高中數(shù)學建模教學存在的問題及對策

李丹

摘? 要：在核心素養(yǎng)時代來臨的今天，數(shù)學模型的教學已經(jīng)成為數(shù)學教育的一個重要內(nèi)容。文章對目前中學數(shù)學建模教學中存在的問題進行了剖析：教師對數(shù)學建模的理解和干擾；缺乏對模型活動的引導(dǎo)以及模型的有效性；教學的評價方式、考核方式單一、封閉。在此基礎(chǔ)上，提出了數(shù)學建模路徑實施的對策：將數(shù)學建模意識滲透到教學中，使數(shù)學的教學過程具有高度建模的思維，實現(xiàn)了密集建模，從而提高了數(shù)學建模研究的完整性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學建模；教學現(xiàn)狀；評價導(dǎo)向

數(shù)學模型在數(shù)學應(yīng)用價值上的強大體現(xiàn)，是一種有效的交流與探究方式，是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的一種有效途徑，也是降低學生“惰性”的有效途徑。從英國、法國到我國的高校，再到中小學，從數(shù)學教育到教學實踐，都表現(xiàn)出了分階段、沉浸式發(fā)展的特征?！毒C合高中數(shù)學課程標準（２０１７年版）》把數(shù)學模型列為數(shù)學６大基本能力之一，并將其作為高中數(shù)學必修課的主要內(nèi)容。通過課堂教學，教育行業(yè)已有了一些初步的結(jié)果。盡管數(shù)學模型課在中學數(shù)學的教學中，已經(jīng)有了一些成績，但許多中學數(shù)學教師對數(shù)學模型的認識還不夠全面，在實際應(yīng)用中存在一些問題。

一、中學數(shù)學建模教學存在的問題

人們所關(guān)心的、研究的和面對現(xiàn)實的事物叫作“原型”，包含了有形的、可觸的、可感知的、無形的、抽象的和隱含的思想的客體。模型是一個構(gòu)造原型的結(jié)構(gòu)，它可以提取、省略或移除原型中的全部信息。在原型系統(tǒng)中，構(gòu)件和鏈路特征各不相同，因此在模型中包含的鏈路特征與要實現(xiàn)的目標緊密相關(guān)。數(shù)學模型通常使用公式、圖形圖和算法等進行表達，公式的載體是數(shù)字文字、數(shù)學符號等，用來描述真實物體的空間運動與量化關(guān)系。

（一）教師錯誤的認識

對數(shù)學建模不熟悉的教師來說，數(shù)學建模就是數(shù)學問題，容易混淆數(shù)學模型和數(shù)學應(yīng)用。即，將應(yīng)用場景添加到數(shù)學、物理和化學的題目中。這樣的偏見會導(dǎo)致學生對應(yīng)用的問題產(chǎn)生封閉的理解：從簡單的表面問題的結(jié)構(gòu)中找出答案，并給出“不能再少”的答案。教師也很容易混淆數(shù)學模型和數(shù)據(jù)統(tǒng)計。數(shù)學模型，就是通過對數(shù)據(jù)的分析、加工，形成表格、柱狀和點狀的圖形或模型。

數(shù)量化的研究是一種形式化的思考材料，它只能從真實的世界中進行創(chuàng)造性地綜合復(fù)制。事實上，在現(xiàn)實生活中，數(shù)學物質(zhì)的生成是一個模型。數(shù)學的數(shù)量、符號、概念定義、定理、公式、規(guī)則和方法等，都是數(shù)學的經(jīng)典模式。為了避免泛化，對數(shù)學模型的理解就會喪失其特殊的含義。在傳統(tǒng)的數(shù)學建模中，人們往往會摒棄數(shù)學知識，不會把它們?nèi)谌霐?shù)學模型中。在日常的數(shù)學教學中，如果教師缺乏對這些問題清晰、合理的認識，就不可能把數(shù)學模型與日常的數(shù)學教學結(jié)合起來。

（二）缺乏足夠的建?；顒又笇?dǎo)

許多數(shù)學課堂都是以小組為單位進行的，小組成員的構(gòu)成和性質(zhì)不完全一致，但是模型活動也能順利進行。剛開始學習數(shù)學模型的學生，對真實的背景、模糊的目標以及單一的提取信息和數(shù)據(jù)的方式都是一知半解的。在模型的假定階段，中學生過分關(guān)注問題的正確解答，沒有充分運用分析、引導(dǎo)、抽象化和匯總等思維方式，使問題得到適當簡化，因此無法正常地進行模型活動。

教師的引導(dǎo)能力差，會影響、減弱學生對模型的認識，削弱數(shù)學模型的影響。

（三）單一的教學評價方式

教育評價的科學性、合理性、是檢驗學生掌握數(shù)學模式的重要手段，不但指導(dǎo)了教師的數(shù)學建模，而且對學生數(shù)學建模能力的培養(yǎng)起到了很好的引導(dǎo)作用。目前，在我國高校的招生考試中，并不十分重視對數(shù)學模型的考查。數(shù)學考試以筆試為主，直接運用數(shù)學知識，例如推理證明等，往往會給出問題的前提，擁有與預(yù)期答案相對應(yīng)的特點。現(xiàn)階段，在試題編排的改革中，對“條件選擇”與“結(jié)論選擇”進行了一些有益地嘗試，但這些嘗試都是在對“條件組”與“條件組”知識完全了解的情況下進行地綜合運用?！敖Y(jié)論組”是對該模式進行討論的主要環(huán)節(jié)。

當前的高中數(shù)學測試多以綜合評價為基礎(chǔ)，以學習成績和考試成績?yōu)橹?。在進行數(shù)學建模時，要從多個角度、多個方向和多個維度進行思考。沒有統(tǒng)一的標準答案，也沒有相似的經(jīng)驗可以被重復(fù)利用，有必要存在不同的思想。這種數(shù)學模型要求的思想和方法，不能用單一的教學評價進行充分地討論。

二、中學數(shù)學模型的實施策略

針對當前中學數(shù)學教育存在的問題，結(jié)合中學數(shù)學教學的實際情況，文章設(shè)計了一系列的數(shù)學模型課程，主要有以下建議措施：

（一）滲透數(shù)學建模意識

數(shù)學模型是由數(shù)字、文字或其他數(shù)學符號組成的，用數(shù)學公式、圖形或算法來描述現(xiàn)實世界中物體的數(shù)量和空間形態(tài)。在課堂上，教師要善于設(shè)計和幫助學生建立概念、并理解各種定理和公式。舉例來說，某個問題被稱為“單價”。學生甲花費了５２元買了５本作業(yè)本、２個文件夾和８支簽字筆。學生乙買了３本作業(yè)本、４個文件夾、２支簽字筆花費４８元，求文件夾單位與簽字筆單位之間的差價。ｘ、ｙ和ｚ分別表示作業(yè)本、文件夾和筆的單價，即：公式５x＋２y＋８z＝５２，３x＋４y＋２z＝４８。實際上，用這兩個方程構(gòu)成的聯(lián)立方程就是上面提到的單價問題的一個數(shù)學模型。設(shè)置聯(lián)立方程的基本元素，把實際問題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學問題，這樣，就可以得出ｙ－ｚ＝６的元素，并由此得出一個單價問題。

在現(xiàn)實生活中產(chǎn)生的問題要比教學中的問題更加復(fù)雜，而求解問題的數(shù)學模式也更加復(fù)雜。應(yīng)根據(jù)題目的具體情況，需要設(shè)置一些簡單的假定（包括大量的練習本、文件夾和鋼筆）。各種文具的價格都是統(tǒng)一的，由于采購量不大，因此不會有批發(fā)價。代表問題的單詞（ｘ、ｙ和ｚ分別代表作業(yè)本、文件夾和簽字筆，ｙ－ｚ代表文件夾單位和簽字筆單位之間的差）。采用對應(yīng)的數(shù)學模式，列出（購買金額＝單位×數(shù)量）公式（三維線性方程體系），借助數(shù)學思考（全部排除）（y－z＝６元），并利用現(xiàn)實中的情況來檢驗該模型是否合理。

（二）注重建模的關(guān)鍵步驟

一方面，需要聚焦于第一個步驟，對問題進行分析，使假定變得簡單，要將注意力集中到一個真實的數(shù)學問題上。在真實的世界里，學生經(jīng)歷的知識是非常豐富和復(fù)雜的，對問題的分析并非要將全部的信息都納入自己的知識儲備，而是要從實際問題與數(shù)學知識的聯(lián)系中找出問題。教師需要借助數(shù)學世界與真實世界之間的聯(lián)系，指導(dǎo)學生，并結(jié)合數(shù)學的實質(zhì)知識，發(fā)掘生命的內(nèi)涵，只有在課堂中靈活運用數(shù)學知識，才能打破數(shù)學在課堂之外的運用。教師通過保留真實數(shù)據(jù)，進一步了指導(dǎo)學生運用數(shù)學思維對真實世界的分析。通過把握學習對象的結(jié)構(gòu)，簡化了假定條件，合理地借助了數(shù)學思考。實際上，由符號和定量的問題，到數(shù)學世界，再到學生的創(chuàng)造力的現(xiàn)實世界，教師應(yīng)鼓勵學生在實際的全面情況和相互作用中提高對數(shù)學知識的深刻理解，提高數(shù)學的建模能力。

另一方面，注意模型的建立和分析以及模型的建立和修改的過程。簡化假定的合理性是建立模型的先決條件，如果過分注重問題的現(xiàn)實狀況、背景信息的精確度，則會使模型復(fù)雜化，從而使問題難以求解，乃至無法求解。而通過簡化，則會讓建立起的模型變得“扭曲”，降低了它的價值，因此這種假定策略并不適合。在教學中，教師應(yīng)優(yōu)化數(shù)學模型、穩(wěn)定性模型、概率模型和統(tǒng)計回歸模型等，需要對模型進行研究，并思考是否可以再優(yōu)化。在學生的認知中，樣本模式的數(shù)量愈多，則在建構(gòu)模式時，其參考的價值就愈大，而在實施的可能性與精確度間，則愈有較高的可靠性。在建模教學中，教師要注意分析、檢查和改變構(gòu)建的模型。由于學生對日常問題的思維速度已固定，因此模型的建立往往是一種線性、單向的行為。在現(xiàn)實問題中，背景信息是單一的，而信息又是復(fù)雜的。教師在模型試驗和修正模型時，需要引導(dǎo)學生提高對自身模型的監(jiān)控和反應(yīng)速度，轉(zhuǎn)變測試問題的思考方法，增加突破問題的勇氣，以達到高度的建模思想。

（三）完善評價考查機制

新一輪的新課程改革已經(jīng)全面展開，新的教科書已經(jīng)在２０１９年陸續(xù)走進了課堂。新教材規(guī)定了“數(shù)學模型活動”，而《普通高中數(shù)學課程標準（２０１７年版）》則明確了“數(shù)學模型活動與數(shù)學探究活動”的建議課時，為有效地開展數(shù)學教學活動提供了有力的支撐。在教學過程中，教師要充分發(fā)揮評價的引導(dǎo)功能，把模型認知、認同轉(zhuǎn)變成行為認同，提高學生的數(shù)學建模能力。

第一，需要研究模型的流程評價問題。要關(guān)注活動的成果，教師不僅要以數(shù)學成績作為評判依據(jù)，包括參與、鑒賞和咨詢等多種角色，以及學生參與模擬活動的過程，來評價小組的優(yōu)勢、互相合作、小組間互相詢問和嚴謹?shù)脑u論，還要對組員和模式是否合理進行審慎地測試。要把學生在學習活動中的探索與思考能力列入評價范疇，鼓勵學生大膽、直觀地進行評判與反思。

第二，是對模仿行為進行同等評價。與教師的單一評價相比，以學生為中心的評價更具有互動性。通過這種方式，能夠使學生把握要點、主動思考、敢于表達、加深理解和增強建模的能力。在評價交互關(guān)系的數(shù)學模型中，學生可以通過調(diào)節(jié)功能方向、參數(shù)選擇和模型構(gòu)建等方面得到更多的信息。教師應(yīng)該利用激勵評價激勵學生，通過多角度的思考，培養(yǎng)學生的自我意識。

第三，在高考時，數(shù)學模型測試應(yīng)當包含在高考中，從而使模擬活動得以定型，并能在課堂教學中不斷發(fā)展。盡管在高考中，無法全面考查整個數(shù)學模型，但是可以讓學生對模型進行全面、真實地觀察，包括模型的各個步驟、環(huán)節(jié)和轉(zhuǎn)換。舉例來說，教師向?qū)W生提問：Ａ和Ｂ打賭，贏的概率是五分之一。在此期間，由于某種原因而中斷。在這一點上，Ａ贏得４個回合，Ｂ贏得３個回合，怎樣才能公平地分配這一籌碼。該問題僅僅是對模型的一種探討，而對學生來說，要想知道問題的答案，就必須將分配以４∶３為基礎(chǔ)的表面方式來看待。

數(shù)學建模能力的發(fā)展具有階段性、持續(xù)性和完整性等特點。在數(shù)學建模的教學中，教師應(yīng)該重視數(shù)學模型的學習。首先，教師應(yīng)做好課本的學習，即，數(shù)學模型：這門課的數(shù)學知識給學生帶來了什么教育意義，為模型思維的延續(xù)和加深以及模型的相關(guān)價值做好準備。其次，教師要讓學生了解現(xiàn)實生活中研究對象的結(jié)構(gòu)特點。通過系統(tǒng)的思維，將整個結(jié)構(gòu)劃分為若干層次分明的單元，每個單元的整體品質(zhì)都會受到不同角度的影響，并善于針對這些因素進行調(diào)整。再次，在學習的過程中，教師要對學生的建模知識、常見的錯誤進行分析，并提出解決問題的方法。在教學中，教師要善于搜集學生的反饋，并對其進行評價，以推動教學活動的順利進行。最后，教師要在已有數(shù)學模型教學經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，不斷地思考數(shù)學模型的教學設(shè)計，并從學生個人的興趣與性格出發(fā)，進行數(shù)據(jù)模型的選擇與運用。

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（責任編輯：秦? 雷）