發(fā)展高階能力的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

摘? 要：發(fā)展高階能力的關(guān)鍵是設(shè)置挑戰(zhàn)性任務(wù). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制訂層次性目標(biāo)，通過(guò)變換任務(wù)空間、變換任務(wù)的結(jié)構(gòu)序列和變換任務(wù)生成的主體使設(shè)計(jì)的任務(wù)具有挑戰(zhàn)性，通過(guò)布置選擇性作業(yè)，激發(fā)學(xué)生生成課堂所要探究的內(nèi)容和方法，發(fā)展學(xué)生的高階能力.

關(guān)鍵詞：高階能力；數(shù)學(xué)教學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

高階能力是以高階思維為核心解決復(fù)雜任務(wù)的心理特征. 數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展高階能力主要是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、原理和學(xué)生元認(rèn)知，通過(guò)抽象、推理、建模、批判、問(wèn)題解決與決策、自我調(diào)節(jié)等技能，達(dá)到理解應(yīng)用、分析評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等水平的高層次能力. 通過(guò)分析數(shù)學(xué)內(nèi)容的思維層次和學(xué)生思維的落腳點(diǎn)，制訂層次性目標(biāo)，設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性任務(wù)，并布置選擇性作業(yè)，引發(fā)學(xué)生思考，從而發(fā)展學(xué)生的高階能力.

下面以浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）中的“4.5 三角形的中位線”為例，談?wù)勅绾卧O(shè)計(jì)教學(xué)安排，實(shí)現(xiàn)學(xué)生高階能力的發(fā)展.

一、制訂層次性目標(biāo)

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)包括“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等表述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞和“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“感悟”“探索”等表述過(guò)程目標(biāo)的行為動(dòng)詞. 通過(guò)細(xì)化目標(biāo)層次，導(dǎo)向?qū)W生高階能力的發(fā)展.

1. 教學(xué)目標(biāo)體現(xiàn)思維層級(jí)

以知識(shí)、技能為載體的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)中蘊(yùn)含的主線是發(fā)展學(xué)生思維能力的層級(jí).

在三角形的中位線定理的證明中，目標(biāo)1是能分析三角形的中位線定理的組成要素、結(jié)構(gòu)（要素組成關(guān)系）等. 目標(biāo)2是綜合、選擇和關(guān)聯(lián)各要素，尋找策略，屬于比較、綜合的思維層次. 如圖1，DE是△ABC的中位線，證明DE平行且等于1/2BC. 那么，什么知識(shí)涉及線段平行呢？可關(guān)聯(lián)到平行四邊形的知識(shí)（對(duì)邊平行且相等）. 圖1中DE明顯不等于BC，結(jié)合題目要求證明“DE等于1/2BC”，想到延長(zhǎng)DE，構(gòu)造平行四邊形. 這是在尋找模型的過(guò)程，進(jìn)一步反思條件和結(jié)論，對(duì)照平行四邊形的模型特征“對(duì)邊平行且相等”，聯(lián)通條件與結(jié)論，得到解決途徑. 目標(biāo)3是通過(guò)比較尋求合適的操作辦法. 有多種方法可以得到平行四邊形，如通過(guò)中心對(duì)稱、延長(zhǎng)法、截短法、同一法等. 比較不同的作法，抓住平行的本質(zhì)特征，經(jīng)過(guò)比較、反思、決策得到最優(yōu)方案. 目標(biāo)4是回顧、提煉與拓展，體現(xiàn)創(chuàng)造性思維水平. 例如，思考：當(dāng)D，E是三等分點(diǎn)、n等分點(diǎn)時(shí)，還能得到相關(guān)結(jié)論嗎？當(dāng)倍半關(guān)系變成線段比值為k時(shí)，條件需要怎么變化？當(dāng)將三角形的兩邊中點(diǎn)拓展成四邊形的兩邊中點(diǎn)、多邊形的兩邊中點(diǎn)時(shí)，又能得到什么結(jié)論呢？這些任務(wù)指令促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行方法遷移和拓展.

2.“探索”目標(biāo)對(duì)應(yīng)高階思維能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中，表述過(guò)程目標(biāo)的行為動(dòng)詞刻畫(huà)了學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力水平.“探索”目標(biāo)所描述的數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)特征與反映高階思維能力的活動(dòng)完全一致，如表1所示.

落實(shí)“探索”目標(biāo)，可以有效促進(jìn)學(xué)生高階思維的參與. 例如，《標(biāo)準(zhǔn)》要求探索并證明三角形的中位線定理. 學(xué)生想要探索三角形的中位線的性質(zhì)，就要分析：三角形的中位線與原三角形有什么關(guān)系？三角形的中位線與什么元素有關(guān)系？它們之間是什么關(guān)系？用什么樣的方式得到關(guān)系？教師通過(guò)讓學(xué)生嘗試猜測(cè)并驗(yàn)證得到結(jié)論，而不是讓學(xué)生“測(cè)量”，暗示線段之間的數(shù)量關(guān)系. 探索任務(wù)啟發(fā)學(xué)生形成思考途徑. 第一步，確定研究對(duì)象是三角形的中位線，是一條線段. 第二步，考慮這條線段與相關(guān)線段（如三角形的三邊，包括與之相交的兩邊及第三邊）的關(guān)系，涉及數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系. 第三步，得到三角形的中位線與相交的兩邊的關(guān)系. 學(xué)生在猜測(cè)三角形的中位線與第三邊的關(guān)系時(shí)會(huì)有一定難度，因此可以從特殊三角形（已有經(jīng)驗(yàn)）入手. 根據(jù)對(duì)等邊三角形和直角三角形的分析（如圖2），由學(xué)生猜測(cè)一般三角形的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半. 第四步，由學(xué)生畫(huà)圖，寫(xiě)出已知、求證，并證明. 第五步，學(xué)生用自己的語(yǔ)言歸納和概括得到三角形的中位線定理. 第六步，得到概念后進(jìn)一步辨析、應(yīng)用和拓展，對(duì)概念的基本要素進(jìn)一步收斂和發(fā)散.

知識(shí)探究過(guò)程，也是思維序化的過(guò)程. 外在知識(shí)與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)之間互相轉(zhuǎn)化，通過(guò)調(diào)動(dòng)學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)來(lái)參與當(dāng)下的學(xué)習(xí)，同時(shí)將當(dāng)下的學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有的經(jīng)驗(yàn)建立起結(jié)構(gòu)性的關(guān)聯(lián)，發(fā)展學(xué)生的關(guān)聯(lián)能力及系統(tǒng)化自主建構(gòu)能力，從而指向高階能力的發(fā)展.

3. 思維行為顯化高階能力

課堂中，由學(xué)生推斷、說(shuō)理，概括、歸納思維路徑，并對(duì)思維過(guò)程進(jìn)行評(píng)價(jià)、反思、遷移和創(chuàng)造，形成探究幾何圖形的一般能力和學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力.

解決問(wèn)題只是完成任務(wù)的一部分，進(jìn)一步要求學(xué)生“表述思維路徑”及回答“遇到什么挫折，怎么解決所碰到的挫折，提出了什么疑問(wèn)”是對(duì)思維的評(píng)價(jià)、反思、自我調(diào)適；“找到更好的方法”則驅(qū)動(dòng)比較評(píng)價(jià)和發(fā)散的思維；“歸納和提煉方法、主動(dòng)應(yīng)用、拓展變式”是系列化、創(chuàng)造的過(guò)程；“遷移到學(xué)習(xí)新知識(shí)甚至其他學(xué)科”是學(xué)習(xí)方式的升華，具有方法論的意義，如表2所示.

通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，讓學(xué)生得到問(wèn)題研究的一般方法和思考、探究的能力.

二、設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性任務(wù)

引發(fā)學(xué)生高階能力的關(guān)鍵是要有挑戰(zhàn)性的任務(wù). 通過(guò)設(shè)計(jì)目標(biāo)指導(dǎo)下的課程內(nèi)容，使之具有挑戰(zhàn)性，激發(fā)學(xué)生應(yīng)用、創(chuàng)造等高層次思維的參與，實(shí)現(xiàn)高階能力的發(fā)展.

1. 變換任務(wù)空間

將封閉性任務(wù)變成開(kāi)放性任務(wù)，減少對(duì)學(xué)生思維的限制，增加學(xué)生思維的空間．任務(wù)設(shè)置越開(kāi)放，學(xué)生解決問(wèn)題的方法就越多樣，參與活動(dòng)的技能就越多元，就越能發(fā)展學(xué)生的高階能力．

例如，設(shè)置任務(wù)：如圖1，△ABC是銳角三角形，AB > AC，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上. ① 如果DE∥BC，那么DE =1/2BC. ② 如果DE =1/2BC，那么DE∥BC. 上述兩個(gè)命題是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，舉出反例．

解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生需要比較、反思、尋找策略，涉及建模和批判性思維.

再如，得到三角形的中位線定理后，讓學(xué)生思考：三角形的中位線描述了哪些量之間的關(guān)系？這些量可能得到什么關(guān)系？學(xué)生思考圖1三角形的中位線涉及五個(gè)要素：① 點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)；② 點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)；③ DE是△ABC的中位線；④ DE∥BC；⑤[DE=1/2BC. 將五個(gè)要素中的任意兩個(gè)（如①②，①③，①④，①⑤；②③，②④，②⑤；③④，③⑤；④⑤）組成命題的條件，由其余的三個(gè)要素作為結(jié)論，得到多個(gè)命題，再通過(guò)學(xué)生證明，列舉反例判定得到真命題和假命題.

進(jìn)一步思考：三角形的中位線定理反映了圖形中元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系（邊的比例），可以將其進(jìn)一步推廣得到什么結(jié)論？（為學(xué)習(xí)平行線分線段成比例定理進(jìn)而到相似三角形判定作鋪墊.）

在解決問(wèn)題時(shí)，初始認(rèn)知狀態(tài)和目標(biāo)認(rèn)知狀態(tài)之間存在著大量的備選路徑，這些可能存在的狀態(tài)和路徑就構(gòu)成了整個(gè)問(wèn)題空間. 增大問(wèn)題空間，學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題解決的策略和思考路徑會(huì)更擴(kuò)散，學(xué)生創(chuàng)造的機(jī)會(huì)就更多.

2. 變換任務(wù)序列

將綜合問(wèn)題分解成基本要素是分析性思維；反過(guò)來(lái)，將基本要素編制成數(shù)學(xué)題，就涉及創(chuàng)造性思維. 變換任務(wù)序列，有利于學(xué)生開(kāi)展逆向思維、審辯式思維，促進(jìn)高階能力訓(xùn)練.

（1）分解要素.

一個(gè)綜合的數(shù)學(xué)題好比復(fù)雜的機(jī)器，它的基本組成零件是數(shù)學(xué)知識(shí)要素. 學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)把綜合問(wèn)題分解成基本要素，再根據(jù)每個(gè)基本要素對(duì)應(yīng)的基本圖形解決問(wèn)題．

（2）補(bǔ)全要素.

將綜合圖形問(wèn)題分解成基本圖形，當(dāng)發(fā)現(xiàn)基本圖形不完整時(shí)，把它補(bǔ)完整就需要添加輔助線. 例如，如圖3，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn). 求證：四邊形EFGH是平行四邊形. 條件中有三角形的中位線（如EH）而無(wú)三角形，所以要添加輔助線（連接BD）構(gòu)造△ABD. 有關(guān)線段倍半關(guān)系：如圖4，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AF為∠BAC的平分線，交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F. 求證：OE =1/2FC. 所求的結(jié)論OE =1/2FC涉及線段的倍半關(guān)系，而點(diǎn)O是線段AC，BD的中點(diǎn)，所以考慮三角形的中位線的知識(shí). 根據(jù)三角形的中位線的基本圖形，OE是半線段，看作基本圖形的中位線，缺少中位線基本圖形中三角形的底邊，所以過(guò)點(diǎn)C作CG∥OB，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，從而將△ACG這個(gè)基本圖形補(bǔ)充完整.

（3）重組、拓展要素.

通過(guò)基本要素重組、變換條件、變換結(jié)論、改變圖形的位置、特殊條件一般化等方式，讓學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題的變式和拓展，體驗(yàn)問(wèn)題結(jié)構(gòu)和變式本質(zhì). 進(jìn)一步，由學(xué)生根據(jù)基本要素自己編制數(shù)學(xué)題，考查學(xué)生將零件組成成品的能力，有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和由基本要素組成圖形結(jié)構(gòu)的過(guò)程，有利于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣. 例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的中位線的性質(zhì)，可以編制有關(guān)“三角形三條中位線的關(guān)系”“四邊形的對(duì)邊中點(diǎn)連線、鄰邊中點(diǎn)連線的性質(zhì)”等問(wèn)題，將中點(diǎn)、平行、線段倍半關(guān)系與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合也可以得到許多數(shù)學(xué)題.

3. 變換任務(wù)主體

傳統(tǒng)課堂常用PPT呈現(xiàn)知識(shí)，用解題代替數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生的自主性和創(chuàng)造性受到限制. 改變?nèi)蝿?wù)設(shè)計(jì)的主體時(shí)，課堂教學(xué)中不由教師預(yù)先設(shè)定所要探究的具體內(nèi)容，而是由學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)生成所要探究的任務(wù). 課堂中的題目由學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)和情境自己編制出來(lái)，學(xué)生親歷任務(wù)的產(chǎn)生和解決過(guò)程.

由學(xué)生自發(fā)得到探究?jī)?nèi)容. 例如，三角形的中位線有什么性質(zhì)？怎么研究？學(xué)生知道要研究三角形的中位線的性質(zhì)，所以要思考研究性質(zhì)要從哪些角度入手，要確定這條中位線與原有三角形的要素（邊、角、三線）的關(guān)系，從而確定研究對(duì)象，進(jìn)一步思考它們之間存在的數(shù)量關(guān)系或者位置關(guān)系. 學(xué)生探究得到三角形的中位線定理后，思考它適用于解決什么類(lèi)型的問(wèn)題，有哪些涉及三角形的中位線的數(shù)學(xué)題. 因此，學(xué)生要分析三角形的中位線相關(guān)要素之間的關(guān)系. 學(xué)生自主探究時(shí)，聚焦了學(xué)生感興趣的內(nèi)容，是自我探索的開(kāi)端，屬于自我調(diào)整策略系統(tǒng)，同時(shí)需要啟動(dòng)已有知識(shí)和策略，有利于更大程度地促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展.

由學(xué)生進(jìn)行群組互動(dòng)并反饋探究任務(wù)得到的思維成果和經(jīng)驗(yàn). ① 反饋各自的觀點(diǎn). ② 反饋有創(chuàng)造性的想法，包括有創(chuàng)造性但沒(méi)有形成結(jié)論的想法和有創(chuàng)造性但形成的結(jié)論是錯(cuò)誤的想法. ③ 反饋多種不同的想法，許多學(xué)生想到一種證明方法后，往往就不再思考其他策略，所以應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成追蹤問(wèn)題的本質(zhì)的習(xí)慣，證明三角形的中位線定理的關(guān)鍵是將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，由平行四邊形的判定方法可以得到多種思考方法. ④ 反饋思維路徑及其發(fā)現(xiàn)過(guò)程，包括中間遇到的挫折，許多學(xué)生對(duì)圖1有中心對(duì)稱的意識(shí)，但是想不到作中心對(duì)稱的對(duì)象是△ADE，相反情況是學(xué)生知道要改變△ADE的位置，但不會(huì)用中心對(duì)稱說(shuō)明，習(xí)慣用全等來(lái)解釋?zhuān)ㄟ@也說(shuō)明學(xué)生對(duì)中心對(duì)稱的相應(yīng)內(nèi)容沒(méi)有具體化）. ⑤ 反饋學(xué)生還有什么疑問(wèn)或產(chǎn)生了什么新問(wèn)題，如有的學(xué)生提出疑問(wèn)：為什么要把三角形的內(nèi)容安排在平行四邊形的學(xué)習(xí)框架中，這說(shuō)明學(xué)生是結(jié)構(gòu)化、整體性地思考問(wèn)題，把學(xué)習(xí)內(nèi)容不斷地納入自我的知識(shí)系統(tǒng). ⑥ 學(xué)生不僅反饋編制的數(shù)學(xué)題，還反饋問(wèn)題編制的策略和路徑及所編問(wèn)題的創(chuàng)新點(diǎn). 在數(shù)學(xué)推理和交流中，學(xué)生經(jīng)歷比較、批判、決策等過(guò)程，發(fā)展了分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高階能力.

三、布置選擇性作業(yè)

一般一堂新課涉及5個(gè)知識(shí)點(diǎn)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)設(shè)置3個(gè)層次的練習(xí)題，遵循學(xué)生的思維特征與知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系，以知識(shí)模塊為中心，編排一定秩序的序列作業(yè)題，那么每天的數(shù)學(xué)作業(yè)量約是15道數(shù)學(xué)題.

1. 作業(yè)選擇

對(duì)于“三角形的中位線”這節(jié)課，教材上有9道數(shù)學(xué)題（教材第99頁(yè)的課內(nèi)練習(xí)有2道題，第100頁(yè)的作業(yè)題有5道題，第107頁(yè)的目標(biāo)與評(píng)定有2道題），加上作業(yè)本中的7道題，共16道數(shù)學(xué)題，可以供學(xué)生進(jìn)行如下選擇.

（1）由學(xué)生選擇其中涉及不同知識(shí)點(diǎn)或不同層次的9道數(shù)學(xué)題. 這個(gè)作業(yè)比讓學(xué)生完成全部作業(yè)要求更高，因?yàn)樗髮W(xué)生區(qū)分題目所考查的具體知識(shí)要素和思維層次.

（2）由學(xué)生選做其中涉及不同知識(shí)點(diǎn)的6道題，并分解每道題中的基本要素和基本圖形. 要求學(xué)生厘清要素，體現(xiàn)分析、綜合、解決問(wèn)題的能力.

（3）由學(xué)生選做其中涉及不同知識(shí)點(diǎn)的3道題，同時(shí)由學(xué)生根據(jù)知識(shí)要素自主編題. 選出學(xué)生編的好題，以學(xué)生姓名命名向全班張貼展示，其他學(xué)生若有更好的解答，則姓名會(huì)被相繼替換. 這種作業(yè)可以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造能力和比較反思能力.

2. 作業(yè)交互

每周末學(xué)生輪當(dāng)“小老師”向全班反饋編題意圖及關(guān)鍵點(diǎn)、解法優(yōu)越性及突破點(diǎn)、不同解法比較和改進(jìn)策略. 這個(gè)環(huán)節(jié)給學(xué)生提供思維碰撞、創(chuàng)造的平臺(tái)，學(xué)生以題目原創(chuàng)新穎、思維含量高、解法多樣為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，掀起討論數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的熱情. 學(xué)生在實(shí)際交互中發(fā)展評(píng)價(jià)、反思、創(chuàng)造等高階能力.

為了實(shí)現(xiàn)作業(yè)探究實(shí)踐、學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作，得到學(xué)習(xí)創(chuàng)造性成果，可以把作業(yè)前置，使學(xué)生有充足的時(shí)間和空間保障.

參考文獻(xiàn)：

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［3］張娟萍. 高階思維：初中數(shù)學(xué)教學(xué)變革的新視角［M］. 杭州：浙江大學(xué)出版社，2017.