基于“逆向設計”的聲學超材料幾何參數(shù)容差設計*

鐘林君 楊 揚 舒樂時

（1.華中科技大學機械科學與工程學院數(shù)字制造裝備與技術國家重點實驗室 武漢 430074）（2.華中農(nóng)業(yè)大學工學院 武漢 430070）

1 引言

聲學超材料由于能夠實現(xiàn)對任意頻率聲波及彈性波的有效控制，具有傳統(tǒng)材料無法替代的性質(zhì)，在聲探測、聲通信、聲隱身等方面都有重要的應用價值［1］。聲學超材料波控器件通常由大量微結構構成，量化微觀結構的尺寸與聲波響應的關系以確定允許的加工誤差范圍，是能否制備出滿足需求的材料的關鍵與難點。MILTON等［2］率先提出的五模材料（Pentamode Material，PM）是一種新型的人工聲學超材料。隨后，聚合物基五模材料［3～4］與金屬基五模材料［5～6］陸續(xù)研制成功，因金屬基五模材料與流體的力學性能相似，在水聲控制領域被廣泛接受。

常見的二維五模材料均為蜂窩結構，可通過對單胞角點施加不同質(zhì)量的配重塊來調(diào)整超材料對波的響應特性，而如何量化單胞各尺寸參數(shù)與微結構性能之間的關系是五模材料制備過程中的難點。ZHAO 等［7］同時考慮力學與聲學性能，設計了一種類水五模材料微結構；HAN［8］等提出蜂窩-波紋混合的輕質(zhì)夾層結構，并研究其壓縮性能，為五模材料的結構設計提供新思路。但上述研究對五模材料結構參數(shù)與性能之間的關系還沒有非常清晰的量化［9］，同時微結構的加工精度與缺陷均影響著制備出的聲學器件的性能。此外，現(xiàn)有的五模材料主要通過水槍切割、線切割及微細加工制備，其中，微細加工精度最高，但成本大；線切割技術加工精度次之，而切割厚度大；水槍切割加工精度最低。因此，為保障加工不確定性下的聲學超材料的性能，需要平衡制備成本與產(chǎn)品性能之間的關系，提供合理的允許加工誤差。

日本學者TAGUCHI 博士20 世紀70 年代提出了三次設計法［10］，其中容差設計是在參數(shù)設計完成后，綜合考慮產(chǎn)品質(zhì)量和成本的情況下確定設計參數(shù)的容差值，并提出以質(zhì)量損失函數(shù)為目標的容差優(yōu)化模型［11］。由于穩(wěn)健性分析能夠有效保障不確定性環(huán)境下的產(chǎn)品質(zhì)量，越來越多的容差設計結合穩(wěn)健性分析方法應用于實際的工程問題［12～13］。采用穩(wěn)健性分析的方法，可以在加工不確定性下保證微結構性能變動在可接受的范圍內(nèi)。然而，現(xiàn)有的基于非概率理論的穩(wěn)健性分析方法大多屬于“正向模型”，即通過將變量的變化映射到目標空間和可行性空間來驗證最優(yōu)解的穩(wěn)健性［14］。當修改輸入變量的不確定信息時，基于正向模型的方法需要重新分析設計方案的穩(wěn)健性［15］。同時，在許多復雜工程產(chǎn)品的設計中，設計目標和約束的非線性與隱式程度較高，難以直接得到參數(shù)變化與質(zhì)量損失及成本的關系。采用基于“逆向設計”思維的穩(wěn)健性分析方法，可通過將目標可接受變化范圍（Acceptable Objective Variations Region，AOVR）及約束可接受變化范圍（Acceptable Constraint Variations Region，ACVR）映射至參數(shù)空間，建立不確定性參數(shù)與目標及約束的關系，從而獲得不確定性參數(shù)的容差范圍。

對此，本文提出基于“逆向設計”思維的穩(wěn)健性分析方法，并對聲學超材料的幾何參數(shù)進行容差設計，獲取不確定性參數(shù)的最大容差范圍。

2 “逆向設計”思維

通常，考慮區(qū)間不確定性的設計優(yōu)化問題可以描述為

其中，設計優(yōu)化問題包括M 個目標與G 個約束，f為第m個目標函數(shù)，g表示第i個約束條件，xL、xU為變量x 的設計范圍，且x的區(qū)間不確定性變化Δx被限制在上下邊界ΔxU、ΔxL內(nèi)變動。

基于“逆向設計”模型，可以將給定的AOVR 及ACVR 映射至變量變化區(qū)域，進而在不確定性變量空間進行穩(wěn)健性分析。其中，AOVR 可以表述為[Δf-，Δf+]，如圖1 所示；ACVR 由所有起作用的約束組成：gi(x+Δx)≤0，i=1，…，G，如圖2 所示。變量變化空間是一個N維空間，其坐標軸是各不確定性變量的變化值。由目標及可行性空間映射至變量變化空間的集合稱為靈敏度區(qū)域，可以表示為

圖1 可接受目標變化區(qū)域（AOVR）

圖2 可接受約束變化區(qū)域（ACVR）

其中，Sf是目標靈敏度集合，Sg為可行性靈敏度集合，可由式具體表示：

其中，Δfm是第m 個目標對應的預置AOVR。集合Sf為滿足M 個目標穩(wěn)健性條件的所有Δx的集合，Sg為滿足G 個可行性穩(wěn)健性約束的所有Δx的集合。

對于一組不確定性變量(x1，x2)，其靈敏度區(qū)域如圖3中的不規(guī)則陰影部分所示。

圖3 不確定性變量空間靈敏度區(qū)域

通過將AOVR 及ACVR 映射至參數(shù)空間，可以獲取已存在設計方案的靈敏度區(qū)域，當存在多維度不確定性參數(shù)時，靈敏度區(qū)域可以為一個不規(guī)則空間體。在此基礎上，需要進一步在靈敏度區(qū)域內(nèi)獲得一個規(guī)則矩形或超立方矩形作為參數(shù)的容差區(qū)間，如圖3 虛線矩形框所示，為生產(chǎn)過程提供允許的最大加工誤差。

3 基于“逆向設計”思維的穩(wěn)健性分析方法

為了根據(jù)設計者對產(chǎn)品性能的要求獲得容許的最大加工誤差，本文提出基于“逆向設計”思維的穩(wěn)健性分析方法，從目標及約束的容許變化范圍出發(fā)，反向求得不確定性變量的最大容差區(qū)間。

對于一個預選設計方案(x0，f0)，包含具有不確定性的變量x0（x0=(x1，x2，…，xN)）以及最優(yōu)的目標值f0（f0=(f0，1，…，f0，M)）。這里所說的預選設計方案是指被確定用于制造過程的設計，或者是由概念設計階段產(chǎn)生的確定性設計方案。由于不確定性因素的影響，x0會出現(xiàn)一定程度的波動并影響實際的產(chǎn)品性能。

將目標穩(wěn)健性要求與可行性穩(wěn)健性要求均看作穩(wěn)健性約束，則式（1）描述的區(qū)間不確定性下的產(chǎn)品設計問題可以表述為

其中，Ri包含M 個目標穩(wěn)健性約束和G 個可行性穩(wěn)健性約束，如式（5）所示：

式中，Δfi為第i 個目標對應的AOVR 值，在實際工程問題中，可能代表產(chǎn)品性能或質(zhì)量要求。在此基礎上，求取最大的參數(shù)容許變化，如實際加工中允許的最大加工誤差，進而通過選擇合適的設備或制造手段控制加工精度以保證產(chǎn)品實際性能。

本方法采取內(nèi)外雙層嵌套的結構求取不確定性參數(shù)的最大容差區(qū)間：1）外循環(huán)用于搜索不確定性參數(shù)的最大區(qū)間；2）內(nèi)循環(huán)計算最壞可能情況變化（worst-case variations，WCV），并以此來驗證搜索過程中的各區(qū)間是否滿足穩(wěn)健性要求。

所提出方法的結構框圖如圖4 所示。由于許多工程問題需要得到上下偏差相等的對稱容差區(qū)間，本文選擇關于原點對稱的區(qū)間為求解目標，外循環(huán)目標設定為區(qū)間長度。首先經(jīng)過預處理得到初始閾值，即確定初始的參數(shù)變化上界Δxmax及下界Δxmin。在初始閾值[Δxmin，Δxmax]內(nèi)，由外循環(huán)隨機生成不確定性區(qū)間值Δxl，并將其傳遞至內(nèi)循環(huán)，由內(nèi)循環(huán)在[- |Δxl|，| Δxl|]內(nèi)搜索對應的WCV值；為減少計算成本，搜索WCV時引入支持向量機SVM分類模型，代替目標或約束值的計算過程。根據(jù)所得的WCV 判斷不確定性參數(shù)值在每個區(qū)間變動時是否均滿足目標穩(wěn)健性及可行性穩(wěn)健性，若不滿足，則將對應的WCV 值作為懲罰項添加至外循環(huán)的搜索目標中；最后在外循環(huán)搜索獲得最大的參數(shù)容差區(qū)間。

圖4 基于“逆向設計”思維的穩(wěn)健性分析框架

該方法的具體實施步驟如下：

步驟1：試驗設計與SVM分類模型構建

采用拉丁超立方采樣生成一組i×nx維訓練集樣本點u，其中i 是訓練集樣本點的個數(shù)，nx 為不確定性變量個數(shù)。根據(jù)max(R(u))的值對樣本點分配標簽，即對max(R(u))≤0 給定分類標簽w=-1，反之，w=1。通過(uw(u))構建SVM 分類模型，判斷在不確定性波動下，預選設計方案的目標及約束是否均滿足穩(wěn)健性要求。

步驟2：初始化參數(shù)變化閾值

在具體工程問題中，初始閾值可以為加工設備的最低加工精度，可表述為[Δxmin，Δxmax]。

步驟3：在外循環(huán)中生成區(qū)間值

根據(jù)外循環(huán)目標F，通過遺傳算法搜索最大的區(qū)間值。首先需在外循環(huán)隨機生成初始種群，即區(qū)間值Δxl，對任一Δxl有Δxmin≤Δxl≤Δxmax。然后將區(qū)間值Δxl傳遞至內(nèi)循環(huán)。

步驟4：求解內(nèi)循環(huán)

對外循環(huán)傳入的每個區(qū)間值Δxl，在內(nèi)循環(huán)中，搜索各區(qū)間值Δxl對應的WCV，其中，目標及約束值由SVM 分類模型的標簽值確定，式（6）給出了WCV的求解表達式。

其中，Δx為[-|Δxl|，|Δxl|]內(nèi)的變量值。

步驟5：判斷穩(wěn)健性

若WCV＞0，說明對應的區(qū)間可能存在部分區(qū)域不滿足目標穩(wěn)健性或可行性穩(wěn)健性要求，則跳出搜索，將該WCV值傳回外循環(huán)，并作為懲罰項添加至外循環(huán)目標中；若最終搜索得到的WCV＜0，則說明該區(qū)間被參數(shù)靈敏度區(qū)域完全覆蓋，即區(qū)間內(nèi)的參數(shù)變化始終滿足穩(wěn)健性約束，令這樣的WCV 值為0并返回外循環(huán)。外循環(huán)目標中，WCV的添加方式如式（7）所示：

其中，P為懲罰因子。

返回步驟3 直至遺傳算法達到設定的最大遺傳代數(shù)。

步驟6：輸出不確定性參數(shù)的最大穩(wěn)健區(qū)間

最終搜索得到滿足穩(wěn)健性要求的不確定性參數(shù)最大容差區(qū)間：[- |Δxl|，| Δxl|]。

4 聲學超材料幾何參數(shù)的容差設計

微結構的設計是聲學超材料器件設計中的關鍵步驟，它對超材料器件的可實現(xiàn)性及水聲調(diào)控能力都有著重要的影響，而微結構的加工精度也對超材料器件的聲學及力學性能有重要影響。文獻［16］設計了圖5 所示的鋁基聲學超材料設備，并對各參數(shù)進行了分析，不同的參數(shù)類型對微結構的體積模量與質(zhì)量密度會產(chǎn)生不同程度的影響，例如六邊形連接桿的長寬比增大，將可能導致各單胞部分無法按預期設計控制所有入射聲波能量。

圖5 鋁基聲學超材料構件［16］

本文針對圖6 所示鈦基聲學超材料微結構，圖中上半部分為聲學超表面，下半部分為剛性墻，根據(jù)設計要求的聲學性能進行穩(wěn)健性分析。聲學超表面由周期性的六邊形單胞構成，每個六邊形單胞邊長L=24mm，在x 和y 方向上分別排列H 和V 個單胞時超表面的長度及厚度分別為

圖6 聲學超材料微結構

其中，Δx為裝置整體長度，l 為其厚度；在x 方向有43 個單胞即H=43；在y 方向單胞數(shù)為3 即V=3。由于離散性，所設計微結構長度略長于預設尺寸。

在聲學超材料微結構設計中，主要包括圖7 所示t、m、b、r四類參數(shù)，其中t為單胞六邊形連接桿厚度，m為質(zhì)量塊頂點四邊形高度，b為質(zhì)量塊四邊形寬度的一半，r為三角形頂點到四邊形距離。

圖7 六邊形單胞最小重復單元

由于聲學超材料多應用于制造隱身斗篷等，制造企業(yè)及其客戶較關心產(chǎn)品的聲學性能，要達到“隱身”效果，需要盡可能降低其散射強度，所以設定優(yōu)化模型的目標為微結構的遠場散射系數(shù)。該聲學超材料微結構在2.5kHz～5kHz 具有較好的波控性，選擇頻率為2.5kHz、3kHz、4kHz 及5kHz 情況下的遠場聲散射系數(shù)的平均值為目標。根據(jù)圖7所示幾何關系，各單元中的四類參數(shù)還需滿足一定約束使附加質(zhì)量塊的整體高度小于六邊形單胞邊長。優(yōu)化模型如式（9）所示。

其中，f1～f4分別對應上述四種頻率環(huán)境下的遠場聲散射系數(shù)；半側22 組t、m、b、r為輸入的不確定性參數(shù)，即t、m、b、r為包含22個元素的向量。

對該微結構，存在一組預選設計，即經(jīng)設計確定的用于制造過程的設計方案，其中預選設計變量如表1 所示，預選目標值f0=92.93 為預選設計變量下的聲散射系數(shù)平均值。要求聲學性能不超過(1+1%)f0，式給出目標可接受變化范圍，

表1 預選設計變量

其中，x0=(t0，m0，b0，r0)，Δx為區(qū)間不確定性變化。根據(jù)加工條件，給出Δx的初始閾值為[-0.15，0.15]。

由聲學性能要求與幾何尺寸約束可知，該問題的穩(wěn)健性約束如式（11）所示：

式中，R1為目標穩(wěn)健性約束，R2為可行性穩(wěn)健性約束。根據(jù)給定的設計性能要求，分析遠場散射系數(shù)與各最小單元的不確定性參數(shù)之間的關系，獲取性能要求下不確定性參數(shù)的容差區(qū)間，即實際加工過程允許的最大加工誤差。

利用COMSOL Multiphysics 的聲固耦合模塊對該微結構聲散射特征進行模擬，在預選設計變量下，可得到不同頻率下的散射聲壓。選用模量為108GPa，泊松比為0.34，密度為4500kg/m3的鈦為基材；六邊形單胞質(zhì)量密度為ρ=1000kg/m3，楊氏模量E=10MPa，泊松比v=0.475。由于主要應用于水下裝備，計算遠場聲壓級時使用水的參考壓力，設定聲速Cb=1500m/s。

在式（10）給出的聲學性能要求下，通過基于“逆向設計”思維的穩(wěn)健性分析，獲取不確定性參數(shù)t、m、b、r 的容差區(qū)間?？紤]COMSOL 的仿真成本（單次仿真耗時30min～60min），引入支持向量機SVM分類模型，用以進行內(nèi)循環(huán)最壞可能情況分析中的目標穩(wěn)健性的判斷。

SVM 分類模型構建的具體實施過程為：1）通過拉丁超立方采樣，在區(qū)間[x0-0.15，x0+0.15]內(nèi)生成200 組樣本點u；2）對樣本點u，利用COMSOL 仿真得到相應的輸出響應值f(u)；3）若響應值滿足式目標穩(wěn)健性要求，給定其分類標簽w(u)=-1，反之，給定分類標簽w(u)=1；4）利用[uf(u)]訓練SVM 分類模型，后續(xù)可用于判斷未經(jīng)試驗的不確定性設計是否滿足所有的目標穩(wěn)健性約束；5）采用K 折疊交叉驗證評價SVM 模型的分類準確度，將[uf(u)]均分為K 組，用其中(K-1)組子集數(shù)據(jù)訓練SVM 分類模型，并用訓練出的模型對其余一組子集數(shù)據(jù)進行分類，通過與仿真結果對比驗證模型分類準確度，依次得到K個模型的分類準確度，取其平均值作為SVM 分類模型準確度的評價指標。經(jīng)驗證，當K=10 時SVM 模型的分類準確度為96%。

根據(jù)給定的初始閾值[Δxmin，Δxmax]=[-0.15，0.15]，在外循環(huán)中由遺傳算法生成初始種群，即隨機區(qū)間值Δxl，并傳入內(nèi)循環(huán)。在內(nèi)循環(huán)中搜索區(qū)間內(nèi)的WCV值，WCV具體表達式如式（12）所示：

式中，R包括目標穩(wěn)健性約束（式（11）R1）與可行性穩(wěn)健性約束（式（11）R2），其中，目標穩(wěn)健性約束通過SVM分類模型給出的分類標簽w( Δx)表示。

將WCV 傳回外循環(huán)，在外循環(huán)中進行穩(wěn)健性判斷。經(jīng)過內(nèi)外雙層嵌套結構搜索，最終可得最大的容差區(qū)間為：[-0.1，0.1]。

使用Monte Carlo 法驗證該區(qū)間穩(wěn)健性。在區(qū)間[-0.1，0.1]內(nèi)隨機生成50 組Δx，將(x0+Δx)代入模型中，經(jīng)過COMSOL 仿真輸出對應響應值，目標穩(wěn)健性驗證結果如圖8 所示。同時根據(jù)式（11）中的R2驗證可行性穩(wěn)健性，驗證結果如圖9所示。

圖8 聲學超材料目標穩(wěn)健性驗證

圖9 聲學超材料可行性穩(wěn)健性驗證

為證明所得區(qū)間為最大容差區(qū)間，對于區(qū)間[-0.1，0.1]，對應得到WCV=-1.2160×10-5＜0 ；將該區(qū)間擴大0.05%，并進行最壞可能情況搜索，得WCV=3.7834×10-5＞0。則可認為，基于“逆向設計”思維的穩(wěn)健性分析方法得到微結構參數(shù)容差區(qū)間[-0.1，0.1]為容許條件下的最大區(qū)間。

5 結語

本文針對聲學超材料制備過程中的加工不確定性問題，采用基于“逆向設計”思維的穩(wěn)健性分析方法，根據(jù)設計者提出的性能要求，反向獲得不確定性參數(shù)的最大容差區(qū)間。根據(jù)上文研究內(nèi)容，可得到以下結論：

1）本文提出了基于“逆向設計”思維的穩(wěn)健性分析方法，通過將目標穩(wěn)健性和可行性穩(wěn)健性要求轉化為不確定性參數(shù)的靈敏度區(qū)域，建立不確定性參數(shù)波動與性能變化之間的關系，并進行穩(wěn)健性判斷，最終獲得不確定性參數(shù)的最大容差區(qū)間。

2）針對具體的聲學超材料微結構設計，應用所提出的方法，根據(jù)微結構聲學性能要求和幾何關系約束，獲得不確定性參數(shù)的最大容差區(qū)間，即允許的最大加工誤差。采用Monte Carlo 法驗證該區(qū)間穩(wěn)健性，結果顯示不確定性參數(shù)在所得容差區(qū)間內(nèi)變動時不會違背目標穩(wěn)健性及可行性穩(wěn)健性要求；結合最壞可能情況分析證明，所獲得的區(qū)間為允許條件下的最大區(qū)間。

3）根據(jù)獲取的不確定性參數(shù)最大容差區(qū)間可以確定允許的最大加工誤差，在保證性能的同時，能最大限度放寬加工精度要求，降低制造成本。