利用極點(diǎn)極線探究從“圓”開(kāi)始的定點(diǎn)問(wèn)題

廣東省汕頭市澄海中學(xué) (515800) 林建群 陳煥濤

在圓錐曲線問(wèn)題中常常考察定點(diǎn)定值問(wèn)題,很多定點(diǎn)定值問(wèn)題隱藏在相關(guān)幾何關(guān)系中.圓具有完美的對(duì)稱性以及豐富的幾何性質(zhì),我們可以考察圓的相關(guān)問(wèn)題,再猜想其在一般圓錐曲線中的相關(guān)結(jié)論.本文以一道圓中的定點(diǎn)問(wèn)題為起點(diǎn),利用極點(diǎn)極線理論發(fā)掘一般圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題.

一、試題的分析與求解

題目過(guò)直線x+y=4上一動(dòng)點(diǎn)M,向圓O:x2+y2=4引兩條切線,A,B為切點(diǎn),求圓C:(x+3)2+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值.(華中師大一附中2021-2022學(xué)年高二期考題).

分析:本題有兩個(gè)難點(diǎn),一是求解直線AB的方程,二是動(dòng)點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題.本題涉及到的直線與點(diǎn)都是運(yùn)動(dòng)的,本題的解題關(guān)鍵則在于發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的不變性.

解析:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),設(shè)切點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線方程為lA,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得OA⊥lA.結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)可得切線方程lA為x1x+y1y=4.因?yàn)辄c(diǎn)M∈lA,可得x1x0+y1y0=4(1).同理可得x2x0+y2y0=4(2).為此構(gòu)造直線l:x0x+y0y=4,由上兩式可得A∈l,B∈l,即可得直線l即為直線AB.因?yàn)辄c(diǎn)M在直線x+y=4上,可得x0+y0=4,代入直線l可得x0(x-y)+4y-4=0,所以該直線過(guò)定點(diǎn)N(1,1).

反思:在本題中出現(xiàn)了兩個(gè)圓,直線AB為圓O的切點(diǎn)弦,其主要意義在于發(fā)現(xiàn)直線AB過(guò)定點(diǎn).圓C的意義在于求解最值,而圓O也可承擔(dān)圓C的功能,所以此題略顯復(fù)雜.

筆者認(rèn)為可以將原問(wèn)題改編如下:

筆者在求解該問(wèn)題后,再提出了如下的思考:(1)在本題中出現(xiàn)的直線x+y=4,圓O:x2+y2=4以及定點(diǎn)N(1,1)三者有什么必然聯(lián)系呢?(2)當(dāng)將圓轉(zhuǎn)化為其他的圓錐曲線時(shí),是否存在這樣的定點(diǎn)呢?

二、問(wèn)題的本質(zhì)探究

極點(diǎn)極線的幾何定義[1]:如圖1,P是不在圓錐曲線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.

圖1

圖2

特別地對(duì)于高中常用的圓錐曲線:

(1)圓(x-a)2+(y-b)2=r2,點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;

(4)拋物線y2=2px,對(duì)應(yīng)的極線為y0y=p(x0+x).

極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì):

定理2(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓錐曲線Γ上時(shí),其極線l是曲線Γ在點(diǎn)P處的切線;(2)當(dāng)點(diǎn)P在Γ外時(shí),其極線l是切點(diǎn)弦所在的直線;(3)當(dāng)點(diǎn)P在Γ內(nèi)時(shí),其極線l是過(guò)點(diǎn)P的弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)所構(gòu)成的集合;

定理3 (配極原則)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ的極線p經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,點(diǎn)Q關(guān)于Γ的極線q經(jīng)過(guò)點(diǎn)P;由此可知,共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn);共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.

回到上文中的問(wèn)題應(yīng)用上述極點(diǎn)極線的結(jié)論可得:點(diǎn)M與直線AB(切線弦)即為一組極點(diǎn)極線;根據(jù)上述配極原則,我們可知點(diǎn)N(1,1)與直線x+y=4也是關(guān)于是圓O:x2+y2=4的一組極點(diǎn)極線.

三、一般圓錐曲線中的結(jié)論

例3 過(guò)直線l:2x-y+4=0上一動(dòng)點(diǎn)M,向拋物線C:y2=4x引兩條切線,A,B為切點(diǎn),求點(diǎn)P(-1,0)到直線AB距離的最大值.

注意到上述問(wèn)題中出現(xiàn)的點(diǎn)P均是一個(gè)定點(diǎn),當(dāng)曲線為雙曲線及拋物線時(shí),當(dāng)點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)的距離的最大值不存在;當(dāng)曲線為橢圓時(shí),存在最大值,但表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜,本文不再探究.

接下來(lái),我們通過(guò)特殊化來(lái)研究橢圓條件下的最大值問(wèn)題.

根據(jù)該定理,即可命制出如下問(wèn)題: