數(shù)學(xué)變式教學(xué)的策略探究

楊凱明

［摘 要］數(shù)學(xué)變式教學(xué)主要作用于學(xué)生概念形成、問(wèn)題解決和構(gòu)建活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。教師要立足數(shù)學(xué)本質(zhì)開(kāi)展變式教學(xué)，可以通過(guò)改變問(wèn)題的條件，提出相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、原理與方法，抓住新舊知識(shí)、新舊問(wèn)題之間的聯(lián)系和差異，在“變”和“不變”中將學(xué)生的探究引向深入；可以采取多元表征、動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)、“道”“術(shù)”合一、整體設(shè)計(jì)和審辯式教學(xué)等手段，豐富和發(fā)展變式教學(xué)，從而構(gòu)建有生命力的數(shù)學(xué)課堂，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］變式教學(xué)；策略；審辯

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）09-0001-04

所謂變式，指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化。變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教師普遍使用的一種教學(xué)方法，意在讓學(xué)生在對(duì)知識(shí)和技能有初步的理解與掌握后，能進(jìn)一步地學(xué)會(huì)運(yùn)用課本的知識(shí)舉一反三。它既是一種教學(xué)思想，也是一種教學(xué)手段。數(shù)學(xué)課堂中，教師可從不同角度改變教學(xué)對(duì)象的內(nèi)涵及數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)形式，通過(guò)呈現(xiàn)與之相關(guān)的非本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生聚焦問(wèn)題核心，聯(lián)結(jié)關(guān)鍵要素，探尋解決問(wèn)題的策略，促進(jìn)學(xué)生有意義的、深入的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

一、多元表征，促進(jìn)溝通

在問(wèn)題變式和學(xué)生表征的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生尋找問(wèn)題解決的策略和建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)課堂中，教師可利用多元表征，如圖表、言語(yǔ)、實(shí)物或符號(hào)等，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)。這樣可擴(kuò)展學(xué)生的思維空間，促進(jìn)策略互通，使學(xué)生形成問(wèn)題解決的最優(yōu)策略，從而積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建穩(wěn)固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

思維培養(yǎng)需要豐富的介質(zhì)，過(guò)于單一的教學(xué)素材和活動(dòng)會(huì)削弱學(xué)生對(duì)知識(shí)的動(dòng)態(tài)體驗(yàn)與深度探究。以北師大版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“嘗試與猜測(cè)”中的“雞兔同籠”問(wèn)題為例，教材僅強(qiáng)調(diào)以列表法作為解題方法，比較單一，而“雞兔同籠”問(wèn)題有多種的解題方法，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。因此，教師需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容有全方位的把握，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有效變式，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

（一）一題多法，方法選擇多樣化

解決“雞兔同籠”問(wèn)題，可以關(guān)鍵條件作為突破口，借助表格記錄、整理分析情境時(shí)所得到的信息和規(guī)律，基于有序的前提進(jìn)行枚舉，在表格中根據(jù)雞、兔腿的數(shù)量與總腿數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系實(shí)時(shí)調(diào)整。由于不同學(xué)生的認(rèn)知水平存在著差異，所以教師在評(píng)價(jià)反饋時(shí)可借助畫(huà)圖法進(jìn)行分析，在直觀感知的同時(shí)深化學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，以突破難點(diǎn)，使學(xué)生掌握假設(shè)法這一解題思路。

列表法和畫(huà)圖法作為學(xué)生探究分析“雞兔同籠”問(wèn)題的基本方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生將獲得的經(jīng)驗(yàn)遷移至解決此類(lèi)問(wèn)題的其他方法，如算術(shù)法與方程法等。通過(guò)對(duì)不同方法的再認(rèn)識(shí)、再思考，學(xué)生明晰了方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，獲得具有關(guān)聯(lián)性的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在多變的解題方法中凸顯不變的“假設(shè)”本質(zhì)。

（二）一法多解，思考方式多元化

通過(guò)列表法，學(xué)生解決問(wèn)題的思考方式變得可視化、清晰化，有利于學(xué)生串聯(lián)反饋、并聯(lián)比較。如通過(guò)逐一列表、跳躍列表、取中列表等方法，調(diào)整表格中的具體數(shù)據(jù)，從而明晰數(shù)量關(guān)系，觸及問(wèn)題的核心。這樣在嘗試與猜測(cè)的過(guò)程中探尋直觀數(shù)據(jù)背后的規(guī)律，有助于學(xué)生厘清其中的邏輯關(guān)系，進(jìn)而感悟隱藏在數(shù)據(jù)背后的數(shù)學(xué)思想方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)推理意識(shí)和數(shù)據(jù)意識(shí)。

（三）一解多用，情境適用多維化

“雞兔同籠”問(wèn)題是一類(lèi)問(wèn)題的總和，有“龜鶴”問(wèn)題、“獵人與狗”問(wèn)題、“車(chē)輪”問(wèn)題和“硬幣”問(wèn)題等（見(jiàn)表1）。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一個(gè)是以點(diǎn)帶面的過(guò)程，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的剖析，將已有的知識(shí)技能和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行正向遷移，使問(wèn)題從陌生到熟悉，從而掌握一類(lèi)問(wèn)題的解決方法。

運(yùn)用多元表征，引導(dǎo)學(xué)生多路徑感知、多角度思考、多方位使用，能豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，促進(jìn)新舊知識(shí)間的相互作用；同時(shí)，圖表與文字相互連通，使學(xué)生在多元的表征和豐富的情境中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，最終實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題，提升學(xué)習(xí)能力。

二、動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，揭示本質(zhì)

數(shù)學(xué)課堂上，教師由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、由直觀到抽象、由具體到一般，引導(dǎo)學(xué)生多角度地理解數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)原理與方法；同時(shí)，把背景的干擾因素排除，突出知識(shí)的本質(zhì)屬性，使學(xué)生建立新概念與已有概念之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

例如，教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形”時(shí)，學(xué)生雖對(duì)平行四邊形和梯形已有認(rèn)知，但對(duì)其本質(zhì)特征的理解還是有所缺失的。因此，課堂上探尋學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”，緊抓圖形的本質(zhì)特征進(jìn)行教學(xué)就顯得尤為重要。

任務(wù)：（出示4組探究材料，見(jiàn)圖1）同桌兩人合作，選擇兩組材料拼成平行四邊形或梯形，看誰(shuí)拼得多？

師：拼成的梯形，在材料選擇上有什么共同的特點(diǎn)？

生：只要選一組平行線(xiàn)和一組相交線(xiàn)就可以拼成梯形了。

師：一組平行線(xiàn)和一組相交線(xiàn)只能拼成一個(gè)梯形嗎？

（學(xué)生動(dòng)手操作，感受通過(guò)旋轉(zhuǎn)平行線(xiàn)或相交線(xiàn)可以得到無(wú)數(shù)個(gè)梯形，并在操作過(guò)程中直觀認(rèn)識(shí)直角梯形和等腰梯形）

師：要拼成平行四邊形和一般的四邊形，材料選擇上有要求（見(jiàn)圖3）。

師：（總結(jié)）只要有兩組平行線(xiàn)就一定能拼成一個(gè)平行四邊形，任意兩組平行線(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以得到一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，所以長(zhǎng)方形和正方形是特殊的平行四邊形；若選擇兩組相交線(xiàn)，就只能拼成一般的四邊形。

……

上述教學(xué)，通過(guò)開(kāi)展平移、旋轉(zhuǎn)4組材料的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究平行四邊形和梯形的特征，理解各類(lèi)四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別。這樣能豐富學(xué)生的感知，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生在對(duì)比辨析中將圖形的概念精確內(nèi)化，深化理解正方形和長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形等知識(shí)。

三、“道”“術(shù)”合一，形成經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)課堂上，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有利于學(xué)生獨(dú)立探究且能發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的教學(xué)情境，讓學(xué)習(xí)成為一個(gè)積極思考的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在探究過(guò)程中自己去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造；同時(shí)幫助學(xué)生反思、歸納和總結(jié)，探究各種問(wèn)題變式之間的不同，培養(yǎng)學(xué)生概括總結(jié)和觀察分析的能力。另外，教師還要引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測(cè)，鼓勵(lì)自主變式，培養(yǎng)學(xué)生的變式思維和創(chuàng)新能力?；谝陨纤伎迹瑢?duì)北師大版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)《小數(shù)的認(rèn)識(shí)和加減法》一課的習(xí)題進(jìn)行以下設(shè)計(jì)。

1.給74+213添加小數(shù)點(diǎn)

（1）使結(jié)果是二十幾；

（2）使結(jié)果是七十幾；

（3）使結(jié)果是九十幾。

2.快問(wèn)快答

1+0.1? ? ? ? 1.1+0.1? ?1+0.11? ?1.11-0.11

1.1+0.11? ?1-0.01? ? 1-0.1

3.解決問(wèn)題

（1）編一道用“1-0.1”來(lái)解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（2）下面這些問(wèn)題，哪些能用“1-0.1”來(lái)解決？

①小明有1元，比小方少0.1元，小方有多少元？

②小明有1元，比小方多0.1元，小方有多少元？

③甲是1，乙比甲少0.1，甲和乙一共是多少？

④兩根繩子共長(zhǎng)1米，其中一根繩子長(zhǎng)0.1米，另一根繩子有多長(zhǎng)？? ? ? ? [？米][甲][1米][少0.1米][乙][ ][ ] [⑤]

上述習(xí)題的設(shè)計(jì)，通過(guò)解題方法的變式和訓(xùn)練實(shí)施的變式，使學(xué)生在計(jì)算中將其與解決問(wèn)題有機(jī)結(jié)合，進(jìn)一步理解小數(shù)加減法的算理。

（一）以舊變新，理法融合

“數(shù)的運(yùn)算”是一個(gè)大板塊的教學(xué)內(nèi)容，小數(shù)加減法是在數(shù)域拓展的基礎(chǔ)上與整數(shù)加減法進(jìn)行算法的遷移和互通。值得注意的是，雖然整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的運(yùn)算本質(zhì)都是相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減，但是整數(shù)加減法的豎式計(jì)算只需數(shù)的末尾對(duì)齊便能保證相同數(shù)位對(duì)齊，而這在小數(shù)加減法中并不適用，甚至導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生負(fù)遷移。另外，后續(xù)學(xué)習(xí)的小數(shù)乘法豎式又是小數(shù)末尾對(duì)齊，而不是相同數(shù)位對(duì)齊了。因此，小數(shù)加減法的教學(xué)至關(guān)重要，要使學(xué)生清晰地明白如何算、為什么要這樣算。

教學(xué)中，教師讓學(xué)生為整數(shù)算式74+213添加小數(shù)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)知沖突中加深對(duì)算理的理解與運(yùn)用。這樣的變式練習(xí)，既是對(duì)運(yùn)算技能的遷移和鞏固，也有利于培養(yǎng)學(xué)生估算的意識(shí)和能力。

小數(shù)加減法的學(xué)習(xí)是掌握小數(shù)運(yùn)算的第一步，計(jì)算訓(xùn)練當(dāng)然必不可少。教材中的練習(xí)2用基礎(chǔ)的數(shù)據(jù)進(jìn)行變式，排除非本質(zhì)特征的干擾，看似簡(jiǎn)單，實(shí)則直擊關(guān)鍵（必須看清數(shù)字1在哪一數(shù)位上）。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生聚焦算理和算法，再次明確只有相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。這樣就將枯燥的計(jì)算練習(xí)變?yōu)橛腥さ母?jìng)賽活動(dòng)，既能激發(fā)學(xué)生的答題興趣，又可以有效突破教學(xué)難點(diǎn)。

（二）以簡(jiǎn)馭繁，算用結(jié)合

教材中的練習(xí)3重視算用結(jié)合，以用促算。通過(guò)設(shè)計(jì)開(kāi)放性的練習(xí)，如“編一道用‘1-0.1來(lái)解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題”“下面這些問(wèn)題，哪些能用‘1-0.1來(lái)解決？”等，有助于學(xué)生感受計(jì)算的價(jià)值，增進(jìn)對(duì)計(jì)算的理解。同時(shí)，把小數(shù)加減法與問(wèn)題解決相結(jié)合，在編題、辯題的過(guò)程中內(nèi)化關(guān)聯(lián)，這樣使學(xué)生充分感受到小數(shù)加減法的意義和作用。

四、整體設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)課堂中，教師進(jìn)行變式教學(xué)要注重整合單元目標(biāo)，以長(zhǎng)目標(biāo)為重心，使變式教學(xué)有整體的規(guī)劃和設(shè)計(jì)。同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立前后知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使原有的間斷、零散的知識(shí)成為一個(gè)有機(jī)的整體，幫助學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”“百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題”和“比的應(yīng)用”這三個(gè)內(nèi)容編排在六年級(jí)上冊(cè)不同的單元中，知識(shí)呈散點(diǎn)分布，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系并不明晰，無(wú)法正確解答相應(yīng)的習(xí)題。另外，學(xué)生的個(gè)體差異客觀存在，教師設(shè)計(jì)變式練習(xí)時(shí)，要關(guān)注每一個(gè)學(xué)生已有的知識(shí)與技能情況。因此，在進(jìn)行知識(shí)聯(lián)結(jié)時(shí)，教師還應(yīng)體現(xiàn)“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一理念。例如，教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)《百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用》后，可設(shè)計(jì)以下的變式練習(xí)。

聯(lián)合國(guó)規(guī)定每年的5月31日為“世界無(wú)煙日”。在2022年“世界無(wú)煙日”的宣傳活動(dòng)中，某實(shí)驗(yàn)小學(xué)六年級(jí)4個(gè)班參加了以“共享無(wú)煙環(huán)境”為主題的創(chuàng)新實(shí)踐作品征集活動(dòng)（每人提交的作品數(shù)最多2件）。東東得到以下信息：

①六（2）班提交了48件作品；

②六（1）班提交的作品件數(shù)比六（2）班多[14]；

③六（3）班和六（1）班提交的作品件數(shù)的比是5∶6；

④六（4）班提交的作品件數(shù)比六（3）班少20%。

1.根據(jù)信息①和②，算式48×[14]是求（? ? ? ? ? ? ? ? ），同時(shí)請(qǐng)將線(xiàn)段圖補(bǔ)充完整，正確表示出這個(gè)算式。

2.想知道六（3）班提交了多少件作品，需要用到其中的信息是（? ? ? ?）（填寫(xiě)序號(hào)）。同時(shí)請(qǐng)你算一算。

3.請(qǐng)你提出一個(gè)需要兩步或兩步以上計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并解答。

在嘗試解題的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)的問(wèn)題解決和之前學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)、比的問(wèn)題解決方法本質(zhì)相同，重點(diǎn)都在于正確分析數(shù)量關(guān)系，建立解題模型。像這樣將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融入同一模塊題組中呈現(xiàn)，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系溝通，厘清整體結(jié)構(gòu)中的邏輯關(guān)系，形成融會(huì)貫通的認(rèn)知系統(tǒng)。

五、審辯教學(xué)，深度理解

問(wèn)題是質(zhì)疑的開(kāi)始。課堂上，教師可制造認(rèn)知沖突，促使學(xué)生積極思考與探究，形成冷靜、客觀的思維習(xí)慣，進(jìn)而能根據(jù)信息之間的聯(lián)系，從不同的角度、不同的方面提出新的問(wèn)題。同時(shí)，教師要設(shè)計(jì)思維發(fā)散的開(kāi)放性練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、推理和反思等活動(dòng)中深入思考，探究解決問(wèn)題的方法，使學(xué)生在聽(tīng)到他人見(jiàn)解的時(shí)候，不僅有自己的理性思考，還能不斷地追問(wèn)思辨，做出自己的判斷，提高自身的審辯式思維能力。

例如，人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)《用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題》中的例5“某種商品4月末的價(jià)格比3月末降了20%，5月末的價(jià)格比4月末又漲了20%。5月末的價(jià)格和3月末比是漲了還是降了？”，主要解決“先降價(jià)20%，再漲價(jià)20%，是否能回到原價(jià)？”的問(wèn)題。教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生提出和思考以下問(wèn)題：“襯衫先降價(jià)20元，再漲價(jià)（? ? ?）元才能回到原價(jià)？”“先降20%，再漲20%，能不能回到原價(jià)？”“為什么先降20%，再漲20%不能回到原價(jià)？”“百分?jǐn)?shù)如果不是20%，而是10%或者60%，或者其他的百分?jǐn)?shù)，能回到原價(jià)嗎？”“降20%，漲（? ? ?）%才能回到原價(jià)？”“剛才是先降后漲，假如先漲后降，能不能回到原價(jià)？”“前面講到，降20%，漲25%才能回到原價(jià)。那么先漲20%，要再降（? ? ?）%才能回到原價(jià)？”……如此不斷地產(chǎn)生問(wèn)題，借由問(wèn)題的解決來(lái)推進(jìn)教學(xué)，讓學(xué)習(xí)在學(xué)生自己的提問(wèn)和釋疑中深度發(fā)生。在質(zhì)疑提問(wèn)、審辯反思的過(guò)程中，學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究欲望，不斷深入探究，有效培養(yǎng)了學(xué)生的高階思維。

數(shù)學(xué)課堂中開(kāi)展變式教學(xué)，不僅能幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，還能深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源和本質(zhì)，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生探尋問(wèn)題變化的規(guī)律，聚焦不變的本質(zhì)，建立解決問(wèn)題的通用模型，在“變”與“不變”中互通，使課堂更有深度、探究更有意義、思維更有活力，從根本上提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧泠沅.變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1）：11-12.

[2] 鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧泠沅．變式教學(xué)研究（續(xù)）[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（2）：6-10，23.

[3] 鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧泠沅．變式教學(xué)研究（再續(xù)）[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（3）：6-12.

[4] 徐文彬，彭亮.“變式教學(xué)法”解析及其運(yùn)用[J].教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2016（6）：5-13.

（責(zé)編 杜 華）