注重研“形”求“理”，達(dá)成解題高效

摘? 要：以2021年中考北京卷第27題為例，通過多角度、多方位的剖析，基于多解追求“最佳”；立足多解與系統(tǒng)觀的有機(jī)結(jié)合；注重研“形”求“理”，交融共進(jìn)，高效達(dá)成解題，體現(xiàn)試題的育人價(jià)值.

關(guān)鍵詞：試題評(píng)價(jià)；基本圖形；解題教學(xué)；教學(xué)啟示

基于中考試題開展解題研究和教學(xué)實(shí)踐是數(shù)學(xué)教師的基本教學(xué)任務(wù)，也是提高學(xué)生解題能力的基本途徑. 教師對中考試題的解讀不到位、不深刻，會(huì)導(dǎo)致解題教學(xué)中的“滑過”現(xiàn)象，學(xué)生只能獲得問題的答案，而失去了獲得解法背后的數(shù)學(xué)原理和對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的感悟的機(jī)會(huì)，這樣的解題教學(xué)對試題本身來說僅是管中窺豹、未知萬一. 若從試題評(píng)價(jià)角度切入，深入剖析試題，結(jié)合一題多解開展針對性的解題教學(xué)，則能有效提高中考試題的教學(xué)價(jià)值. 基于“雙減”背景，解題教學(xué)自會(huì)走向“減量增質(zhì)”，力求達(dá)到“做一題，會(huì)一類，通一片”的教學(xué)效果. 筆者以2021年中考北京卷第27題為例，拋磚引玉，淺談對解題教學(xué)的理解與思考.

一、試題呈現(xiàn)

題目? 如圖1，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[α]得到線段AE，連接BE，DE.

（1）比較∠BAE與∠CAD的大??；用等式表示線段BE，BM，MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

二、試題評(píng)價(jià)

1. 常規(guī)出新意，“手拉手”模型巧拓展

此題中蘊(yùn)含的“手拉手”模型，師生都比較熟悉，但此題把“手拉手”模型與線段中點(diǎn)的論證結(jié)合在一起，設(shè)計(jì)非常巧妙. 特別是第（1）小題證明過程中涉及的結(jié)論和全等三角形的性質(zhì)緊密關(guān)聯(lián)，并隱含第（2）小題的多種論證思路，如BA平分∠EBC，∠EDB = ∠EAB = ∠CAD等，為第（2）小題的論證作好了鋪墊，可謂謀篇布局，寓意深遠(yuǎn). 第（2）小題把三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等多種初中階段重要的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行巧妙融合，考查指向基本圖形的分離與重構(gòu)，以及學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力. 同時(shí)，檢驗(yàn)了學(xué)生論證思維構(gòu)建與解題路徑設(shè)計(jì)的深層次能力.

2. 分解聯(lián)重構(gòu)，線段中點(diǎn)拓展思維

幾何問題的解決，重在對基本圖形的分解與重構(gòu).此題具有北京卷中考試題一貫提倡的多路徑考查學(xué)生拓展思維的鮮明特色，問題看似普通，實(shí)則意蘊(yùn)深遠(yuǎn). 線段中點(diǎn)的證明思路頗多，如構(gòu)造中位線，巧用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)、全等三角形對應(yīng)邊相等等基本路徑. 究其本質(zhì)，無論采用哪種路徑，都需要對基本圖形進(jìn)行分解與重構(gòu)，即添加合適的輔助線還原基本圖形. 從后文提及的幾種解法來看，構(gòu)造輔助線的方法非常巧妙，實(shí)則也是通性通法，歸根結(jié)底是對基本圖形的思考和應(yīng)用. 這也體現(xiàn)了試題設(shè)計(jì)的初衷，即基于對解題思路構(gòu)建、嘗試、驗(yàn)證和反思的過程，考查學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 直觀促想象，解題過程凸顯素養(yǎng)

幾何教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生建立分離基本圖形的能力，使學(xué)生感知、運(yùn)用基本圖形進(jìn)行思考，借助幾何直觀和空間想象構(gòu)建幾何問題的數(shù)學(xué)模型，對問題進(jìn)行探索，并促進(jìn)邏輯推理的鍛煉與養(yǎng)成. 此題立足旋轉(zhuǎn)變換，聚焦線段中點(diǎn)的拓展應(yīng)用，通過空間想象達(dá)成對學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)；立足多種路徑解題促進(jìn)學(xué)生邏輯思維多角度、全方位地深度思考與養(yǎng)成. 問題由易到難，思維水平呈進(jìn)階式上升，讓不同水平的學(xué)生立足自身素養(yǎng)基礎(chǔ)，達(dá)成對應(yīng)路徑的思考與設(shè)計(jì)，使解題過程成為學(xué)生展示素養(yǎng)的舞臺(tái).

三、解法賞析

第（1）小題相對簡單，主要是為了引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思維過程，為第（2）小題的論證作好鋪墊.

第（1）小題證明：由線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，可得AE = AD，∠EAD = ∠BAC = α. 所以∠EAB = α - ∠BAD = ∠CAD. 因?yàn)锳B = AC，所以△EAB ≌ △DAC. 所以BE = DC. 因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以BM = MC = DM + DC = DM + BE.

順著第（1）小題的結(jié)論，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，容易確定△AED是等腰三角形. 實(shí)際上，參照“手拉手”模型，在△EAB ≌ △DAC的結(jié)論下，可知證明全等的目的是進(jìn)一步得出相關(guān)的角和邊之間的等量關(guān)系，于是有∠EBA = ∠C = ∠ABC，即BA是∠EBC的平分線. 另外，還可以得到∠EDA = ∠C和∠BDE = ∠BAE = ∠DAC. 這些重要結(jié)論作為基礎(chǔ)條件，對第（2）小題的證明起到了至關(guān)重要的作用.

第（2）小題結(jié)論的判斷與證明過程中的思維量較大，具有較好的教學(xué)價(jià)值，接下來我們將進(jìn)行重點(diǎn)分析.

在明確NE與ND的數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生需要先進(jìn)行猜想，容易得出NE = ND. 接下來是證明結(jié)論，考查學(xué)生對線段中點(diǎn)證明路徑的思考與選擇.

思路1：構(gòu)造三角形的中位線.

如圖2，延長MH，與BE的延長線交于點(diǎn)G. 分離圖形，可以直觀看出點(diǎn)N為△BED的邊DE的中點(diǎn)，可以通過三角形的中位線來證明，即過點(diǎn)N作NF∥BE交BD于點(diǎn)F，此時(shí)，只需要證明點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)即可.

要證得點(diǎn)N為DE的中點(diǎn)，NF必是△BED的中位線，也就是點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，即BF = DF. 考慮到已有BM = MC，BE = DC，所以FM =1/2BE. 事實(shí)上，學(xué)生在思考時(shí)，還是會(huì)遇到思維的瓶頸，即如何聯(lián)系FM和BE. 很多學(xué)生想到借助BA是∠EBD的平分線，于是延長MH，與BE的延長線交于點(diǎn)G. 此時(shí)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可以進(jìn)一步證得∠BMG = ∠G. 又由NF∥BE，得到∠G = ∠FNM，所以∠BMG = ∠FNM，使得FM = FN. 再根據(jù)NF =1/2BE，得到FM =1/2BE. 由點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，得到FN是△BDE的中位線，并“解決”問題. 這里出現(xiàn)了把“NF =1/2BE”作為已知條件來使用的情況，這在事實(shí)上已經(jīng)認(rèn)定NF為△BED的中位線，顯然是錯(cuò)誤的. 也有個(gè)別學(xué)生嘗試通過先定BD中點(diǎn)為F，再證NF∥BE，試圖證明NF為△BED的中位線，顯然也是無法實(shí)現(xiàn)的.

那么，是不是通過中位線無法證明結(jié)論呢？以上構(gòu)造中位線是通過“先定三角形，再構(gòu)造中位線”，能否換個(gè)角度，先定中位線，再構(gòu)造三角形呢？具體證法如下.

證法1：如圖3，過點(diǎn)E作EP∥HM，交BC于點(diǎn)P，

則有EP ⊥ AB.

由已知可得BA平分∠EBD，所以BE = BP.

所以DC = BE = BP.

因?yàn)锽M = MC，所以PM = MD.

所以MN是△PED的中位線，

故EN = DN.

【評(píng)析】構(gòu)造中位線是證明線段中點(diǎn)的常見思路，關(guān)鍵在于構(gòu)造合理的三角形和對應(yīng)中位線. 三角形的中位線既能證明兩直線平行，又能證明線段相等. 因此，常見的構(gòu)造方案：一是定三角形，構(gòu)造中位線；二是定中位線，構(gòu)造三角形.

思路2：構(gòu)造等腰三角形.

從證明點(diǎn)N為三角形一邊的中點(diǎn)出發(fā)，通過等腰三角形“三線合一”求證也是一種常規(guī)路徑. 證明EN = DN，可以借助等腰三角形EAD來實(shí)現(xiàn)，即連接AN，證明AN是△EAD的邊DE上的高線或是∠EAD的平分線.

證法2：如圖4，連接AN，AM，易得AM ⊥ BC.

則∠AMC = 90°.

因?yàn)锳M平分∠BAC，所以∠HAM = ∠MAC.

因?yàn)镸H ⊥ AB，所以∠AHM = ∠AMC = 90°.

所以∠AMH = ∠C.

因?yàn)椤螩 = ∠ADE，所以∠AMH = ∠ADE.

所以A，N，M，D四點(diǎn)共圓.

所以∠MAN = ∠MDN，∠AND = ∠AMD = 90°，

即AN是△AED的邊DE上的高線.

因?yàn)椤鰽ED為等腰三角形，

所以AN是△AED的中線.

所以EN = ND.

證法3：如圖4，由證法2可知A，N，M，D四點(diǎn)共圓.

所以∠MAN = ∠MDN = ∠BAE = ∠CAD.

所以∠EAN = ∠BAE + ∠NAH = ∠MAN + ∠NAH = ∠BAM = ∠CAM = ∠DAM + ∠CAD = ∠DAM + ∠MAN = ∠DAN，

即AN平分∠EAD.

所以EN = ND.

【評(píng)析】“三線合一”是等腰三角形的重要性質(zhì)，也是等腰三角形與“中點(diǎn)”相關(guān)問題的解題基本思路. 在等腰三角形的條件下，利用中線、高線和角平分線“知一得二”，構(gòu)建高線或角平分線證明中線是問題解決的常見思路.

思路3：構(gòu)造全等三角形.

證明EN = ND，也可以通過全等三角形對應(yīng)邊相等來證.

證法4：如圖5，延長MH，交BE的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DF∥BE交HM的延長線于點(diǎn)F.

由BA平分∠EBC，MH⊥AB，

得∠G = ∠BMG，BG = BM.

因?yàn)镃D = BE，所以EG = DM.

因?yàn)镈F∥BE，所以∠F = ∠G = ∠BMG = ∠DMF.

所以DF = DM = EG.

因?yàn)椤螮NG = ∠DNF，所以△ENG ≌ △DNF.

所以EN = ND.

在構(gòu)造全等三角形的解題路徑下，難以找到構(gòu)造圖形的思路時(shí)，常見的方法是構(gòu)造全等的直角三角形.

證法5：如圖6，分別過點(diǎn)D，E作直線HM的垂線，垂足分別為點(diǎn)F，K，延長BE，與NH的延長線交于點(diǎn)G.

參考證法4的結(jié)論，易證Rt△EKG ≌ Rt△DFM.

所以EK = DF.

因?yàn)椤螮NK = ∠DNF，∠EKN = ∠DFN = 90°，

所以△EKN ≌ △DFN.

所以EN = ND.

【評(píng)析】利用全等三角形對應(yīng)邊相等實(shí)現(xiàn)線段相等（包括線段中點(diǎn)）的證明，是一種常見的證明思路. 解決問題的關(guān)鍵在于利用已有的兩條線段，結(jié)合已知條件，合理構(gòu)造全等三角形.

四、教學(xué)啟示

1. 基于多解追求“最佳”是解題教學(xué)的基本要求

對于解題教學(xué)，教師常常疑惑要開展一題多解還是只教“最佳”解法. 一些教師認(rèn)為，沒必要一題多解，因?yàn)槎嘟庵斜赜小白罴选?，只教“最佳”，簡潔明了，直奔主題，省時(shí)省力；一些教師認(rèn)為，一題多解能有效培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，解題時(shí)可以有多種方法供學(xué)生選擇，有備無患. 基于上述對2021年中考北京卷第27題解答過程的研討，筆者認(rèn)為，立足一題多解，幫助學(xué)生尋求基于自身的“最佳”解法，是解題教學(xué)的基本要求. 常說的“做百題不如深研一題”是非常有道理的. 例如，第（2）小題對于3種類型5種證法的研究，通過一題多解能有效觸發(fā)學(xué)生多角度、多方位的思考，全面聯(lián)動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的有效構(gòu)建，落實(shí)能力與素養(yǎng)的培養(yǎng). 教學(xué)中，基于對以上5種證法的對比與分析，在尋求“最佳”方法的過程中，能有效培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維，達(dá)成深度學(xué)習(xí)，有效構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)與能力體系.

2. 立足多解與系統(tǒng)觀的有機(jī)結(jié)合是解題教學(xué)的關(guān)鍵追求

解題教學(xué)中，面對復(fù)雜的問題時(shí)，我們常常發(fā)現(xiàn)教師分析得頭頭是道，學(xué)生則聽得一頭霧水、唉聲嘆氣. 教師的解題能力很強(qiáng)，教出來的學(xué)生解題能力卻很弱，是不是我們的教學(xué)出了問題？例如，此題第（2）小題的求證，需要學(xué)生具備很強(qiáng)的圖形重構(gòu)能力，以及幾何直觀和空間想象素養(yǎng)，快速解題并不容易. 如果學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)掌握了線段中點(diǎn)的基本證法，那解決問題自然也會(huì)水到渠成.

造成學(xué)生解題障礙的原因出在哪里？筆者認(rèn)為，教師未重視多解路徑建設(shè)與系統(tǒng)觀的有機(jī)結(jié)合是造成學(xué)生解題障礙的一個(gè)重要因素. 那么解題教學(xué)中要如何做好多解路徑建設(shè)與系統(tǒng)觀的有機(jī)結(jié)合？首先，要做多解嘗試，即從不同角度進(jìn)行思考與解答問題，如此題第（2）小題的5種證法；其次，在解題后要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析與歸類，如將5種證法歸納為3類；最后，將基于線段中點(diǎn)的證法納入知識(shí)和思維系統(tǒng)，與其他知識(shí)形成整體構(gòu)建，建立基于幾何直觀與空間想象的思維體系，使得以后遇到類似問題時(shí)能夠快速獲得對解題路徑的聯(lián)想，自然產(chǎn)生對基本圖形的辨析、分離和重構(gòu)，從一題多解到多解歸一，使解題經(jīng)驗(yàn)升華到系統(tǒng)思維高度.

3. 注重研“形”求“理”、交融共進(jìn)是解題教學(xué)的核心價(jià)值

基本圖形在數(shù)學(xué)解題中有著舉足輕重的作用. 但是，到底是側(cè)重于基本圖形的“形”的記憶、辨認(rèn)與運(yùn)用，還是注重“形”背后的數(shù)學(xué)原理和深層次的邏輯理解形成“理”的探索更重要？這個(gè)問題一直困擾著教師與學(xué)生. 筆者認(rèn)為，幾何解題教學(xué)既要立足基本圖形，又要注重對數(shù)學(xué)原理的理解和邏輯建構(gòu)，兩者相互融合、缺一不可. 學(xué)生的解題能力要通過學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)，在知識(shí)、能力、思維上逐漸達(dá)成進(jìn)步. 通過研究“形”去追求“理”是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的本質(zhì)追求. 因此，在教學(xué)中，我們既要培養(yǎng)學(xué)生注重對基本圖形的“形”的提煉、辨認(rèn)、分離、聯(lián)想和重構(gòu)，也要注重培養(yǎng)學(xué)生對基本圖形的“理”的探索、理解、詮釋、感悟和內(nèi)化，這樣才能使學(xué)生的解題能力得到實(shí)質(zhì)性的提升.

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