“怎樣解題表”應(yīng)用一例

呂維

【摘? 要】著名的“怎樣解題表”能帶領(lǐng)我們完美解決較難的數(shù)學(xué)試題。按照“怎樣解題表”，筆者將解題過(guò)程劃分為四個(gè)階段：弄清題意；聯(lián)想擬計(jì)；嘗試實(shí)計(jì)；回顧反思。其中，聯(lián)想擬計(jì)和嘗試實(shí)計(jì)是可以反復(fù)實(shí)施的。嘗試于2022南京高一期末聯(lián)考試題之第12題。

【關(guān)鍵詞】怎樣解題表；解題四階段；弄清題意；聯(lián)想擬計(jì)；嘗試實(shí)計(jì)；回顧反思

數(shù)學(xué)解題的過(guò)程，最難之處是如何想到。蘇教版數(shù)學(xué)必修一第六章中第154頁(yè)安排了一個(gè)“閱讀”：怎樣解題表，恰好彌補(bǔ)了我們理論上的不足。仔細(xì)回想自己解決稍有難度的數(shù)學(xué)題目，其求解過(guò)程確實(shí)分為四個(gè)階段：弄清題意——審題階段，弄清條件和待求；聯(lián)想擬計(jì)——聯(lián)想知識(shí)方法類題，編擬計(jì)劃；嘗試實(shí)計(jì)——運(yùn)用知識(shí)類題的方法，作出嘗試求解，可多次重復(fù)上述兩個(gè)步驟；回顧反思——既是總結(jié)又是改進(jìn)，既是提煉又是推廣。

例題（2022南京高一期末聯(lián)考，12）（多選）設(shè)a，b∈（0，1），且a=b，則以下結(jié)論正確的是（?? ）。

A.a=b??? B.a=b??? ? C.a＞b????? ? D.a＜b

弄清題意

例題條件有兩個(gè)：①a，b∈（0，1）——a，b是介于0，1之間的兩個(gè)實(shí)數(shù)；②a=b——冪的等式。

例題的待求：有四個(gè)選擇支供選擇，且是多選題。多選題意味著正確答案至少兩個(gè)。

分析四個(gè)選擇支，A？圯B，C、D與B的邏輯關(guān)系不太清楚。A、C、D提示我們：例題是讓我們比較a，b的大小。

如何根據(jù)條件比較a，b的大小？

注：弄清題意的過(guò)程中已經(jīng)有聯(lián)想知識(shí)：對(duì)條件的簡(jiǎn)單解讀，對(duì)選擇支的簡(jiǎn)單感受。

聯(lián)想擬計(jì)

見(jiàn)過(guò)類似的題目嗎？

想：例題涉及的知識(shí)有兩類類似的題目。

類題組1（對(duì)數(shù)計(jì)算）：①解關(guān)于x的不等式x＞100x；②設(shè)a，b，c都是不等于1的正數(shù)，且ab≠1，求證：a=b。

類題組2（連等式）：①設(shè)a，b，c都是不等于1的正數(shù)，x，y，z都不為0，且a=b=c，++=0，求

a，b，c的值。

②已知3= 4= 12，求+的值。

類題組1是以對(duì)數(shù)為工具，將冪積商轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的積和差運(yùn)算。

例題與類題組1 類似之處是：它們都是冪的形式。嘗試取以e為底的對(duì)數(shù)。

擬定計(jì)劃：（1）等式兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)；

嘗試執(zhí)行：∵a=b，∴等式兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)得lna=lnb，blna=alnb。

想：如何對(duì)“blna=alnb”作變形？就形式看，最自然的想法是分離兩個(gè)字母a，b。

擬定計(jì)劃：（2）分離a，b

嘗試執(zhí)行：由blna=alnb及a，b∈（0，1）有=。

想：如何處理等式=？形式統(tǒng)一，自然引入函數(shù)f（x）=，條件化為方程f（a）=f（b）。先研究函數(shù)f（x）性質(zhì)（單調(diào)性），再研究a，b大小關(guān)系。

擬定計(jì)劃：（3）引入函數(shù)，研究性質(zhì)

嘗試執(zhí)行：設(shè)函數(shù)f（x）=，0<x<1

想：如何研究f（x）的性質(zhì)？作為高一學(xué)生的我們，只有兩種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性：①函數(shù)圖像——觀察圖像的上升下降情況；②函數(shù)單調(diào)性定義。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷，本例不用。

擬定計(jì)劃：（4）應(yīng)用定義研究函數(shù)單調(diào)性

嘗試執(zhí)行：設(shè)0<x1<x2<1，則f（x1）-f（x2）=-。

想：如何判斷f（x1）-f（x2）=的符號(hào)？又回到了比較x與x的大小上，基本同于例題原題。陷入思維和解題的回路，放棄。

只有由圖像觀察一途。而圖像法中的數(shù)據(jù)又不好處理——都是一些無(wú)理數(shù)。借助計(jì)算器。

擬定計(jì)劃：（5）應(yīng)用圖像研究函數(shù)單調(diào)性

嘗試執(zhí)行：列表（借助計(jì)算器）：

描點(diǎn)，連線，得到f（x）的圖像，如圖1，由圖知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，故由f（a）=f（b）得a=b。從而選擇A、B。

至此，例題得到解決。

將“想”“嘗試”的過(guò)程整理，得到“解”的過(guò)程。

例題之解法一：∵a=b，∴等式兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)得lna=lnb，即blna=alnb，又a，b∈（0，1），∴=。

設(shè)函數(shù)f（x）=，0<x<1，列表：

描點(diǎn)，連線，得到的圖像，如圖1，

由圖知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，故由f（a）=f（b）得a=b。從而選擇A、B。

我們看到：對(duì)于復(fù)雜或有難度問(wèn)題的求解，擬定計(jì)劃和執(zhí)行計(jì)劃實(shí)際上一個(gè)反復(fù)嘗試的過(guò)程。

類題組2是解決連等式問(wèn)題的常用方法。對(duì)例題的求解有幫助嗎？

想：例題與類題組2的相似之處是：它們都是等式。連等式問(wèn)題的求解方法是引入新參數(shù)，將題設(shè)中的字母都用新參數(shù)表示，達(dá)到將多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題的目的——實(shí)質(zhì)是化歸思想的運(yùn)用。

擬定計(jì)劃：（1）等式值設(shè)參——引入新參數(shù)m

嘗試執(zhí)行：設(shè)a=b=m，則由a，b∈（0，1）有m∈（0，1），由指對(duì)互化得b=logam，a=logbm。

想：logam與logbm真數(shù)相同，換底統(tǒng)一底數(shù)。

擬定計(jì)劃：（2）換底公式化同底

嘗試執(zhí)行：b=logam=，a=logbm=。

想：與形式統(tǒng)一，引入函數(shù)g（x）=，研究函數(shù)單調(diào)性。

擬定計(jì)劃：（3）引入函數(shù)g（x）

嘗試執(zhí)行：設(shè)g（x）=，0<x<1，0<m<1，

想：如何研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性？應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原則——同增異減。將g（x）拆為y=，u=logmx，兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性都是易知的。

擬定計(jì)劃：（4）復(fù)合函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性

嘗試執(zhí)行：設(shè)u=logmx，y=，則g（x）是由y=（u>0）與u=logmx（0<x<1，0<m<1）復(fù)合而成的。易知，當(dāng)0<m<1時(shí)，u=logmx在0<x<1上單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<1時(shí)，u>0，y=在u>0上單調(diào)遞減，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)

遞增。

想：有了函數(shù)g（x）的單調(diào)性，根據(jù)b=，a=就能解決a，b的大小關(guān)系了。如何用g（x）的單調(diào)性呢？先由a，b的大小得g（a）與g（b）的大小，進(jìn)而得a，b的大小。

擬定計(jì)劃：（5）應(yīng)用g（x）的單調(diào)性研究a，b的大小

嘗試執(zhí)行：當(dāng)a>b時(shí)，g（a）>g（b），即>，而b=，a=，∴b>a，矛盾；同理，當(dāng)a<b時(shí)，g（a）<g（b），即<，而b=，a=，∴b<a，矛盾；故只有a=b。選擇A、B。

將上述“想”的過(guò)程整理，得“解”的過(guò)程。

例題之解法二：設(shè)a=b=m，則由a，b∈（0，1）有m∈（0，1），由指對(duì)互化得b=logam=，a=logbm=。

設(shè)g（x）=，0<x<1，0<m<1，

設(shè)u=logmx，y=，則當(dāng)0<m<1時(shí)，u=logmx在0<x<1上單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<1時(shí)，u>0，y=在u>0上單調(diào)遞減，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增。

當(dāng)a>b時(shí)，g（a）>g（b），即>，而b=，a=，∴b>a矛盾；當(dāng)a<b時(shí)，g（a）< g（b），即<，而b=，a=，∴b<a，矛盾；故只有a=b。選擇A、B。

從聯(lián)想類題方法到擬定計(jì)劃、嘗試執(zhí)行，到最后的完美求解，正是“如何想到”的心路歷程。

解題反思

解法一中的函數(shù)f（x）=（0<x<1）圖像難畫 ——無(wú)理數(shù)太多，能改進(jìn)嗎？可以考慮取以2為底的對(duì)數(shù)，從而函數(shù)f（x）=（0<x<1），取x=0.125， 0.25，0.5，1，還是能作圖的——只是作圖的間隔不舒服。解法二中，通過(guò)自身矛盾來(lái)排除是不常用的方法。

突然發(fā)現(xiàn)解法一中也有等式=，應(yīng)用解法二中的連等式引參，會(huì)發(fā)生什么呢？

擬定計(jì)劃：（仿解法一得=），（3）引參

嘗試執(zhí)行：設(shè)==k，則lna=ka，lnb=kb，a，b∈（0，1），k<0，

想：兩個(gè)式子何其相似！從方程角度看，a，b是方程lnx=kx，x∈（0，1），k<0的兩個(gè)根（可能重根）；從函數(shù)角度看，y=lnx，x∈（0，1）與直線y=kx的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，b。作圖，易；觀察（0，1）上的交點(diǎn)，易。

擬定計(jì)劃：（4）方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

嘗試執(zhí)行：設(shè)y1=lnx，x∈（0，1），y2=kx，x∈（0，1），k<0，作出y1與y2的圖像，如圖2，由圖知y1與y2有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故a=b。選A、B。

將上述“想”的過(guò)程整理，得到“解”的過(guò)程。

題之解法三：仿解法一得=，設(shè)==k，則lna=ka，lnb=kb，a，b∈（0，1），k<0，

設(shè)y1=lnx，x∈（0，1），y2=kx，x∈（0，1），k<0，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1與y2的圖像。

如圖2，由圖知y1與y2在（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程lnx=kx在（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，故a=b。選A、B。

三種解法對(duì)比，高一的學(xué)生會(huì)更喜歡解法三——既沒(méi)有作圖的煩惱，又沒(méi)有理解的障礙。解法一中f（x）=（0<x<1）的圖像難以處理，解法二中歸謬法并不常用，解法三中的兩個(gè)函數(shù)y1=lnx，x∈（0，1），y2=kx都是常見(jiàn)的函數(shù)，作圖和理解都不存在問(wèn)題。

解題表，作用大，掌握它，打天下。