角對等邊）

圖形語言：∵∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。

練一練：（口答）

（1）在△ABC中，如果∠B=70°，∠A=40°，那么△ABC是? ? ? ? 三角形。

（2）變更例題上條件，再思考。

變式1：已知如圖4，在△ABC中，點E在BC上，AE=BE，∠BAC=∠AEB。求證：AB=AC。

注：還用書中例1的圖，更改條件。（由已知能推出∠B=∠C，用判定定理得到AB=AC）

變式2：已知如圖4，在△ABC中，AB=AC，點E在BC上，且∠BAC=∠AEB。求證：AE=BE。

（3）已知如圖5，在△ABC中，AB=AC，腰AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F。求證：AF=AE。

注：以圖3為底板，再加一腰垂直平分線，變新問題求解。

探索三：等邊三角形的性質和判定定理。

師問：等邊三角形與等腰三角形有怎樣的關系呢？

生：等邊三角形是特殊的等腰三角形 。

<板書>定義：三邊都相等的三角形叫作等邊三角形或正三角形。

圖形語言：∵AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形

師問：你能借助剛才的經(jīng)驗，類比思考等邊三角形的性質和判定方法嗎？

生：由等邊對等角的性質得到等邊三角形各角都相等。

<板書>性質：等邊三角形的各角都等于60°。

圖形語言：∵AB=AC=BC，∴∠A=∠B=∠C=60°

思考：（1）如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形嗎？

生：如圖6，由∠A=∠B，∠B=∠C，可證AC=BC，AB=AC，所以AB=BC=AC，△ABC是等邊三角形。

<板書>判定定理：三個角都相等的三角形是等邊三角形。

圖形語言：∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形。

（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？

生1：如果頂角是60°，那么兩個底角相等，也都是60°。

生2：如果一個底角是60°，那么另一個底角也是60°，并且頂角也是60°。

<板書>判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

圖形語言：∵AB=AC且∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形。

練一練：（口答）

注：以圖6為底板，作高AD、BE，求其它各角度數(shù)。

課堂小結：

本節(jié)課我們共同研究了等腰三角形的性質和判定定理，并學習用它們來解決簡單圖形問題：

（1）“等邊對等角”是一個三角形中有兩邊相等證明兩角相等的依據(jù)；“等角對等邊”是判定一個三角形是等腰三角形，或證明兩條線段相等的依據(jù)。

（2）等腰三角形是性質定理和判定定理為互逆的命題，它們揭示了同一個三角形中邊與角之間的關系。

思維拓展：為什么只有等腰三角形會具有等邊對等角這樣的特殊性質？

（因為在所有三角形中只有等腰三角形是軸對稱圖形。）

本案例特點有兩個：

（1）等腰三角形圖形模型呈現(xiàn)后，所出的問題都是在原圖中添加勾畫，這樣做的好處是可以幫助學生固化“等腰三角形”模型，相關問題都是從這些圖形中添加勾畫出來的。

（2）把“三線合一定理”放在了第二課時中，好處有兩個：其一，第一課時的主要研究對象是等腰三角形，學生腦海中模型應與案例中呈現(xiàn)的圖1圖2圖3重合，這里是沒有高線、中線或角平分線存在的。更利于學生形成等腰三角形模型印象。其二，等腰三角形“三線合一定理”運用比較靈活，定理條件有兩個，由AB=AC再加上一個條件才可以推結論，擺在第二課時可以分類多做幾個針對性問題訓練。幫助學生更高效地把“三線合一定理”用好。

反思：出于對等腰三角形知識的認識，為幫助學生更高效地學好這部分知識，本人對第一、第二這兩課時內容加以了改動，教學時課程進行比較順利，學生學起來沒有大的思維跨度，針對更高效地掌握等腰三角形相關知識做好了鋪墊，作業(yè)反饋也比較好。這次“移花接木”的嘗試也讓筆者感覺到對待教材不一定要“生搬硬套”，根據(jù)學生認知特點、課程教學難點做一些整合和修改還是可行的，以后還會大膽嘗試。

（作者單位：南京市棲霞區(qū)花園中學）