立足整式本質(zhì) 拓展數(shù)學(xué)思維

周強(qiáng)

［摘? 要］ 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出了“代數(shù)式的推理”的要求，強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生形成推理意識，了解代數(shù)推理. 代數(shù)式的推理是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是重慶市中考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一. 代數(shù)的推理往往需要抓住內(nèi)容本質(zhì)，從內(nèi)容的本質(zhì)出發(fā)，去分析、歸納、總結(jié)、提煉. 文章以2022年重慶市中考數(shù)學(xué)第12題為例，從不同的角度進(jìn)行分析，尋求突破口，在實(shí)現(xiàn)一題多解的同時(shí)拓展學(xué)生的思維.

［關(guān)鍵詞］ 一題多解；數(shù)學(xué)思維；核心素養(yǎng)

試題呈現(xiàn)

試題? （2022年重慶中考數(shù)學(xué)第12題）在多項(xiàng)式x－y－z－m－n中任意加括號，加括號后仍只有減法運(yùn)算，然后按給出的運(yùn)算順序重新運(yùn)算，稱此為“加算操作”. 例如：（x-y）－（z-m-n）=x－y－z+m+n，x－y－（z-m）－n=x－y－z+m－n. 有下列說法：①至少存在一種“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；②不存在任何“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；③所有可能的“加算操作”共有8種不同的運(yùn)算結(jié)果. 其中正確說法的個(gè)數(shù)是（? ? ?）

A. 0? ? B. 1? ? C. 2? ? D. 3

解法探析

本題是2022年重慶中考選擇題的壓軸題，以整式的加減運(yùn)算、去括號法則為測評背景，巧妙設(shè)問，逐步深入，旨在讓學(xué)生理解“加算操作”的含義，并驗(yàn)證題目中不同的說法正確與否. 本題圍繞“加算操作”依次展開，其中主要的創(chuàng)新點(diǎn)體現(xiàn)在：（1）作為一種新型材料閱讀題，不僅考查學(xué)生對“加算操作”定義的理解，還考查學(xué)生對“至少存在一種”“不存在任何”等關(guān)鍵詞的理解. 如對于第②種說法，不少學(xué)生會鉆牛角尖，將y值人為地設(shè)定成x值的相反數(shù)，認(rèn)為第②種說法是錯(cuò)誤的，導(dǎo)致最終選錯(cuò)選項(xiàng). （2）對于第③種說法，大多數(shù)學(xué)生會選擇枚舉法，這就要求學(xué)生要做到面面俱到，要滴水不漏地考慮各種情況，同時(shí)做到全面且有序. 學(xué)生在考場多少會出現(xiàn)焦慮、粗心等情況，因此對于此類需要分類討論的試題，他們常?？紤]得不夠全面，會出現(xiàn)漏算、錯(cuò)算，最終因錯(cuò)選丟分.

1. 判斷第①種說法正確與否

要證明第①種說法正確，舉例一種“加算操作”，其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等即可. 不難發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式x前面的符號是正號，于是把前括號加到x前面，就不會改變原多項(xiàng)式的運(yùn)算結(jié)果. 舉例如下：（x-y）－z－m－n=x－y－z－m－n，（x－y－z）－m－n=x－y－z－m－n. 所以第①種說法正確.

2. 判斷第②種說法正確與否

對原多項(xiàng)式進(jìn)行“加算操作”，可以觀察到運(yùn)算結(jié)果始終為x-y…，即運(yùn)算結(jié)果的前兩項(xiàng)與原多項(xiàng)式的前兩項(xiàng)保持一致，所以“加算操作”的結(jié)果與原多項(xiàng)式的和為2x-2y…. 因此，不存在任何“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0. 第②種說法正確.

3. 判斷第③種說法正確與否

（1）解法1：枚舉法

問所有可能的“加算操作”的運(yùn)算結(jié)果有幾種，可通過枚舉法，寫出原多項(xiàng)式的所有“加算操作”存在的情況，最后匯總.

當(dāng)添加一個(gè)括號時(shí)，有7種不同的結(jié)果，如：（x-y）－z－m－n=x－y－z－m－n；x－（y-z）－m－n=x－y+z－m－n；x－（y－z－m）－n=x－y+z+m－n；x－（y－z－m－n）=x－y+z+m+n；x－y－（z-m）－n=x－y－z+m－n；x－y－z－m－n=x－y－z+m+n；x－y－z－（m-n）=x－y－z－m+n.

當(dāng)添加兩個(gè)括號時(shí)，有1種不同的結(jié)果：x－（y-z）－（m-n）=x－y+z－m+n.

通過枚舉法我們發(fā)現(xiàn)，對原多項(xiàng)式添加一個(gè)括號或兩個(gè)括號后，得到的多項(xiàng)式的不同運(yùn)算結(jié)果共有8種.

（2）解法2：排列組合法

原多項(xiàng)式x－y－z－m－n中單項(xiàng)式前面的運(yùn)算符號為負(fù)號的有四項(xiàng)，通過“加算操作”可以改變運(yùn)算符號的有三項(xiàng). 對這三項(xiàng)進(jìn)行“加算操作”，每一項(xiàng)可能出現(xiàn)的運(yùn)算符號為兩種：保持負(fù)號或者進(jìn)行“加算操作”后得到正號. 因此可運(yùn)用排列組合的方法，得到多項(xiàng)式經(jīng)過“加算操作”后運(yùn)算結(jié)果有2×2×2=8（種）不同的結(jié)果.

解法探析

1. 把握數(shù)學(xué)要求，立足整式本質(zhì)

本題是在整式背景下的加減運(yùn)算問題，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）對整式提出了概念，合并同類項(xiàng)和去括號法則，四則運(yùn)算三個(gè)方面的要求，旨在讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中理解和掌握整式的本質(zhì)，讓教師在教學(xué)過程中凸顯整式的本質(zhì)，讓試題在命制過程中回歸整式的本質(zhì). 縱觀近幾年各地中考數(shù)學(xué)試卷，對整式內(nèi)容的考查，要么過于簡單，試題中規(guī)中矩、缺乏區(qū)分度，要么一味地求偏求難，計(jì)算過程復(fù)雜，并不能很好地體現(xiàn)整式應(yīng)有的考查價(jià)值. 諸如此類的試題不但沒有提升初中數(shù)學(xué)學(xué)科教育質(zhì)量和作業(yè)設(shè)計(jì)水平，還與《課標(biāo)（2022年版）》的要求背道而馳，徒增了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān).

上面的試題立足于整式的去括號法則、加減運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，可從多個(gè)角度思考，考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)核心知識和基本技能的掌握，以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、符號意識等素養(yǎng).

2. 巧設(shè)數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)人文關(guān)懷

上面的試題對教材中整式的加減運(yùn)算進(jìn)行變式，構(gòu)思巧妙，題目簡潔明了，子問題的設(shè)定遵循了“由易到難，由特殊到一般”的原則，做到了層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，前一個(gè)問題的解決為后一個(gè)問題的解決提供了一定的思路和鋪墊，凸顯了問題設(shè)置的連貫性和有效性，體現(xiàn)了試題的區(qū)分度、信度和效度.

3. 聚焦數(shù)學(xué)思想，提升核心素養(yǎng)

（1）特殊與一般的思想. 對于某些一般性數(shù)學(xué)問題，可以先考慮其特殊情況，也就是從研究對象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯咳w對象中的一個(gè)對象或部分對象，然后把解決特殊情況的方法或結(jié)論推廣到一般問題上，從而得到一般性問題的結(jié)論. 為了判斷本題的第①種說法和第②種說法是否正確，我們可以從特殊的、具體的多項(xiàng)式入手，進(jìn)而證明一般性結(jié)論. 通過引導(dǎo)，學(xué)生能對特殊情況進(jìn)行舉例、猜想，進(jìn)而驗(yàn)證一般性結(jié)論，得到想要的結(jié)論.

（2）分類討論思想. 對于一些特定的數(shù)學(xué)問題，需要合理地分類，分門別類地進(jìn)行研究，最后綜合各類研究結(jié)果得到整體問題的結(jié)果. 如本題的第③種說法，要得到所有可能的“加算操作”的不同運(yùn)算結(jié)果，就要依次討論加一個(gè)括號、加兩個(gè)括號的運(yùn)算結(jié)果，然后從前往后依次添加括號進(jìn)行討論. 分類討論有幾個(gè)原則：一是分類的總域是確定的；二是分類必須完整，要做到不重不漏；三是分類的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一；四是需要多次分類時(shí)，應(yīng)逐級進(jìn)行. 教師講解試題時(shí)，通過對分類思想的滲透，能讓學(xué)生所學(xué)的知識更加系統(tǒng)、有條理，能讓學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)［1］.

教學(xué)啟思

1. 減量提質(zhì)，讓學(xué)生做好題

2021年，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，“雙減”政策正式出臺. 針對初中數(shù)學(xué)，“雙減”政策落到實(shí)處的總要求是：落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，立足初中數(shù)學(xué)課堂和學(xué)生實(shí)際，減少初中數(shù)學(xué)學(xué)科作業(yè)總量，提高初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量，讓學(xué)生在校內(nèi)學(xué)會、學(xué)足、學(xué)好. 量減下來了，質(zhì)如何提上去，怎樣讓學(xué)生“做好題”，值得教師深究. 一道好題，應(yīng)該符合初中生的興趣愛好和心理特征，題目體現(xiàn)的形式新穎多樣，內(nèi)容緊扣學(xué)習(xí)重點(diǎn)卻不失趣味性，能讓學(xué)生在做題時(shí)樂于思考，感受作業(yè)的樂趣. 例如，對于“整式”一章的作業(yè)布置，教師可以讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際，解決生活問題，如計(jì)算近日的溫差、階梯電價(jià)下的最優(yōu)選擇，并對一些枯燥乏味的數(shù)據(jù)賦予趣味的、生活的意義，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

本題既很好地考查了整式的去括號法則、加減運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，又創(chuàng)設(shè)性地提出了一種新的運(yùn)算操作，避免了“雷同”常規(guī)題，不失為一道好題. 所以教師在布置作業(yè)時(shí)，應(yīng)避免布置單一的、機(jī)械化的作業(yè)，盡量選擇符合初中生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律、結(jié)合時(shí)代發(fā)展的優(yōu)質(zhì)作業(yè)，真正實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)練習(xí)、分層作業(yè). 要讓學(xué)生在作業(yè)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高研究能力，增強(qiáng)運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力.

2. 環(huán)環(huán)相扣，讓教師教好課

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可結(jié)合學(xué)情選擇“環(huán)環(huán)相扣”的習(xí)題作為例題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的已知條件、結(jié)論，挖掘潛在條件，一步一步地去求解問題，并通過題目的引導(dǎo)逐步解決每一個(gè)問題. 實(shí)際上，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程本身就是一個(gè)環(huán)環(huán)相扣、由淺入深、由簡到繁的過程. 縱觀初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的編排，七年級的數(shù)學(xué)重基本概念，內(nèi)容比較簡單；八年級的數(shù)學(xué)逐漸變得綜合，知識之間的聯(lián)系變強(qiáng)；九年級的數(shù)學(xué)綜合性最強(qiáng)，與前兩個(gè)年級的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密，內(nèi)容的深度、難度都提高不少. 所以，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生思考、積累、總結(jié)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連貫性和系統(tǒng)性，讓他們切身體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奧妙.

3. 深思精想，讓師生共同進(jìn)步

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)活動的科學(xué)依據(jù)，它為數(shù)學(xué)活動把握了方向，對構(gòu)建數(shù)學(xué)模型具有一定的指導(dǎo)作用，在學(xué)生用所學(xué)知識解決實(shí)際問題中具有定向功能［2］. 初中數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、特殊與一般思想、整體思想、化歸思想、極限思想等，本題就體現(xiàn)了分類討論思想和特殊與一般思想. 離開數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)知識是淺顯的；離開數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)思想是空洞的. 所以教師要在教學(xué)過程中不斷地滲透數(shù)學(xué)思想，要讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)不斷地分析、挖掘，找到蘊(yùn)含其中的思想方法，進(jìn)而養(yǎng)成精準(zhǔn)有效的解題思維. 不僅學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)思想，教師更要學(xué)好數(shù)學(xué)思想，唯有如此，教師才能做好數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)者、組織者和傳授者. 教師應(yīng)多看、多思、多寫，即多研讀數(shù)學(xué)教材及練習(xí)冊等，多思考蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想，多撰寫科學(xué)合理的教案，最終形成一套科學(xué)完備的數(shù)學(xué)思想教學(xué)方法體系. 教學(xué)是教師教和學(xué)生學(xué)的雙邊過程，唯有師生都具備深化數(shù)學(xué)思想的意識，才能共同進(jìn)步.

參考文獻(xiàn)：

［1］張璐璐. 數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)與滲透［D］. 山西大學(xué)，2021.

［2］沈文選. 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法［M］. 長沙：湖南師范大學(xué)出版社，1999.