基于函數(shù)思想的高中數(shù)學(xué)解題探究

摘 要：面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，通過函數(shù)思想的應(yīng)用，利用函數(shù)性質(zhì)和圖像，迅速找到題目的“突破口”，加深學(xué)生對題目的理解，提升學(xué)生的解題能力.另外，學(xué)生在利用函數(shù)思想分析問題、解決問題的過程中，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的教學(xué)目標(biāo).基于此，本文分析了函數(shù)思想的內(nèi)涵，以及常用的幾種方法，并結(jié)合不同類型的數(shù)學(xué)題目，對其進(jìn)行了詳細(xì)的論述.

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；高中數(shù)學(xué)；解題能力；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）06-0035-03

立足于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)解題的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，充分借助數(shù)學(xué)思想的輔助，降低解題難度、提升學(xué)生的解題效率，已經(jīng)成為一線教師關(guān)注的重點(diǎn).本文聚焦于數(shù)學(xué)思想中的“函數(shù)思想”，對其在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行了研究和分析.

1 高中數(shù)學(xué)函數(shù)思想概述

1.1 函數(shù)思想內(nèi)涵

函數(shù)思想主要體現(xiàn)了處于變化中的量和量之間的關(guān)系.由于函數(shù)量和量之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，因此在對函數(shù)思想內(nèi)涵進(jìn)行描述的時(shí)候，基本上都是運(yùn)用“規(guī)律”這一字眼進(jìn)行解釋的.如：在函數(shù)y=f（x）中，自變量的取值范圍，以及對應(yīng)法則f就是函數(shù)的基本要素.在這一函數(shù)中，自變量處于決定性地位，可決定因變量的值.對于函數(shù)的值域來說，則主要受到定義域、對應(yīng)法則的影響.可以說，從函數(shù)的整體上來說，自變量、因變量以及常數(shù)之間的關(guān)系和變化，都可以在函數(shù)中展示出來，并且這三者之間是密不可分的.在運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行解題的時(shí)候，常常需要將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為函數(shù)的形式.接著，結(jié)合不同的數(shù)學(xué)題目，確定出具體的函數(shù)，如：正比例函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)，之后依據(jù)不同類型函數(shù)的具體性質(zhì)進(jìn)行求解.

1.2 函數(shù)思想在解題中常用的方法

在借助函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，最為常見的主要有以下三種方法：

第一，整體法.這一方法主要是對數(shù)學(xué)題目進(jìn)行整體的思考和處理，進(jìn)而使得數(shù)學(xué)題目解答更加便捷.同時(shí)，在運(yùn)用這種方法的過程中，對學(xué)生的邏輯思維能力、知識遷移能力、運(yùn)用能力的要求非常高，學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，不僅要明確整體和局部之間的關(guān)系，還能從整體的角度，對有用的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行整合；有的學(xué)生在解決題目的時(shí)候，需要運(yùn)用具體的數(shù)值，對其進(jìn)行驗(yàn)證、整體運(yùn)算等.

第二，遞推思想法.這種方法常常應(yīng)用于含數(shù)學(xué)規(guī)律的題目中，仔細(xì)探索題目中蘊(yùn)含的遞推關(guān)系，并根據(jù)這一關(guān)系，構(gòu)建與其相對應(yīng)的函數(shù)，并利用函數(shù)的性質(zhì)，探索出數(shù)學(xué)問題的解決思路、解決方法.同時(shí)，這一方法常見于數(shù)列問題中，尤其是利用數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決問題中，是通過遞推思想構(gòu)建函數(shù)的方式進(jìn)行解答.

第三，歸納假設(shè)法.這一函數(shù)思想解題方法常常被應(yīng)用到解決探索類的數(shù)學(xué)問題中.在這一類數(shù)學(xué)問題解決中，學(xué)生雖然不甚了解數(shù)學(xué)問題的具體性質(zhì)，但通過觀察，借助不完全歸納法，從整體的角度上進(jìn)行歸納假設(shè)，并對自己的假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證.

2 函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

2.1 利用函數(shù)思想解決不等式問題

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不等式是最為重要的考查內(nèi)容之一.有關(guān)不等式的問題中，證明類的題目難度系數(shù)最大，對學(xué)生的思維能力要求最高.其實(shí)不等式證明和函數(shù)之間存在一定的關(guān)聯(lián)性，很多不等式問題實(shí)際上就是函數(shù)中的正負(fù)區(qū)間、零點(diǎn)、單調(diào)性問題.學(xué)生在解決不等式問題的時(shí)候，需要考慮的內(nèi)容非常多，不僅僅要關(guān)注不等式的形式，還要考慮不等式的解集是否與答案的要求相符合，應(yīng)結(jié)合限定的條件對解集結(jié)果作進(jìn)一步判定.鑒于不等式解題的特點(diǎn)，如果忽視了函數(shù)思想的運(yùn)用，學(xué)生不僅難以找到解題的突破口，甚至頻頻出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，為了提升學(xué)生的解題效果，在指導(dǎo)學(xué)生解答不等式問題的時(shí)候，必須要融入函數(shù)思想，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，最終結(jié)合函數(shù)性質(zhì)和圖像進(jìn)行解答.例如，已知不等式n2+mn+3＞4n+m恒成立，且m的范圍是［0，4］，求n的取值范圍.如果僅僅局限于不等式解答中，學(xué)生很難找到解題的思路，此時(shí)，就可融入函數(shù)思想，引導(dǎo)學(xué)生對這一不等式進(jìn)行分析，以m作為自變量，對其進(jìn)行變形，成為一個(gè)新的函數(shù)，即：y=（n-1）m+n2-4n+3，此函數(shù)中y＞0恒成立，結(jié)合題目中給出m的范圍［0，4］，利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像，計(jì)算出n的取值范圍.由此可見，在不等式問題的解答中，通過函數(shù)思想的融合，可促使學(xué)生快速找到題目的“突破口”.

2.2 利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，也是高考必考內(nèi)容之一.因?yàn)閿?shù)列和函數(shù)之間存在較大的相似性，數(shù)列就可以將其看作是一種非常特殊的函數(shù)，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)字，不僅僅是數(shù)列中的項(xiàng)，還可以將其看作為項(xiàng)目的函數(shù).因此，可將數(shù)列看做是通過自變量不斷增大，得出相應(yīng)數(shù)值的函數(shù)，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為相契合的函數(shù)，利用該函數(shù)的性質(zhì)、圖像等，完成等差、等比數(shù)列問題的解答.例如，在數(shù)列an中，已知S2n=4n2+2n+1，求數(shù)列Sn.在這一數(shù)列問題中，題目描述的十分清晰，看起來十分簡單.但是如果學(xué)生直接運(yùn)用數(shù)列的相關(guān)知識進(jìn)行解答，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)這一過程十分困難，甚至還會在解題的過程中，陷入慣性思維中，導(dǎo)致其出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.面對這一現(xiàn)狀，高中數(shù)學(xué)教師就可融入函數(shù)思想，對這一數(shù)列問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為函數(shù)f（2n）=4n2+2n+1.之后，利用函數(shù)換元法，將原本函數(shù)中的2n換為n，此時(shí)原來的函數(shù)就演變?yōu)閒（n）=n2+n+1.經(jīng)過函數(shù)思想的融合，使得原本復(fù)雜的數(shù)列問題，轉(zhuǎn)變成為簡單的函數(shù)問題，學(xué)生只要借助函數(shù)圖像和性質(zhì)，即可快速、高效解答此類問題.

2.3 利用函數(shù)思想解決方程問題

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，方程問題尤為常見.具體來說，方程問題主要是由含一個(gè)未知數(shù)或多個(gè)未知數(shù)的等式組成.對于高中生來說，方程問題更為復(fù)雜，解題思路也更加多樣化.在傳統(tǒng)的方程解決中，學(xué)生常常面臨著較大的困難.基于函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，將原本的方程問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為兩個(gè)函數(shù)，借助函數(shù)思想進(jìn)行解答.例如，已知在方程x2-ax-bx+ab=2中，該方程擁有兩個(gè)根，分別記為m、n，并且b＞a，n＞m，現(xiàn)對a、b、m、n四個(gè)實(shí)數(shù)的大小進(jìn)行對比.在這一方程中，涉及的未知量非常多，如果直接按照方程解決的模式進(jìn)行，學(xué)生就會面臨著非常大的困難，甚至出現(xiàn)無從下手的現(xiàn)象.鑒于此，在優(yōu)化方程解題教學(xué)時(shí)，就可融入函數(shù)思想，對這一方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為兩個(gè)函數(shù).在轉(zhuǎn)化的過程中，教師首先指導(dǎo)學(xué)生對題目中的方程進(jìn)行化簡處理，成為（x-a）（x-b）-2=0，結(jié)合函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，將其構(gòu)造成為兩個(gè)函數(shù)，即：f（x）=（x-a）（x-b）-2、g（x）=（x-a）（x-b）.因此原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)二次函數(shù)，學(xué)生結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，就可明確這兩個(gè)函數(shù)的圖像均為開口向上的拋物線，利用函數(shù)圖像的平移規(guī)律，由此可知f（x）是將函數(shù)g（x）向下平移兩個(gè)單位而得到的.最終結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出a、b、m、n四個(gè)實(shí)數(shù)的大小，完成這一數(shù)學(xué)方程問題的解答.

2.4 利用函數(shù)思想求解參數(shù)范圍

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，求解參數(shù)范圍這一數(shù)學(xué)題目最為典型.以往，教師在對這一類數(shù)學(xué)題目進(jìn)行解答的時(shí)候，基本上遵循以下兩種思路進(jìn)行：第一，對題目進(jìn)行認(rèn)真分析，將題目已知條件中存在的不等式關(guān)系分析出來，隨之運(yùn)用不等式的相關(guān)知識進(jìn)行求解；第二，運(yùn)用函數(shù)思想，分析題目中存在的等量關(guān)系，并據(jù)此構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的定義域進(jìn)行求解.例如，已知a、b是正數(shù)，如果ab=a+b+3，求ab的取值范圍.在對這一道數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，該題題干十分簡單，已知條件簡單明了，學(xué)生結(jié)合所學(xué)的知識，能夠采用多種方法進(jìn)行解答.同時(shí)，也可利用函數(shù)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將這一數(shù)學(xué)題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)，即根據(jù)題目可將其與一元二次方程中求兩個(gè)根之間的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)系，即ab=t，則可將ab=a+b+3轉(zhuǎn)化為a+b=t-3，并據(jù)此構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2-（t-3）x+t，最終借助函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得出t的取值范圍，求出ab的取值范圍.

2.5 利用函數(shù)思想解決實(shí)際生活問題在新課標(biāo)背景下，數(shù)學(xué)問題的生活化在考試中所占比重越來越大.與普通的數(shù)學(xué)問題相比，生活化的數(shù)學(xué)問題更加復(fù)雜、綜合、系統(tǒng)，對學(xué)生的要求更高.通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，這一類數(shù)學(xué)題目常常是學(xué)生的“攔路虎”，失分率非常高.鑒于此，在優(yōu)化高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)，就可融入函數(shù)思想，將原本復(fù)雜、綜合、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為簡單的函數(shù)問題，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)和圖像進(jìn)行解答.通常，在常見的路程問題、生產(chǎn)問題、價(jià)格問題中，都可運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行解答.例如，在對路程問題進(jìn)行求解的時(shí)候，由于其中涉及路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系，尤其是在勻加速的直線運(yùn)動中，又增加了加速度這一概念，使得問題變得更加復(fù)雜.此時(shí)，可借助函數(shù)思想，假設(shè)總路程為s，加速度為a，初速度為v0，時(shí)間為t，進(jìn)而結(jié)合路程的相關(guān)公式，得出s=v0t+1/2×at2.再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可快速求出答案.

3 函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用效果分析

通過課堂教學(xué)實(shí)踐，將函數(shù)思想應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，取得了顯著的效果和價(jià)值.具體來說，集中體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面，降低了學(xué)生的解題難度.針對高中數(shù)學(xué)題目來說，常常具備極大的難度，尤其是題目內(nèi)容和要求變化多端.在這一情況下，高中生只有熟悉相關(guān)知識，才能完成數(shù)學(xué)問題的解答.以往，學(xué)生基本上都是借助大量的練習(xí)，依托現(xiàn)成的模板進(jìn)行解答，但這種訓(xùn)練效果不甚理想.而通過函數(shù)思想的應(yīng)用，學(xué)生利用函數(shù)思想加深題目的理解，借助函數(shù)的性質(zhì)和圖像，在最短的時(shí)間內(nèi)找到解題的突破口.如此一來，不僅降低了數(shù)學(xué)解題難度，也提升了學(xué)生的解題效率；另一方面，提升了高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)效果.縱觀當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教師的解題教學(xué)，教師常常花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力，學(xué)生卻云里霧里，摸不清解題的門路，甚至只限于教師所講的數(shù)學(xué)題目中，一旦稍有變化，學(xué)生便無從下手.而通過函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，教師通過函數(shù)圖像圍繞數(shù)學(xué)問題進(jìn)行講解，學(xué)生則在函數(shù)圖像和性質(zhì)的輔助下，快速理解數(shù)學(xué)題目，找到解題的思路.如此，通過函數(shù)思想的應(yīng)用，有效提升了數(shù)學(xué)教師的解題教學(xué)效率.

綜上所述，基于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)解題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn).針對當(dāng)前高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)不太理想的現(xiàn)狀，高中數(shù)學(xué)教師不僅要重視數(shù)學(xué)解題教學(xué)，還應(yīng)將數(shù)學(xué)解題教學(xué)與函數(shù)思想整合到一起，利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像，分析數(shù)學(xué)問題、找到解題突破口、形成解題思路，從而全面提升高中生的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］

張宏斌.淺談函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2022（18）：26-28.

［2］ 邵春燕.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中函數(shù)思想的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（06）：29-30.

［3］ 崔英紅.關(guān)于函數(shù)思想的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略分析［J］.科幻畫報(bào)，2022（02）：155-156.

［4］ 李騰.如何用函數(shù)思想指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（34）：17-19.

［5］ 馬建文.基于函數(shù)思想的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略［J］.學(xué)周刊，2021（23）：153-154.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-11-25

作者簡介：魏?。?981.9-），男，福建省永泰人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.