理解數(shù)學(xué)·理解學(xué)生·理解教學(xué)

李現(xiàn)勇

摘? 要：在“圓錐曲線”復(fù)習(xí)課的教學(xué)過程中，執(zhí)教教師對《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求把握準(zhǔn)確，對教材和教學(xué)內(nèi)容理解深刻，對學(xué)情分析恰當(dāng). 在教學(xué)中，通過任務(wù)驅(qū)動，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的研究路徑；通過橫縱對比、由此及彼，引導(dǎo)學(xué)生參與了提煉數(shù)學(xué)思想方法的完整過程；通過對精選習(xí)題的分析和解決，幫助學(xué)生從多個角度建構(gòu)了圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；理解數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維

課程改革背景下，我們越來越重視對學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，要教會學(xué)生學(xué)習(xí)需要一個抓手，而這個抓手可以是新授課，也可以是復(fù)習(xí)課. 筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)課中的“復(fù)”不是簡單的重復(fù)，而是復(fù)盤，回首來時路，明晰下一步的學(xué)習(xí)方向；“習(xí)”則是進(jìn)一步學(xué)習(xí)，也是養(yǎng)成好的習(xí)慣，是一種方法的指引.

復(fù)習(xí)課到底該如何授課？“圓錐曲線”復(fù)習(xí)課給我們做了一個很好的示范. 復(fù)習(xí)課不僅要鞏固舊知、查漏補(bǔ)缺，更重要的是要基于對已有知識的回顧，幫助學(xué)生通過梳理、歸納建立結(jié)構(gòu)化的知識體系，提煉具有普適性的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生能在不同的情境下進(jìn)行遷移運(yùn)用，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維，形成數(shù)學(xué)能力.

本節(jié)課中，執(zhí)教教師對《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求把握準(zhǔn)確，對教材和教學(xué)內(nèi)容理解深刻，對學(xué)情分析恰當(dāng)，課堂教學(xué)活動設(shè)計合理有序，教學(xué)實(shí)施過程流暢自然，課堂評價適時、用心. 在教學(xué)中，執(zhí)教教師通過任務(wù)驅(qū)動引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的研究路徑；通過橫縱對比、由此及彼，引導(dǎo)學(xué)生參與了提煉數(shù)學(xué)思想方法的完整過程；通過對精選習(xí)題的分析和解決，幫助學(xué)生從多種角度建構(gòu)了圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升. 整節(jié)課中，師生配合默契，學(xué)生在愉悅的課堂氣氛中積累了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，感悟了數(shù)學(xué)智慧、數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)精神，發(fā)展了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

執(zhí)教教師的教學(xué)設(shè)計做到了理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，從呈現(xiàn)的精彩課堂教學(xué)中，可以看出其對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了深入的研究. 深入帶來深刻，執(zhí)教教師關(guān)注了教材內(nèi)容及知識間的前后聯(lián)系，關(guān)注了學(xué)生接受和理解的程度，關(guān)注了學(xué)生的變化與成長，關(guān)注了知識之外的思想方法的教學(xué)，也關(guān)注了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.

一、理解數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等都是數(shù)學(xué)所特有的本質(zhì)，數(shù)學(xué)是有價值的、自然的、抽象的.

1. 研讀教材，關(guān)注教材內(nèi)容的前后聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)是有價值的

教材是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，圓錐曲線是高中解析幾何部分的核心內(nèi)容，是一類重要的數(shù)學(xué)模型，其研究方法充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想. 圓錐曲線中包含了豐富的數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，是進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的內(nèi)在興趣和科學(xué)精神的良好載體. 以幾何中的“距離”為紐帶，以代數(shù)中的“運(yùn)算”為方法，通過“運(yùn)算中的不變性”發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的幾何特征，給出圓錐曲線的定義. 圓錐曲線的“個性定義”幾何特征突出，而統(tǒng)一定義能兼顧“個性”與“共性”，能表明橢圓、雙曲線和拋物線之間的內(nèi)在聯(lián)系. 對圓錐曲線性質(zhì)的研究先直觀感知，再用方程進(jìn)行論證，有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維. 從教學(xué)設(shè)計中可以看出，執(zhí)教教師把握了教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，深刻認(rèn)識了本單元的教學(xué)內(nèi)容和本節(jié)課承載的重要價值.

2. 創(chuàng)設(shè)情境，以重溫名稱來源引出教學(xué)主題，理解數(shù)學(xué)是自然的

本節(jié)課伊始，執(zhí)教教師引用了數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯沖擊數(shù)學(xué)難題時的發(fā)現(xiàn)，引出橢圓、雙曲線和拋物線本是同源，這是圓錐曲線的起源. 接著提出本節(jié)課的教學(xué)主題，即回顧、總結(jié)、提煉橢圓、雙曲線和拋物線的共性，這樣的情境貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生一開始就能自然地融入本節(jié)課的學(xué)習(xí)中去.

3. 數(shù)學(xué)方法，重在提煉歸納的過程，理解數(shù)學(xué)是抽象的

這節(jié)課最大的難點(diǎn)就是引導(dǎo)學(xué)生更深層、更有高度地總結(jié)圓錐曲線的共性，提煉橢圓、雙曲線和拋物線共同的研究方法，找出研究解析幾何的普適方法. 執(zhí)教教師以豐富的具體內(nèi)容和實(shí)例作為支撐，設(shè)置了多步臺階，通過設(shè)置的問題和追問，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和歸納，使學(xué)生完整經(jīng)歷了從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)方法的提煉過程.

二、理解學(xué)生

1. 關(guān)注“雙基”，以學(xué)定教，理解學(xué)生是課堂主體

本節(jié)課從知識的回顧到方法的提煉再到問題的解決和反思總結(jié)，執(zhí)教教師都做到了立足學(xué)生的基礎(chǔ)，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，以學(xué)生為本，放手讓學(xué)生探究. 整節(jié)課任務(wù)的展示、研究方法的提煉、問題的解決都盡可能讓學(xué)生參與，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，做到了尊重學(xué)生的主體地位，實(shí)現(xiàn)了設(shè)定的教學(xué)目標(biāo). 從整節(jié)課中學(xué)生的展示可以看出，授課班級學(xué)生有良好的表達(dá)和學(xué)習(xí)習(xí)慣，數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平整體較好.

2. 關(guān)注差異，因材施教，理解學(xué)生的個體差異

本節(jié)課中，對圓錐曲線及直線和圓等幾何圖形的研究方法的提煉，使學(xué)生獲得對解析幾何基本思想的認(rèn)識，是教學(xué)的難點(diǎn). 執(zhí)教教師充分理解和尊重學(xué)生的個體差異，讓學(xué)生相互補(bǔ)充、完善方法的歸納. 在最后的作業(yè)布置上，執(zhí)教教師設(shè)置可供自主選擇的題目，讓不同層次的學(xué)生都能獲得鍛煉和提升.

三、理解教學(xué)

孔子有言：“教，上所施，下所效也.”教學(xué)要做到教師主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生主動參與課堂教學(xué)，使得課堂教學(xué)有新意、有創(chuàng)意、有深意. 有新意，就是要突破學(xué)生的認(rèn)知，超出他們的預(yù)期；有創(chuàng)意，就是要讓課堂有挑戰(zhàn)，探究有價值；有深意，就是要體會數(shù)學(xué)所帶來的驚喜，感受數(shù)學(xué)的教育魅力.

1. 精心設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，使課堂教學(xué)有新意

自主學(xué)習(xí)不能放任自流、漫無邊際，應(yīng)該是教師指導(dǎo)下的自主. 學(xué)生的自主，要有規(guī)則、有要求、有方法、有落實(shí). 本節(jié)課中，執(zhí)教教師設(shè)置了7個教學(xué)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣. 特別是精心設(shè)計的自主復(fù)習(xí)提綱，很有新意，自主復(fù)習(xí)提綱中共設(shè)置5個問題：（1）簡述橢圓、雙曲線和拋物線的主要內(nèi)容；（2）簡述橢圓、雙曲線和拋物線各自采用的研究方法；（3）簡述橢圓、雙曲線和拋物線在研究方法上的共同點(diǎn)；（4）簡述圓錐曲線和直線與圓在研究方法上的共性；（5）簡述解析幾何問題研究的基本思想. 學(xué)習(xí)的本質(zhì)不在于記住了哪些知識，而在于它觸發(fā)了你的思考. 執(zhí)教教師通過這5個問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自主復(fù)習(xí)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，讓自主復(fù)習(xí)成為一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

在知識回顧總結(jié)和方法歸納概括環(huán)節(jié)，設(shè)置展示交流活動，引導(dǎo)學(xué)生梳理、展示、交流、比較、總結(jié)、聯(lián)系、概括已有知識. 從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，給學(xué)生提供了課堂參與的機(jī)會和自我領(lǐng)悟的空間，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、展示交流、相互促進(jìn)中深入理解知識及其中蘊(yùn)含的思想方法，突破了學(xué)生的原有認(rèn)知，提升了學(xué)生的認(rèn)知層次.

2. 精心設(shè)計數(shù)學(xué)問題，使課堂教學(xué)有創(chuàng)意

我們見過很多復(fù)習(xí)課，以題為主，學(xué)生雖然進(jìn)行了大量的習(xí)題訓(xùn)練，但收效甚微. 題不在多而在精. 本節(jié)課中，執(zhí)教教師只選擇了兩道例題，可謂精心之選.

例1? 已知直線l和橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)M2，0，……

（1）∠AMO=∠BMO，]求……

（2）AM⊥BM，?求……

試把以上兩個幾何條件分別轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá).

例1要求學(xué)生由已知題目中的幾何特征提煉其幾何意義，進(jìn)而進(jìn)行代數(shù)表達(dá)，這個題目屬于基礎(chǔ)題，學(xué)生通過此題，再次體會將幾何特征進(jìn)行準(zhǔn)確代數(shù)表達(dá)的方法，教學(xué)思路簡明清晰.

例2? 已知A，B為兩個定點(diǎn)，AB=2，?動點(diǎn)P滿足PA · PB=1，?求動點(diǎn)P的軌跡方程，并畫出圖形.

相較于例1，例2以卡西尼卵形線為背景，提出新問題，需要學(xué)生應(yīng)用課堂中提煉出的思想方法加以解決. 對這種沒見過但又不是很陌生的題目的解決，可以讓理論落地，讓解析幾何的思想方法進(jìn)一步得到實(shí)踐. 問題探究充滿挑戰(zhàn)，課堂教學(xué)也就很有創(chuàng)意.

3. 課堂適時評價點(diǎn)撥，使課堂教學(xué)有深意

當(dāng)學(xué)生某個瞬間的好行為、好想法被教師發(fā)現(xiàn)并獲得肯定后，其就會在肯定中被激勵，好的習(xí)慣就會在激勵中被傳播，并在傳播中影響班級中的每名學(xué)生. 這就是評價帶來的影響，也是教育的魅力. 本節(jié)課的教學(xué)中，執(zhí)教教師善于使用評價，其在學(xué)生上臺展示后會給出恰當(dāng)、親切、真誠的評價. 例如，“你課前準(zhǔn)備得很好，內(nèi)容詳細(xì)、全面整齊，有一定的自主復(fù)習(xí)能力，講解大方，清楚流利”“這位同學(xué)講得很好，大家回答得也很好，看到大家這樣相互促進(jìn)，老師很開心”“表格的方式更直觀清晰，箭頭的使用更清楚”. 這樣真誠的評價可以促進(jìn)學(xué)生的思考，激勵學(xué)生不斷進(jìn)步.

恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥如同點(diǎn)睛之筆，既給人情理之中的滿足，又給人意料之外的驚喜. 在本節(jié)課的教學(xué)中，執(zhí)教教師采用適時點(diǎn)撥的教學(xué)方式，讓學(xué)生在對知識獲得深刻認(rèn)識的同時，使理解更有深意. 數(shù)學(xué)中的那種豁然開朗，本質(zhì)上就是因深刻認(rèn)識事物而產(chǎn)生的快樂. 例如，“善于提問也是一種學(xué)習(xí)方法”“大道至簡”“這是一種統(tǒng)一美”“這是一種結(jié)構(gòu)美”“這是一種邏輯美”“翻譯很重要，把幾何語言翻譯成代數(shù)語言，正因?yàn)橛辛宋膶W(xué)語言的翻譯，才能讓世界了解我們中國燦爛輝煌的文化，也正是因?yàn)閿?shù)學(xué)語言的翻譯，才讓人們更深刻地去認(rèn)識自然規(guī)律，進(jìn)而促進(jìn)科技的發(fā)展”這樣恰到好處直抵人心的點(diǎn)撥，體現(xiàn)了執(zhí)教教師深厚的知識底蘊(yùn)，又給學(xué)生呈現(xiàn)了更廣闊的思維天地，同時會帶給學(xué)生驚喜和感動.

此外，執(zhí)教教師非常注重數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)精神的滲透，通過介紹數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯、笛卡兒、卡西尼引導(dǎo)學(xué)生追求真理、勇于創(chuàng)新. 在總結(jié)環(huán)節(jié)，從數(shù)學(xué)智慧，到數(shù)學(xué)之美，到數(shù)學(xué)精神，再到自我成長，引導(dǎo)學(xué)生回歸自身. 教育的本質(zhì)是自我教育，學(xué)習(xí)的本質(zhì)是自我學(xué)習(xí). 這就是有光的課堂，這就是有潤澤的課堂，也是能給學(xué)生帶去深遠(yuǎn)影響的課堂.

四、優(yōu)化建議

整節(jié)課中，學(xué)生集體回答的次數(shù)偏多. 建議執(zhí)教教師根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容，多設(shè)置些開放探究性問題，提升設(shè)計問題的思維含量. 當(dāng)學(xué)生面對挑戰(zhàn)時，教師要舍得留出時間，讓學(xué)生深度思考，在生生碰撞、師生碰撞的過程中，不斷暴露學(xué)生的想法，激發(fā)學(xué)生參與課堂的積極性，使學(xué)生在合作探究中解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，提升學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.