隱函數(shù)求導方法探索

楊 雄 袁新全

（婁底職業(yè)技術學院，湖南婁底 417000）

0 引言

求導是高等數(shù)學教學中的主要內容之一，其中隱函數(shù)求導是導數(shù)中的難點內容。在實際應用中，有些變量相互關聯(lián)，并且相互影響，為了確定變量之間的關系，通常應用方程式或方程組確定，由這些方程式或方程組確定的函數(shù)，需要求極值及優(yōu)化等問題，進而經常用到隱函數(shù)求導，并且隱函數(shù)求導在問題研究及工程應用中有重要作用。因此，許多學者對隱函數(shù)求導進行了研究，如學者崔楠、朱德馨對隱函數(shù)在幾何方面的應用進行了研究[1]，張亞龍、高改蕓、劉爽研究了5 種求隱函數(shù)的導數(shù)方法[2]，張芬、吳紅星等對隱函數(shù)求導的正解與錯解進行了案例分析[3]。為了便于對隱函數(shù)求導的理解，本文首先闡釋一元隱函數(shù)的求導方法，然后推廣到多元隱函數(shù)的求導情況，并且得出相應的隱函數(shù)的求導公式，同時應用實際案例對隱函數(shù)求導公式進行應用探索。

1 隱函數(shù)的定義及其求導方法

如果在方程F(x,y)= 0 中，當x取某區(qū)間內的任一值時，相應地總有滿足此方程唯一的y值存在，那么方程F(x,y)= 0 在該區(qū)間內確定了一個一元隱函數(shù)。類似若有一個三元方程F(x,y,z)= 0 所確定的二元函數(shù)z=f(x,y)存在，則有可能確定一個二元隱函數(shù)。對此類隱函數(shù)求導，其主要方法有：

（1）先通過運算，把隱函數(shù)F(x,y)= 0 或F(x,y,z)=0 轉化成顯函數(shù)y=f(x)或z=f(x,y)，再利用求導公式和求導法則進行求導，一般情況許多隱函數(shù)很難顯化，并且求出導函數(shù)也是隱函數(shù)。

（2）把隱函數(shù)看作方程，方程左右兩端對x求導（求導時注意y是關于x的函數(shù)），可得到關于導數(shù)y′（x）的方程，解方程即可求出函數(shù)的導數(shù)y′（x）?；蛘咴诙嘣瘮?shù)中方程兩端求偏導，再解方程求出偏導數(shù)。

（3）將x，y看作兩個“平等地位”的變量，利用一元微分或多元函數(shù)全微分的形式不變性，在等式F(x,y)= 0 或F(x,y,z)= 0 兩端同時取微分，一元微分得到關于dy與dx的等式，把導數(shù)看作微商即可求出y′（x），多元函數(shù)求出全微分等式，類比dx前的因子是x的偏導數(shù)，dy前的因子是y的偏導數(shù)[4]。

2 一元隱函數(shù)求導法則

2.1 一元隱函數(shù)的求導公式

隱函數(shù)存在定理1[5]設函數(shù)F(x,y)在點P(x0,y0)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù)，且F(x0,y0)= 0，F(xiàn)y(x0,y0)≠0，則方程F(x0,y0)=0 在點(x0,y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y=f(x)，它滿足條件y0=f(x0)，并有

如果F(x,y)的二階偏導數(shù)也都連續(xù)，可以把（1）式的兩端看作x的復合函數(shù)而再求一次導數(shù)，則有一元隱函數(shù)的二階導數(shù)公式：

方法一：用復合函數(shù)求導法則求解隱函數(shù)的導數(shù)

解：直接用復合函數(shù)求導法則，有

分析：在此求導過程中一定注意，y是關于x的函數(shù)，即y=(x)，比如求y2的導數(shù)，應該是2yy′，而不是2y，等式兩邊求導后相當于解一元一次方程即可求出導數(shù)，當然求出的導函數(shù)還是一個隱函數(shù)。

方法二：用等式兩端求微分的方法求解隱函數(shù)的導數(shù)

解：方程兩邊取微分，則有

分析：等式兩端求微分，求解過程用到一元微分的形式不變性， 其實質用df(x)=f′(x)dx，然后把等式兩端的dx約去，得到關于y′的方程，解方程即得導數(shù)。

方法三：直接應用定理1中的（1）式求解

分析：直接用定理1 求解，隱函數(shù)要變到F(x,y)= 0 的形式，然后分別對F(x,y)求偏導數(shù)，當x求偏導數(shù)時，y看著常數(shù)，當對y求偏導數(shù)時，x看著常數(shù)，其他與一元函數(shù)求導法則、求導公式一樣。

2.2 一元隱函數(shù)的其他求導方法分析

2.2.1 復合函數(shù)求導法則解隱函數(shù)的導數(shù)

案例2 設y=f(x+y)，其中f二階可導，且其一階導數(shù)不等于1，求

解：等式兩端對x求導，則有y′=f′(x+y)(1+y′)，即

對上式兩邊再對x求導，可得

y″ =f″(x+y)(1 +y′)2+f′(x+y)y″， 進而有，將y′代入上式，有

分析：在求此類函數(shù)的導數(shù)時，一是注意y是關于x的函數(shù)；二是注意復合函數(shù)的求導法則，不能丟掉內層函數(shù)的導數(shù)；三是注意一直用方程兩端求導，求導過程中不要先求出一階導數(shù)y′，再對一階導數(shù)等式兩端求導，這樣變成了一個分數(shù)函數(shù)求導，繼續(xù)求高階導數(shù)會變復雜，只要最后把y′代入即可[6]。

2.2.2 對數(shù)求導法求解隱函數(shù)的導數(shù)

案例3 求隱函數(shù)x2=y2的導數(shù)。

解：對等式兩端取對數(shù)，則有

分析：如果等式中含有冪指函數(shù)，一般用對數(shù)求導法，先對等式兩邊取對數(shù)，并且一般需要先通過相應的對數(shù)運算，然后等式兩邊求導數(shù)即可。當然有時可以轉換成e的指數(shù)形式，再用復合函數(shù)求導，如此題可轉換成eylnx=exlny[7]。

2.2.3 等式兩邊求微分法求隱函數(shù)的導數(shù)

案例4 求隱函數(shù)cos(xy)=x3y3的導數(shù)。

解：對等式兩端求微分，則有

dcos(xy) =d(x3y3)?-sin(xy)d(xy) =y3d(x3)+x3d(y3)

?-sin(xy)(ydx+xdy)=3x2y3dx+3x3y2dy

整理解得

分析：此解法與例1 中的解法二是有區(qū)別的，例1 中用到的是一元函數(shù)的微分公式，這里用到的是二元函數(shù)的全微分公式，即df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy，實質是等式兩邊求全微分。

2.2.4 用變量代換求解隱函數(shù)的導數(shù)

案例5 設函數(shù)y=y(x) 由方程xy2+y2lnx= 4確定，求[8]。

解：將方程改寫為ey2lnx+y2lnx=4，進行變量代換，設u=y2lnx，則有eu+u= 4。

對x求導，可得即

分析：解此類題，在解題過程中加強觀察，可能會找到簡便的解法，當然觀察的能力來自于平時的積累，因此，對一些解題的方法和技巧要平時多積累。

2.2.5 求一元隱函數(shù)的導數(shù)值

案例6 設y=y(x)由方程y-xe2= 1 確定，求的值。

解：方程兩端求導可得y′-e2-xeyy′=0，由y-xey y′ = 1 可得-xey= 1 -y，代入以上方程化簡可得(2 -y)y′ -ey= 0。

以上方程兩邊再對x求導可得

-(y′)2 +(2 -y)y″ -y′ey= 0

由已知方程及x= 0 得y(0)= 1，再由方程y′ -ey-xey y′ = 0得y′(0)=e，將它們代入以上方程得y″(0)= 2e2。

分析：若要求任意點x處的二階導數(shù)y″，在求解得到二階導y″之后，應將一階導數(shù)y′的表達式代入含有y′和y″的方程中，把y′消除。在隱函數(shù)求導過程中，通過一次求導，求得關于一階導數(shù)y′的方程，若能用原方程將含有一階導數(shù)y′的方程化簡的，應代入化簡，這方便于進一步求二階導數(shù)y″。

3 多元隱函數(shù)的求導法則

隱函數(shù)存在定理2[9]設函數(shù)F(x,y,z)在點P(x0,y0,z0)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù)，且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0，則方程F(x,y,z)=0 在點(x0,y0,z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z=(x,y)，它滿足條件z0=f(x0,y0)，并有

案例7 已知x2+y2+z2- 4z= 1，求

方法一：類似案例1 中方法一，用復合函數(shù)求導方法，即z=f(x,y)，方程兩端對x求偏導，則有，解得[10]。

方法二：類似案例1 中方法二，對方程兩端取全微分，則有2xdx+2ydy+2zdz-4dz=0，解得，進而有

方法三：應用公式（3）求解，設F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z-1，則有Fx= 2x,Fz= 2z- 4，所以

分析：方法一對x求偏導時，y是常數(shù)，z是關于x和y的函數(shù)；方法二是求出全微分，然后比較dx前的因子是x的偏導數(shù)；方法三對x求導時，y和z都是常數(shù)，對z求導時，x和y是常數(shù)。如果弄清楚誰是變量，誰是常數(shù)，求導就變容易了。

4 方程組給出的隱函數(shù)的求導法則

隱函數(shù)存在定理 3 設F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在點P(x0,y0,u0,v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，又F(x0,y0,u0,v0)=0，G(x0,y0,u0,v0)= 0，且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）行列式）：

在點P(x0,y0,u0,v0)不等于零，則方程組F(x,y,u,v)=0，G(x,y,u,v)=0，在點(x0,y0,u0,v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)，它們滿足條件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0)，并有

案例8 已知xu-yv= 0,yu+xv= 1，求

方法一：直接應用公式（4）計算:

F(x,y,u,v)=xu-yv,G(x,y,u,v)=yu+xv-1，則有

方法二：利用復合函數(shù)的求導法則計算，因為u=u(x,y)，v=(x,y)，方程的兩端對x求

同樣的方法方程兩端對y求導，可求出

方法三：方程兩端取全微分，則有

所以有

分析：當二元隱函數(shù)由一個方程確定時，應用公式法、復合函數(shù)求導法及全微分法求解導數(shù)，求解的難易程度不太明顯，若是由方程組確定的隱函數(shù)，尤其當隱函數(shù)不是由具體方程表達式給出時，全微分求解表現(xiàn)出明顯優(yōu)越性。當然，方程組兩端應用復合函數(shù)求導的方法比公式法更方便，公式法實際是這種復合函數(shù)求導方法的直接結論，方程組求導的公式是應用了線性方程組求解的克萊姆法則。

5 結束語

本文探討一元隱函數(shù)的求導公式法、復合函數(shù)求導法、對數(shù)求導法、微分法、變量代換法和多元隱函數(shù)的求導公式法、復合函數(shù)求導法及全微分法。每種方法有各自的優(yōu)勢，如一元函數(shù)的公式法分別求出對x與y的偏導數(shù)，代入公式即可求出隱函數(shù)的導函數(shù)，思路很清晰，但要記住公式。其他方法不需要記公式，但求解過程技巧多，要通過一定的練習掌握各種方法的解題技巧。多元隱函數(shù)的求導有全微分法、公式法及復合函數(shù)求導，其中公式法，需要記住公式，尤其是方程組構成的隱函數(shù)公式比較復雜，難以記住，因此解題宜采用全微分法及復合函數(shù)求導法。在隱函數(shù)求導的教學過程中，通過從一元隱函數(shù)的求導方法，拓展到多元隱函數(shù)的求導方法，降低了隱函數(shù)求導的難度，進而引導學生積極參與思考，提高學生多途徑、多角度思考問題的能力，并且在知識的深度和廣度上得到充分挖掘。