培養(yǎng)模型意識 發(fā)展數(shù)學(xué)思維

劉小慧

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)模型作為溝通數(shù)學(xué)理論和實際應(yīng)用的橋梁，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生產(chǎn)生活中有著重要的應(yīng)用. 研究者采用“情境—探究—交流—反饋”的方法帶領(lǐng)學(xué)生參與一次函數(shù)概念形成和一次函數(shù)模型建立的過程，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的模型意識，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

筆者在教學(xué)“一次函數(shù)（1）”時，從學(xué)生的具體學(xué)情出發(fā)，運用建模思想引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識函數(shù)、理解函數(shù)、應(yīng)用函數(shù)，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的模型意識，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 現(xiàn)將教學(xué)過程呈現(xiàn)給大家，僅供參考，若有不足，請指正.

教學(xué)分析

1. 學(xué)情分析

學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)具備了一些分析量與量之間關(guān)系的能力，這就為進(jìn)一步分析情境中量與量之間的關(guān)系、理解和建構(gòu)一次函數(shù)模型奠定了基礎(chǔ). 此外，初中生還具有一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，所以他們參與課堂的積極性比較高，這有助于生本課堂的展開.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）借助具體情境抽象出一次函數(shù)概念，建構(gòu)一次函數(shù)模型.

（2）理解正比例函數(shù)的概念.

（3）借助實際背景，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、抽象能力，積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗.

（4）感受建模思想、從特殊到一般思想、分類思想等數(shù)學(xué)思想方法，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 教學(xué)重、難點

（1）理解一次函數(shù)的概念、特點和意義.

（2）建立一次函數(shù)模型.

教學(xué)實錄

1. 借助情境，引入新課

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，對其圖象也有了一定的認(rèn)識，今天我們就開始研究一類具體的函數(shù). 下面我們來看一下幾個具體的問題. （教師用PPT出示問題）

問題1? 已知注水管的注水速度為25 L/min.

（1）若注水前水箱里沒有水，則水箱里的水量y（L）與注水時間x（min）之間的函數(shù)表達(dá)式是______.

（2）若注水前水箱里有6 L水，則水箱里的水量y（L）與注水時間x（min）之間的函數(shù)表達(dá)式是______.

問題2? 若身高x（cm）減去常數(shù)105所得的差為成人的標(biāo)準(zhǔn)體重y（kg），則標(biāo)準(zhǔn)體重y（kg）與身高x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式是______.

問題3? 一個長10 cm、寬5 cm的長方形的長減少x cm，寬不變，則長方形的面積y（cm2）與x之間的函數(shù)關(guān)系式是______.

設(shè)計意圖? 從學(xué)生已有知識出發(fā)，借助具體情境引導(dǎo)學(xué)生寫出一次函數(shù)表達(dá)式，為抽象的一次函數(shù)模型做鋪墊.

教學(xué)反思：以上問題情境是教師結(jié)合學(xué)生已有生活經(jīng)驗及教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計的，如上述函數(shù)表達(dá)式中的k值有正有負(fù)，b值有正、有負(fù)、有0，這能為后面研究一次函數(shù)表達(dá)式中“k，b的限制條件”做鋪墊. 另外，從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，可以拉近學(xué)生與新知的距離，有助于激發(fā)學(xué)生的探究欲.

2. 互動交流，建構(gòu)模型

師：對于上述幾個問題，你們的答案是——

生1：問題1中第（1）（2）問的答案分別為y=25x，y=25x+6.

生2：問題2的答案為y=x－105.

生3：問題3的答案為y=－5x+50（0<x<10）.

師：答案正確！生3還給出了x的取值范圍，非常好.

師：仔細(xì)觀察上面幾個表達(dá)式，思考一下它們有什么共同點. （教師預(yù)留時間讓學(xué)生自由交流）

生4：都有x和y兩個變量，y是x的函數(shù)，x是自變量，y是因變量.

生5：都是“y=…”的形式.

生6：右邊為一個數(shù)與x的積，再加上或者減去一個常數(shù).

師：加上或者減去一個常數(shù)是否可以都用加來表示呢？

生6：可以，減去一個正數(shù)相當(dāng)于加上一個負(fù)數(shù).

師：如果把與x相乘的數(shù)用字母k表示，常數(shù)用字母b表示，你能寫出它們的一般形式嗎？

生7：y=kx+b.

師：很好，結(jié)合以上表達(dá)式，說一說k，b的取值有什么限制.

生8：b只要是常數(shù)即可；k為常數(shù)，且k≠0. 也就是k，b均為常數(shù)，且k≠0.

師：很好！那自變量x的次數(shù)有什么特點呢？

生（齊）：次數(shù)都為1.

師：是的，次數(shù)都是1. 如果想給這樣的函數(shù)命名，應(yīng)該叫什么呢？

生（齊）：一次函數(shù).

經(jīng)歷以上過程，學(xué)生總結(jié)和歸納一次函數(shù)的概念水到渠成.

師：對于一次函數(shù)y=kx+b，其中k≠0，那b是否可以為0呢？

生9：可以，比如表達(dá)式y(tǒng)=25x，這里的b就等于0.

師：很好，當(dāng)b=0時，y=kx（k為常數(shù)，且k≠0），y叫x的正比例函數(shù).

師：現(xiàn)在請同學(xué)們思考一下，對于正比例函數(shù)和一次函數(shù)，兩者有何關(guān)系？

設(shè)計意圖? 以上教學(xué)環(huán)節(jié)，教師以生為主，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和歸納出了一次函數(shù)的概念、一般形式，從中建立了一次函數(shù)模型，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力和數(shù)學(xué)抽象能力. 教學(xué)中，由具體情境抽象一次函數(shù)模型，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想. 此外，還對比了一次函數(shù)和正比例函數(shù)，借助區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的思辨能力.

教學(xué)反思：學(xué)生對研究函數(shù)、變量的變化規(guī)律等問題還比較陌生，加上學(xué)生的抽象概括能力較弱，因此教師應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生去觀察、去分析、去探索、去交流，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助具體模型中的共性特征逐漸抽象出一般模型，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法，從而更好地認(rèn)識數(shù)學(xué).

3. 借助練習(xí)，鞏固認(rèn)知

師：剛剛我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，并建立了一次函數(shù)模型，現(xiàn)在請大家說一說下面的函數(shù)哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù).

（1）y=5x2+6；（2）y=－5x；（3）y= －；（4）y=－0.5x－1.

以上形成概念及建立模型的過程都是學(xué)生共同參與的，學(xué)生已形成深刻的印象，因此學(xué)生可以輕松地給出正確答案. 接下來教師設(shè)計了如下練習(xí).

練習(xí)1? 已知函數(shù)y=（m+1）x+m2－1.

（1）當(dāng)m_______時，y是x的一次函數(shù)；

（2）當(dāng)m_______時，y是x的正比例函數(shù).

練習(xí)2? 若y=（m2－1）x2+（m－1）x－3（m為常數(shù)）是關(guān)于x的一次函數(shù)，則m的值為____.

設(shè)計意圖? 通過“練”進(jìn)一步深化學(xué)生對一次函數(shù)概念的理解，強化他們對一次函數(shù)表達(dá)式中k，b的值的認(rèn)識，為后續(xù)一次函數(shù)圖象及性質(zhì)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

教學(xué)反思：練習(xí)的設(shè)計既要符合學(xué)生的具體學(xué)情，又要呈現(xiàn)知識的方方面面，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性和全面性.

4. 借助應(yīng)用，強化認(rèn)識

師：接下來我們再看幾個具體應(yīng)用，看看變量y是不是變量x的一次函數(shù)，是不是變量x的正比例函數(shù).

（1）正方形的面積y與邊長x之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）正方形的周長y與邊長x之間的函數(shù)關(guān)系；

（3）長方形的長為常數(shù)a，面積y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系；

（4）A，B兩地相距200 km，小汽車以100 km/h的速度從A地駛向B地，求小汽車離B地的距離y（km）與行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系.

設(shè)計意圖? 引導(dǎo)學(xué)生運用一次函數(shù)解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，讓他們感悟函數(shù)與實際生活之間的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣. 另外，借助具體問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量的取值范圍，為后續(xù)函數(shù)知識的學(xué)習(xí)奠基.

教學(xué)反思：數(shù)學(xué)模型在解決實際問題中有著重要的應(yīng)用，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生運用模型解決有關(guān)的實際問題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

5. 課堂小結(jié)，升華認(rèn)知

在實際教學(xué)中，不同的學(xué)生會有不同的收獲，因此教師有必要預(yù)留一些時間組織學(xué)生交流心得、體會，這樣既有助于豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 在此環(huán)節(jié)，教師應(yīng)以生為主，鼓勵學(xué)生積極交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的熱情，當(dāng)然對于學(xué)生理解不深、含糊不清、表述不當(dāng)?shù)牡胤剑處熞o予適當(dāng)?shù)难a充和強化，從而幫助學(xué)生形成完善的認(rèn)知.

教學(xué)反思

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容、核心內(nèi)容，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點. 從實際教學(xué)來看，部分學(xué)生對一次函數(shù)概念的理解往往存在不足，究其原因，與傳統(tǒng)的教學(xué)模式息息相關(guān). 在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生獲得函數(shù)概念的主要方式來自教師的講授，雖然學(xué)生能夠熟背概念，但是因為缺少分析、思考、探索、概括的過程，學(xué)生對概念并未形成深刻的認(rèn)識. 另外，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)只是為了解題，并沒有真切地體會到函數(shù)與生活之間的密切聯(lián)系，因此影響了學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)的積極性，限制了他們學(xué)習(xí)能力的提升. 其實，對初中生來講，他們已經(jīng)具備了一定的文字信息和圖形信息加工能力，所以教學(xué)中教師要放權(quán)給學(xué)生，讓學(xué)生參與到一次函數(shù)概念的形成和一次函數(shù)模型建立的過程中來，使學(xué)生的思維在參與的過程中發(fā)生質(zhì)的飛躍.

本節(jié)教學(xué)以生為主，從具體情境出發(fā)，讓學(xué)生在實際問題中感悟和理解一次函數(shù)概念及一次函數(shù)與生活實際之間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的模型意識. 在實際教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一次函數(shù)概念形成、發(fā)展和應(yīng)用的全過程，讓學(xué)生對一次函數(shù)的概念及模型形成了深刻的認(rèn)識. 另外，借助“用”，學(xué)生體會到了函數(shù)學(xué)習(xí)的真正價值，激發(fā)了他們的函數(shù)學(xué)習(xí)動機，增強了他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，培養(yǎng)了他們勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神.

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要發(fā)揮初中生參與意識強、思維活躍的優(yōu)勢，放手讓學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn)、去抽象，通過抽象思想、模型思想等思想方法的滲透，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.