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    巧用幾何直觀 助力數(shù)學(xué)理解

    2023-06-07 01:55:57
    文理導(dǎo)航 2023年8期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)理解幾何直觀問題解決

    【摘? 要】小學(xué)生的思維以具體形象思維為主,理解抽象的數(shù)學(xué)知識經(jīng)常需要借助直觀的感性材料,在具體的學(xué)習(xí)情境中進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究。幾何直觀是一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng),其突出優(yōu)勢是化抽象為形象,展現(xiàn)問題的本質(zhì),搭建溝通感性與理性的橋梁,降低學(xué)習(xí)難度,從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解與問題解決,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。基于幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位,本文旨在從以下三個(gè)方面闡述幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用探究,希望對實(shí)際教學(xué)有所幫助。

    【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;數(shù)學(xué)理解;問題解決

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)指出,幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì),明晰思維的路徑。對學(xué)生而言,幾何直觀是一種有效的學(xué)習(xí)方法,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要的作用;對教師而言,幾何直觀是一種有效的教學(xué)手段,是落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效舉措。

    一、借助幾何直觀,驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想

    猜想是不知其真假的數(shù)學(xué)敘述,也是學(xué)生喜愛的一種學(xué)習(xí)方式。它可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,引發(fā)驗(yàn)證、求知的心理需要。涉及“圖形與幾何”相關(guān)知識的猜想,教師經(jīng)常會引導(dǎo)學(xué)生通過畫一畫、剪一剪、拼一拼等多種形式的數(shù)學(xué)活動,充分調(diào)動學(xué)生的手、腦、眼多個(gè)器官的協(xié)調(diào)配合,經(jīng)歷“做”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程,利用幾何圖形的形象直觀,用圖形說話,驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想,從而豐富學(xué)生腦中的圖形表象,提升對圖形的認(rèn)識,發(fā)展空間觀念,為后續(xù)學(xué)習(xí)做好知識鋪墊。

    例如,教學(xué)“圓柱的側(cè)面展開圖”時(shí),教師請學(xué)生猜一猜:圓柱的側(cè)面展開可能是什么圖形?“長方形”“正方形”“不規(guī)則圖形”“梯形”……教師對于學(xué)生的多種猜想,并不急于進(jìn)行評判,而是鼓勵(lì)學(xué)生動手剪一剪帶來的圓柱側(cè)面學(xué)具,驗(yàn)證自己的想法是否正確,再和小組成員交流。

    師:你是怎么剪開圓柱側(cè)面的,圓柱側(cè)面展開是一個(gè)什么圖形?你的猜想是對的嗎?

    生1:我是沿著圓柱的一條高剪的,圓柱的側(cè)面展開是一個(gè)長方形,長方形的長等于圓柱的底面周長,寬等于圓柱的高,和我原來想的一樣。

    生2:我也是沿著圓柱的高剪的,但是我得到的是一個(gè)正方形。我發(fā)現(xiàn)這個(gè)圓柱的底面周長和高相等。

    師:還有不同的剪法嗎?

    生3:如果沿著斜線剪開,圓柱側(cè)面展開是一個(gè)平行四邊形。

    生4:我也是這么剪的。而且我還發(fā)現(xiàn)了,平行四邊形的底等于圓柱的底面周長,高等于圓柱的高。

    生5:我得到的是不規(guī)則圖形,我是任意彎彎曲曲剪的。

    師:同學(xué)們的想法、做法都非常棒!可是為什么你們都沒提到梯形呢?

    生6:因?yàn)椤爸挥幸唤M對邊平行的四邊形叫作梯形”。我是這么想的,不管怎么剪,圓柱的側(cè)面展開都不可能是梯形。就算得到的是一個(gè)不規(guī)則圖形,我們也可以再通過剪、移、拼的方法,把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成長方形。

    師(豎起大拇指):大家聽明白了嗎?想不想驗(yàn)證他的猜想對不對呢?

    一石激起千層浪,學(xué)生的學(xué)習(xí)激情被再次點(diǎn)燃,大家又興致勃勃地動手剪了起來,再次開啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅。

    又如,教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí),由于學(xué)生在平時(shí)使用三角尺的操作實(shí)踐中,經(jīng)歷量角的過程,認(rèn)識到特殊的直角三角形的內(nèi)角和是180°。因此,學(xué)生會基于已有的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理、有根據(jù)的數(shù)學(xué)猜想:三角形的內(nèi)角和是180°。教師肯定學(xué)生的想法后,提出問題:“那你要用什么方法驗(yàn)證任意三角形的內(nèi)角和是180°呢?”“三角形的個(gè)數(shù)是無限的,需要驗(yàn)證哪些三角形的內(nèi)角和,才能代表所有三角形的內(nèi)角和呢?”學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的分類,一致達(dá)成共識,選取銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形進(jìn)行分工操作探究。剛開始,多數(shù)學(xué)生用量一量、算一算的方法,發(fā)現(xiàn)得出的數(shù)據(jù)有時(shí)會存在偏差,比180°大些或小些,意識到用度量的方法驗(yàn)證,得到的結(jié)果不統(tǒng)一。這時(shí),教師啟發(fā)學(xué)生:“180°是什么角?能不能找到比度量更精確的驗(yàn)證方法呢?”問題驅(qū)動思考,直觀的學(xué)習(xí)材料豐富了學(xué)生的想象空間,為學(xué)生提供了不同的思維路徑。有的學(xué)生分別撕或剪下三角形的三個(gè)內(nèi)角,拼成平角;有的學(xué)生通過折一折,把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平角。學(xué)生在動手操作、直觀體驗(yàn)、交流表達(dá)的活動中,不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),自主探索數(shù)學(xué)規(guī)律,經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程,感受成功的喜悅和學(xué)習(xí)的快樂,增強(qiáng)了學(xué)習(xí)自信心。

    二、依托幾何直觀,感悟數(shù)學(xué)思想

    隱性的數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識體系中,數(shù)學(xué)思想方法是形成學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶,是由知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。依托幾何直觀,可以讓無形的數(shù)學(xué)思想“顯形”,變得具體化、生動化、形象化,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,促進(jìn)學(xué)生的主動理解,自覺建構(gòu)新知體系。

    在教學(xué)“植樹問題”時(shí),出示:同學(xué)們在全長20米的小路一邊植樹,每隔5米栽一棵,一共要栽多少棵樹?學(xué)生通過畫線段圖、列式計(jì)算,自主探索植樹問題的三種情況:兩端都栽,棵數(shù)=間隔數(shù)+1;兩端都不栽,棵數(shù)=間隔數(shù)-1;只栽一端,棵數(shù)=間隔數(shù)。但課后練習(xí)的反饋情況暴露出學(xué)生并未能真正理解“植樹問題模型”,無法正確運(yùn)用“間隔數(shù)加1”“間隔數(shù)減1”“棵數(shù)等于間隔數(shù)”解決實(shí)際問題。究其原因是課堂上教師關(guān)注了學(xué)生的活動體驗(yàn),卻忽視了結(jié)合直觀引導(dǎo)學(xué)生理解“都是求棵數(shù),為什么要加1,減1或不加不減的數(shù)學(xué)本質(zhì)”。所以,教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀圖(如圖1~3),充分借助直觀圖上的點(diǎn)(樹)和段(間隔),采用手指比劃、畫箭號等直觀學(xué)習(xí)方法,建立棵數(shù)與間隔數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系,理清知識間的內(nèi)在聯(lián)系,促進(jìn)學(xué)生對知識的本質(zhì)理解,建構(gòu)清晰完整的數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而能綜合運(yùn)用所學(xué)知識靈活、正確地解決問題。

    教學(xué)“平行與垂直”,讓學(xué)生展開想象:把一張紙想象成一個(gè)無限大的平面,然后把想象的兩條直線的位置關(guān)系畫在紙上。教師收集代表性作品,標(biāo)上序號?!澳銈兡芙o這些直線進(jìn)行分類嗎?”學(xué)生通過觀察,進(jìn)行第一次分類,直觀地根據(jù)“兩條直線表面有無交叉”分成兩類。“直線有什么特點(diǎn)呢?”“直線沒有端點(diǎn),可以向兩端無限延長?!痹诮處煹膯l(fā)下,學(xué)生通過畫延長線,發(fā)現(xiàn)有些沒有交叉的兩條直線,畫延長線后可以相交于一點(diǎn);而有一些是無論怎么延長都不會相交,經(jīng)歷第二次分類:同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系存在“相交和不相交”兩種情況。教師順勢引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“平行”的概念。緊接著教師又問:“這些相交的直線還可以進(jìn)行分類嗎?”學(xué)生通過議一議、量一量,進(jìn)行第三次分類發(fā)現(xiàn):兩條直線相交的角,可以分為直角和不是直角兩類。此時(shí)進(jìn)行“互相垂直”概念的學(xué)習(xí)水到渠成。借助直觀材料的感性支撐,學(xué)生經(jīng)歷“剝筍式”的分類學(xué)習(xí)探究過程,不僅理清了同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系,逐步抽象出數(shù)學(xué)概念,還學(xué)會了運(yùn)用分類的數(shù)學(xué)思想發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題。

    三、活用幾何直觀,解析數(shù)量關(guān)系

    徐利治先生指出:“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系,產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知?!辫b于小學(xué)生的心理認(rèn)知和思維水平,純文字呈現(xiàn)的問題,對他們而言,有時(shí)顯得抽象難懂,很難憑文字信息直接理解數(shù)量關(guān)系,不知從何入手思考問題,思路不清,解題不暢。如何突破這一“瓶頸”呢?在解決問題的過程中,教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上,養(yǎng)成自覺畫圖、分析思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣,借助圖形理解數(shù)量關(guān)系,把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化,勾連已知和未知之間的通道,尋求解決問題的突破口,探索解決問題的思路,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

    例如,教學(xué)“行程問題”:甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對開出,甲、乙兩車速度比為7∶5,在距中點(diǎn)12千米處相遇。A、B兩地相距多少千米?

    學(xué)生根據(jù)文字信息,抓住關(guān)鍵句,理解題意:甲車速度比乙車快,它們相向而行,相遇時(shí),甲車行的路程比全程的一半多12千米,而乙車行的路程比全程的一半少12千米。行駛時(shí)間相同,兩車的速度比是7∶5,那么路程比也是7∶5,全程12份。接著畫線段圖(如圖4),把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體形象的圖形表征,“看圖說話”,幫助理解,問題也就迎刃而解了。

    方法1:從線段圖直觀理解甲車行的路程是全程的7/12,超過中點(diǎn)12千米,12千米對應(yīng)的是全程的(7/12-1/2),A、B兩地相距:12÷(7/12-1/2)。

    方法2:從線段圖也可直觀理解乙車行的路程是全程的5/12,還要再行12千米才能到達(dá)中點(diǎn),12千米對應(yīng)的是全程的(1/2-5/12),A、B兩地相距:12÷(1/2-5/12)。

    但有的學(xué)生錯(cuò)誤地理解,認(rèn)為甲車比乙車多行的路程是12千米,列出錯(cuò)誤的算式:12÷(7-5)×(7+5)。如何讓學(xué)生形象理解“甲車比乙車多行的路程是2個(gè)12千米呢?”教師運(yùn)用教學(xué)智慧,另辟蹊徑,畫出線段圖(如圖5),啟發(fā)學(xué)生換角度思考問題:假設(shè)甲、乙兩車是同向而行。教師借助線段圖進(jìn)行分析講解,學(xué)生不難理解“甲車行的路程是7份,乙車行的是5份,甲車和乙車的路程差是2個(gè)12 千米,即24千米?!彪S即列出正確的算式:12×2÷(7-5)×(7+5)。還有的學(xué)生受到線段圖的直觀啟發(fā),發(fā)現(xiàn)一份路程是12千米,全程是12份,A、B兩地相距:12×12=144(千米)。

    綜上所述,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)立足幾何直觀,幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識。教師在平時(shí)教學(xué)中,注意結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平,引導(dǎo)學(xué)生自覺運(yùn)用幾何直觀開展數(shù)學(xué)活動和問題探究,將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形、符號語言,化抽象為形象,化難為易,化繁為簡,讓思維過程可視化,實(shí)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)語言的互譯和對話,促進(jìn)知識的理解和問題的解決,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.4

    [2]程響.基于幾何直觀的問題解決教學(xué)[J].新教師,2017(11):38-39

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