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    一個完全對稱函數(shù)的復(fù)合函數(shù)Schur 凸性的簡單證明

    2023-06-07 07:49:00梁賽男孫明保陳南博
    關(guān)鍵詞:乘性凸性奇數(shù)

    梁賽男 ,孫明保 ,陳南博

    (1.湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽 414006;2.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

    0 引言

    對x=(x1,x2,…,xn)?,完全對稱函數(shù)Cn(x,r)定義如下:

    其中Cn(x,0)=1,r?,i1,i2,…,in是非負整數(shù).完全對稱函數(shù)是一類重要的對稱函數(shù),許多作者對此進行研究,并獲得了一些有趣的結(jié)果[1~8].Guan[1]討論了Cn(x,r)的Schur 凸性,建立了下面的命題1.

    命題1[1]Cn(x,r)在上遞增且Schur 凸.

    Chu 等[2]討論了Cn(x,r)的Schur 乘性凸性和Schur 調(diào)和凸性,證明了下面的命題2.

    命題2[2]Cn(x,r)在上Schur 乘性凸和Schur 調(diào)和凸.

    而Shi 等[3]進一步討論了Cn(x,r)在上的Schur 凸性,證得如下命題3.

    命題3[3]若r為偶數(shù)(奇數(shù)),則Cn(x,r)在上遞減Schur 凸(遞增Schur 凹).

    關(guān)于完全對稱函數(shù)的復(fù)合函數(shù)Schur 凸性的研究可見文[3,9~13].對x=(x1,x2,…,xn)?[0,1)n∪(1,+∞)n,r?,孫明保等[13]研究了Cn(x,r)的如下復(fù)合函數(shù)

    的Schur 凸性、Schur 乘性凸性和Schur 調(diào)和凸性(其中i1,i2,…,in是非負整數(shù)),利用Schur 凸函數(shù)、Schur乘性凸函數(shù)和Schur 調(diào)和凸函數(shù)的判定定理,分別證得了下面的定理1~3.

    定理1[13]對于x?[0,1)n∪(1,+∞)n,r?,

    (1)函數(shù)Fn(x,r)在[0,1)n上Schur 凸;

    (2)若r為偶數(shù)(奇數(shù)),則Fn(x,r)在 (1,+∞)n上Schur 凸(凹).

    定理2[13]對于x?(0,1)n∪(1,+∞)n,r?,

    (1)函數(shù)Fn(x,r)在(0,1)n上Schur 乘性凸;

    (2)若r為偶數(shù)(奇數(shù)),則Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 乘性凸(凹).

    定理3[13]對于x?(0,1)n∪(1,+∞)n,r?,

    (1)函數(shù)Fn(x,r)在(0,1)n上Schur 調(diào)和凸;

    (2)若r為偶數(shù)(奇數(shù)),則Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 調(diào)和凸(凹).

    本文分別利用Schur 凸函數(shù)、Schur 乘性凸函數(shù)和Schur 調(diào)和凸函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),給出了上述3 個定理的簡單證明.

    1 定義及引理

    先引入如下定義和引理.

    定義1[14,15]設(shè)x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)?,將x,y的分量遞減重排得x[1]≥x[2]≥…≥x[n],y[1]≥y[2]≥…≥y[n].若x和y滿足:

    則稱x被y所控制,記作x?y.

    定義2[14,15]設(shè) ??,f:?→,若對任意的x,y?Ω,當(dāng)x?y時,有f(x)≤f(y),則稱f是Ω 上的Schur 凸函數(shù).若 -f是Ω 上的Schur 凸函數(shù),則稱f是Ω 上的Schur 凹函數(shù).

    定義3[16,17]設(shè)E?,f:E→,若對任意的x,y?E,當(dāng)lnx?lny時,有f(x)≤f(y),則稱f是E上的Schur 乘性凸函數(shù).若 -f是E上的Schur 乘性凸函數(shù),則稱f是E上的Schur 乘性凹函數(shù).

    定義4[18,19]設(shè)E?,f:E→,若對任意的x,y?E,當(dāng)時,有f(x)≤f(y),則稱f是E上的Schur 調(diào)和凸函數(shù).若 -f是E上的Schur 調(diào)和凸函數(shù),稱f是E上的Schur 調(diào)和凹函數(shù).

    由定義3,下述命題顯然成立.

    由定義4,下述命題顯然成立.

    關(guān)于復(fù)合函數(shù)的Schur 凸性,有如下結(jié)論.

    引理1[14]設(shè)區(qū)間 [a,b]?,φ:,f:[a,b]→,ψ(x1,x2,…,xn)=φ(f(x1),f(x2),…,f(xn)):[a,b]n→,

    (1)若φ增且Schur 凸,f凸,則ψ是Schur 凸;

    (2)若φ增且Schur 凹,f凹,則ψ是Schur 凹;

    (3)若φ減且Schur 凸,f凹,則ψ是Schur 凸.

    2 定理的證明

    當(dāng)t≠1 時,求導(dǎo)得

    由式(2)知,g(t) 在(0,1)上遞增且凸,在(1,+∞) 上遞增且凹.

    (1)當(dāng)t?[0,1)時,g(t)?.由命題1 知,Cn(x,r)在上遞增且Schur 凸,而g(t)在(0,1)上遞增且凸,應(yīng)用引理1(1)到式(1)知Fn(x,r)在[0,1)n上Schur 凸.

    (2)當(dāng)t?(1,+∞)時,g(t)?.由命題3 知,若r為偶數(shù),則Cn(x,r)在上遞減且Schur 凸,而g(t)在(1,+∞)上遞增且凹,應(yīng)用引理1(3)到式(1)知Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 凸.

    由命題3 知,若r為奇數(shù),則Cn(x,r)在上遞增且Schur 凹,而g(t)在(1,+∞)上遞增且凹,應(yīng)用引理1(2)到式(1)知Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 凹.

    定理2的證明考慮

    定理3 的證明考慮

    由式(6)知,k(t) 在(1,+∞)上遞減且凸,在(0,1)上遞減且凹.

    3 結(jié)束語

    文[13]是利用Schur 凸函數(shù)、Schur 乘性凸函數(shù)和Schur 調(diào)和凸函數(shù)的判定定理,分別證得了定理1~3.與文[13]的證明過程進行對比可知,本文利用Schur 凸函數(shù)的性質(zhì),即命題4、5 和引理1,給出了定理1~3的相對簡單的證明.

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