核心素養(yǎng)背景下信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合的思考與實踐

【摘要】本文立足《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的核心素養(yǎng)教學(xué)導(dǎo)向和“促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合”的課程理念，以“黃金分割數(shù)”教學(xué)為例，通過將信息技術(shù)有機(jī)嵌入課程實施的各個環(huán)節(jié)，探討核心素養(yǎng)背景下信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合的實踐策略，包括核心素養(yǎng)背景下教學(xué)目標(biāo)的確定及教學(xué)策略的選擇、融入視覺美感的生活化真實情境創(chuàng)設(shè)、借助數(shù)學(xué)實驗發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 信息技術(shù) 深度融合 核心素養(yǎng) 黃金分割

【中圖分類號】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）07-0057-05

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》）與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《2011年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》）相比，最大的變化是強(qiáng)化了課程育人導(dǎo)向，將黨的教育方針具體化為數(shù)學(xué)課程應(yīng)著力培養(yǎng)的三個方面核心素養(yǎng)，即“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”（以下簡稱“三會”），確定了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)、建構(gòu)了指向核心素養(yǎng)的內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程對學(xué)生正確價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要求。與此同時，《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》還明確提出了“促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合”的課程理念，提倡“合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源，設(shè)計生動的教學(xué)活動，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的變革”。近年來，隨著教育現(xiàn)代化的快速發(fā)展，筆者就信息技術(shù)輔助初中數(shù)學(xué)教學(xué)、與初中數(shù)學(xué)課程進(jìn)行深度融合進(jìn)行了長期的探索，積累了一定的實踐經(jīng)驗。下面筆者以“黃金分割數(shù)”教學(xué)為例，談?wù)労诵乃仞B(yǎng)背景下信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合的思考與實踐。

一、核心素養(yǎng)背景下教學(xué)目標(biāo)的確定及教學(xué)策略的選擇

鑒于現(xiàn)行教材是依據(jù)《2011年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》編寫而成，教師使用現(xiàn)行教材確定教學(xué)目標(biāo)，需要遵循《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》對學(xué)生“三會”、“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）、“四能”（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題）的培養(yǎng)要求，對教材中的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行深入分析，結(jié)合學(xué)生的實際情況確定教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點。

“黃金分割數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容安排在人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第二十一章“閱讀與思考”板塊，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“一元二次方程的解法”之后，即將學(xué)習(xí)“實際問題與一元二次方程”之前的一個過渡性學(xué)習(xí)內(nèi)容。它既是學(xué)生今后學(xué)習(xí)線段之比的基礎(chǔ)性知識，又是學(xué)生今后研究具有黃金比的圖形的工具性知識?！包S金分割”的發(fā)現(xiàn)歷史悠久，最早由公元前5世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派掌握；到公元前4世紀(jì)時，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個系統(tǒng)地研究了這個問題，并建立起比例理論；到公元前300年前后，歐幾里得撰寫《幾何原本》時進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，也因此《幾何原本》成為有關(guān)黃金分割的最早論著。“黃金分割”在生活和藝術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，有助于學(xué)生在生活攝影、美術(shù)設(shè)計、服裝設(shè)計、建筑設(shè)計等綜合與實踐活動中展現(xiàn)獨特的視覺美感。因此，本課學(xué)習(xí)內(nèi)容，無論是基礎(chǔ)知識本身還是發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用知識的過程，都具有重要的學(xué)習(xí)和探究價值。

人教版教材在本章的章前圖導(dǎo)言中明確指出：“在設(shè)計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感?！痹诒菊碌膶W(xué)習(xí)中，學(xué)生雖然已經(jīng)知道了雕像的上部與下部之比等于下部和全部之比，知道了如何設(shè)未知數(shù)、列方程求解，并熟練掌握了一元二次方程的解法，但對于“比值相等”可以增加“視覺美感”這件事，學(xué)生依然缺乏直觀感受和理性感知。而所謂視覺美感，其實來源于人對視覺美的感受力。所謂視覺美，指的是通過人的視覺去感受到的美，與聽覺美、綜合美并列。視覺美以存在于一定空間的可視性物質(zhì)材料為媒介和載體，而這些媒介和載體需要具備靜態(tài)或動態(tài)的直觀實體形象?；趯W(xué)生的基礎(chǔ)學(xué)情，筆者決定將“增加學(xué)生的視覺美感”作為本課教學(xué)中連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的重要學(xué)習(xí)目標(biāo)，以此培養(yǎng)學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)，同時借助信息技術(shù)豐富的學(xué)習(xí)資源和學(xué)科工具，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)恰切的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生通過自主創(chuàng)造必要的“靜態(tài)或動態(tài)的直觀的實體形象”，觸發(fā)自己的視覺美感。

按照《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》對“三會”“四基”“四能”的培養(yǎng)要求，筆者為本課學(xué)習(xí)內(nèi)容確定了如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解現(xiàn)實生活中存在的黃金分割數(shù)，會解相應(yīng)的方程；借助信息技術(shù)的支持，能夠通過觀察、測量發(fā)現(xiàn)正五角星中存在的黃金分割數(shù)；能夠在教師所創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境中觸發(fā)真實的“視覺美感”，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題和提出數(shù)學(xué)問題；能在方程思想引領(lǐng)下，以方程為工具對所提出的數(shù)學(xué)問題展開數(shù)學(xué)分析；能夠結(jié)合實際問題背景，以方程為工具解決問題；通過經(jīng)歷從情境探索到發(fā)現(xiàn)黃金分割數(shù)的過程，體會化歸思想，增強(qiáng)模型觀念，提高抽象能力，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。重點是“引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從現(xiàn)實生活情境中發(fā)現(xiàn)黃金分割數(shù)、感受黃金分割數(shù)的魅力”，通過創(chuàng)設(shè)恰切的學(xué)習(xí)情境激發(fā)學(xué)生的探究欲，引導(dǎo)學(xué)生在主動探究、合作交流的過程中感受探究的樂趣、感受數(shù)學(xué)的理性之美；通過將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合，幫助學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)黃金分割數(shù)、感受黃金分割數(shù)的魅力，從而獲得探究成功的體驗、提升數(shù)學(xué)審美修養(yǎng)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)信心以及勇于探索的科學(xué)精神。難點在于：如何讓學(xué)生在生活化的真實問題情境中發(fā)展“視覺美感”，從而深入理解“視覺美感”與黃金分割數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。

《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》指出：“有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個主動的過程，認(rèn)真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！睘榱吮阌趯W(xué)生達(dá)成本課學(xué)習(xí)目標(biāo)，筆者決定以問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決為主線，通過創(chuàng)設(shè)恰切的學(xué)習(xí)情境，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”巧設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生以自主探索和合作交流相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，積極主動地參與到課堂活動中來。需要說明的是，教師應(yīng)給學(xué)生搭建適當(dāng)?shù)膯栴}支架，給學(xué)生留足思考的時間，支持學(xué)生順利完成對本課學(xué)習(xí)內(nèi)容的自我建構(gòu)，從中培養(yǎng)“三會”“四基”“四能”。

二、融入視覺美感的生活化真實情境創(chuàng)設(shè)

基于對“視覺美感”的獨特感悟，為了培養(yǎng)學(xué)生從現(xiàn)實生活情境中發(fā)現(xiàn)黃金分割數(shù)、感受黃金分割數(shù)之美的能力，筆者在進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)時經(jīng)歷了一波三折的“試錯”過程。

首先是“靈感迸發(fā)”，創(chuàng)意聯(lián)想。結(jié)合學(xué)生喜愛動漫的特點，筆者設(shè)計了兩個情境創(chuàng)設(shè)方案。第一個方案是創(chuàng)設(shè)一個卡通人物，在肚臍眼處設(shè)計一個拖動按鈕：拖動這個按鈕，便可以改變該卡通人物上身與下身的比例，從而達(dá)到銜接教學(xué)內(nèi)容的目的。后來經(jīng)仔細(xì)推敲，發(fā)現(xiàn)該方案與《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》提出的“注重創(chuàng)設(shè)真實情境”的指導(dǎo)思想相背離。于是，筆者設(shè)計了第二個方案：將卡通人物換成建筑物，如東方明珠塔或者埃菲爾鐵塔，在塔腰處設(shè)計拖動按鈕，通過拖動按鈕改變塔身比例。結(jié)果是，因為這些塔的塔身過高，仍不足以通過比例變換凸顯“視覺美感”的動態(tài)生成過程。

其次是開卷閱讀，借鑒他人的成功經(jīng)驗。在查閱資料的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)了著名的費希納實驗。據(jù)傳，德國物理學(xué)家、心理學(xué)家古斯塔夫·費希納（Gustav Theodor Fechner）在1860年做了一個很簡單的實驗：在十個具有不同長寬比的矩形中，請人們選出最美的一個。結(jié)果顯示，人們心中的最美矩形乃是長寬之比為黃金分割數(shù)的矩形，即“黃金矩形”。這是一個很有意思的實驗，應(yīng)該可以吸引學(xué)生的注意力。于是，筆者走進(jìn)課堂，借用這個實驗創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從中進(jìn)行選擇，出乎意料的是，課堂上沒有生成筆者想要的結(jié)果。仔細(xì)分析個中原因，關(guān)鍵在于筆者所面對的初中生與費希納所面對的實驗對象存在相當(dāng)大的審美能力差距：初中生的審美意識以及對圖形的審美感覺還處在初期發(fā)展階段。

最后是研讀課標(biāo)，找準(zhǔn)情境創(chuàng)設(shè)的切入點?！?022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》明確指出：“真實情境創(chuàng)設(shè)可從社會生活、科學(xué)和學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗等方面入手，圍繞教學(xué)任務(wù)，選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗、符合學(xué)生年齡特點和認(rèn)知加工特點的素材?！边@一次，“學(xué)生生活經(jīng)驗”成了筆者的重點考察方向。將學(xué)生放在課程的中央，教師在課堂教學(xué)中所要創(chuàng)設(shè)的情境不僅要是真實的生活，而且是“貼近學(xué)生生活經(jīng)驗、符合學(xué)生年齡特點和認(rèn)知加工特點”的真實生活，如此才有利于觸發(fā)學(xué)生真實的“視覺美感”。如今智能手機(jī)已經(jīng)在生活中普及，用手機(jī)拍照已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ畹囊徊糠帧Ｔ跀z影這門學(xué)問中，有一個關(guān)于構(gòu)圖的技巧叫三分法，又稱九宮格法，指的是將取景框中所看到的畫面，橫豎各三等分，當(dāng)被攝對象以線條的形式出現(xiàn)時，可將其置于畫面的任意一條三分線位置。如此構(gòu)圖，能夠在視覺上帶給人愉悅和生動的感受，避免出現(xiàn)主體居中的呆板感覺。而該法則，恰恰是運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的黃金分割法則。如果將拍照構(gòu)圖任務(wù)融入情境創(chuàng)設(shè)，以此勾連黃金分割數(shù)，觸發(fā)學(xué)生的視覺美感，勢必能夠收到很好的教學(xué)效果。對學(xué)生來說，證件照司空見慣，且不易引發(fā)青春期學(xué)生的其他聯(lián)想。于是筆者創(chuàng)設(shè)了一個“拍證件照”的教學(xué)情境，設(shè)計了如圖1所示的情境任務(wù)。

有了以上切合學(xué)生生活實際的教學(xué)情境，本課教學(xué)便有了靈魂，本課系列探究活動便有了載體和依托：讓學(xué)生自主拖動“相框”進(jìn)行“拍照”，就是想讓學(xué)生在自主捕捉“視覺美感”的過程中學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，從身邊真實經(jīng)歷過的“拍證件照”的情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，激發(fā)探究興趣，為后續(xù)提出問題、分析問題和解決問題打下基礎(chǔ)，切實發(fā)展自我認(rèn)知，提高數(shù)學(xué)審美，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

三、借助數(shù)學(xué)實驗發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合

在課堂教學(xué)中，因為不存在真實的照相機(jī)，學(xué)生的探究過程必須借助現(xiàn)代信息技術(shù)，發(fā)揮信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合的優(yōu)勢。學(xué)生可以在各自的平板電腦上進(jìn)行操作，尋找最美的“拍照”構(gòu)圖。通過一定時間的自主探索和合作交流，借助信息技術(shù)的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，教師把學(xué)生共同尋找出來的最美圖片進(jìn)行了分享，如圖2所示，其中：圖2（1）、圖2（2）分別是改變相框大小前后被學(xué)生普遍認(rèn)可的最美圖片。

在該教學(xué)環(huán)節(jié)，信息技術(shù)的作用主要體現(xiàn)在以下四個方面：第一，在平板電腦上還原了拍證件照的真實情境，人人都是攝影師，想怎么拍就怎么拍，這就是數(shù)學(xué)的生活化；第二，相框的大小可以自主調(diào)節(jié)，就像是真實的拍照過程，想拍多大尺寸的照片就拍多大尺寸，從而為后續(xù)的比例探究埋下了伏筆；第三，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，過濾掉一些個案，呈現(xiàn)大家普遍認(rèn)可的最美照片，使結(jié)論更真實；第四，通過圖片呈現(xiàn)，能夠在視覺上對學(xué)生造成沖擊，讓其體驗到強(qiáng)烈的圖形感覺。而信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合，主要體現(xiàn)在以下三點，這也是本課實驗探究的關(guān)鍵：第一，照片是二維結(jié)構(gòu)，學(xué)生拖動相框的過程無非包含兩個方向，一是左右，二是上下，這里便隱含了將二維向一維分解的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域化繁為簡、降維降次的數(shù)學(xué)思想；第二，當(dāng)左右調(diào)整相框時，大家的共識非常明確，就是“居中為美”，這其實就是數(shù)學(xué)上的軸對稱知識在生活中的應(yīng)用；第三，當(dāng)上下平移相框且相框大小可調(diào)時，這里便隱含了特定的比例關(guān)系，而這個比例關(guān)系就是本課所要探究的重點知識——黃金分割數(shù)。

盡管學(xué)生經(jīng)過討論選出了最美的構(gòu)圖，但他們依然不能明白：為什么他們會不約而同地選擇這樣的構(gòu)圖，或者說大家為什么會覺得這樣的構(gòu)圖是最美的？這里面到底蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)知識呢？圍繞學(xué)生所提出的數(shù)學(xué)問題，筆者帶領(lǐng)學(xué)生展開了下面的知識探究過程。

（一）知識探究：感受和經(jīng)歷黃金分割數(shù)的形成過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》還提倡“在實際問題解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)”。顯然，讓信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合，培養(yǎng)的是學(xué)生面向未來社會發(fā)展需要的核心素養(yǎng)。為了引導(dǎo)學(xué)生自主解決自己所提出的問題，筆者組織學(xué)生實施了兩個探究實驗。

探究實驗一 左右拖動相框，尋找你心目中最美的構(gòu)圖，與同伴交流：你能發(fā)現(xiàn)什么共性？你能用數(shù)學(xué)知識解釋其中的道理嗎？

筆者設(shè)計該實驗的意圖在于：數(shù)學(xué)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。讓學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解釋實驗現(xiàn)象，旨在培養(yǎng)學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)，同時滲透學(xué)法指導(dǎo)，為下面的實驗方法遷移埋下伏筆。

在學(xué)生自主探究的過程中，筆者提示學(xué)生注意把“相框”化歸為矩形，可以把小欣的鼻梁所在直線畫出來并使該直線與“相框”的上、下邊線各相交于一個點，如圖3所示，以此實現(xiàn)將生活情境數(shù)學(xué)化的過程，也就是將現(xiàn)實情境中的照片慢慢轉(zhuǎn)為特定的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和模型觀念。

通過研究照片和由照片抽象出來的數(shù)學(xué)圖形，學(xué)生得出了下面的結(jié)論：從生活的角度看，將人物頭像擺放在正中間的位置，能夠給人以和諧、端莊的視覺美感；從數(shù)學(xué)的角度看，當(dāng)點E為線段AB的中點時，AE=BE，AE∶BE=1∶1，這實際是數(shù)學(xué)中的軸對稱圖形。綜合以上認(rèn)知，可以得出如下有關(guān)美的奧秘：居中為美，對稱為美。

但是，針對左右居中的一組照片，如圖4所示，當(dāng)從縱向來看時，卻極不容易發(fā)現(xiàn)問題。但可以達(dá)成共識的是，針對圖4中的三幅圖，學(xué)生普遍感覺到其中的圖4（2）更美一些，至于原因是什么，又普遍說不清楚，而正是這個說不清楚的問題，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探索的欲望，為學(xué)生后續(xù)的實驗探究提供了強(qiáng)勁的動力。

于是筆者提出了下面的問題：回顧實驗探究一的探究過程，請對圖4（2）展開縱向研究，想一想能夠得到什么啟發(fā)，并與同伴進(jìn)行交流。

筆者設(shè)計以上問題的意圖在于，引導(dǎo)學(xué)生沿著實驗探究一的探究思路，由橫向探究轉(zhuǎn)向縱向探究，培養(yǎng)學(xué)生的思維方法遷移能力。

從橫向來看，學(xué)生很容易找到頭像的中軸線，進(jìn)而將生活情境轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，但從縱向來看，學(xué)生卻較難找到這樣的關(guān)鍵線索，不知從何處入手。于是筆者引導(dǎo)學(xué)生注意抓住關(guān)鍵細(xì)節(jié)進(jìn)行觀察：“俗話說得好，眼睛是心靈的窗戶。所以，我們在看一個人的時候，往往會看向他（她）的眼睛，通過眼睛來感受他（她）的心靈。這就彰顯了眼睛在證件照拍攝過程中的重要性。由此你能得到什么啟發(fā)？”經(jīng)由筆者點撥，學(xué)生如同醍醐灌頂，知道了如何捕捉縱向?qū)徝赖年P(guān)鍵點：以頭像雙眼珠之間的連線為參照，提取連線的中心點，由此抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。

探究實驗二 如圖5，我們將眼睛化歸為點C，相框中軸線化歸為線段AB，上下拖動相框，觀察線段BC、AC、AB，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

思考一：上下拖動相框時，哪條線段的大小改變了，如何改變？

思考二：線段比[BCAC]和[ACAB]的值隨著相框的上下移動是否改變？如何改變？

思考三：進(jìn)一步觀察相框的上下移動，思考線段比[BCAC]和[ACAB]的值的變化情況。天才的你發(fā)現(xiàn)了什么？

思考四：改變相框的大小，你的發(fā)現(xiàn)還成立嗎？

探究實驗二的設(shè)計意圖如下：基于信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，借助信息技術(shù)的支持，學(xué)生自主操作相框上下平移，圖示中可直觀呈現(xiàn)人像的變化及圖形中線段長短及其比值關(guān)系的變化：將人物頭像在相框中的位置數(shù)字化，完美體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生一邊拖動相框，一邊觀察測量數(shù)據(jù)的實時變化，使人像對人的視覺產(chǎn)生了強(qiáng)烈的視覺沖擊力，也因此很容易引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。當(dāng)照片停留到最美位置時，無論相框是大還是小，學(xué)生們都能看到相等的比值，也因此直觀感受到了“最美”與比例相等之間的聯(lián)系。

接下來，教師用課件動態(tài)演示的方式，將線段AB從頭像中剝離出來，再旋轉(zhuǎn)擺平，完成了從生活情境到數(shù)學(xué)抽象的完整過程，最終生成了以下黃金分割的概念：如圖6，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果[ACAB]=[BCAC]，那么稱線段AB被點C黃金分割（goldensection），點C叫作線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫作黃金比。

學(xué)生由此可以從數(shù)學(xué)的角度分析和表達(dá)照片美的第二個奧秘：和諧為美，“黃金分割”為美。也就是說，從縱向來看，形成視覺美感的根源在于黃金比。借助信息技術(shù)的實驗測量數(shù)據(jù)，學(xué)生看到的比值是0.62。但是，實驗測量中難免出現(xiàn)或多或少的實驗誤差，能否通過數(shù)學(xué)計算相對精確地算出這個比值呢？

為了探求黃金分割的精確比值，筆者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用本章所學(xué)的方程知識進(jìn)行探究：設(shè)線段AB的長為單位1，AC的長為x，則BC的長為1-x。根據(jù)黃金分割的定義，可得[1-xx]=[x1]。根據(jù)比例性質(zhì)，得x2=1-x，即x2+x-1=0。解這個一元二次方程，得x=[-1±52]，舍去負(fù)值，可得x=[5-12]≈0.618。至此可得出本課核心知識即黃金分割數(shù)為0.618。

在探求新知——黃金分割數(shù)的精確比值的過程中，學(xué)生再次體會到方程的工具性及其應(yīng)用價值，“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)得到了有效培養(yǎng)。

（二）知識拓展與應(yīng)用：在知識應(yīng)用中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

在求出黃金分割數(shù)以后，筆者給學(xué)生安排了相關(guān)的知識拓展活動：請同學(xué)們利用手中的平板電腦，借助網(wǎng)絡(luò)，搜索關(guān)于黃金分割、黃金比、黃金分割數(shù)的相關(guān)知識，并與同伴交流。設(shè)計該探究活動，旨在引導(dǎo)學(xué)生加深對黃金分割數(shù)的認(rèn)識，拓寬學(xué)生的相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生的信息素養(yǎng)。在學(xué)生進(jìn)行知識分享的時候，筆者重點引導(dǎo)學(xué)生圍繞建筑、美術(shù)、攝影等內(nèi)容進(jìn)行知識分享。最后，筆者講述了數(shù)學(xué)家華羅庚及0.618法的故事，將數(shù)學(xué)教育與美育、德育相結(jié)合，鼓勵學(xué)生以華羅庚為榜樣投身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，為實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興而努力。

為了加深學(xué)生對黃金分割數(shù)的認(rèn)識，筆者為學(xué)生安排了下面的探究活動：利用平板電腦，打開幾何畫板軟件，從圖庫里調(diào)出一個正五角星和我們的國旗，尋找其中的黃金分割數(shù)，再次讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

之后是安排如圖7所示的隨堂作業(yè)，一道必做題、一道選做題，體現(xiàn)黃金分割數(shù)在生活中的應(yīng)用，一方面幫助學(xué)生鞏固知識，另一方面反饋教學(xué)效果。在第1題中，筆者安排了大量的文字閱讀材料，用以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀與理解能力，然后出示了一道在生活中極為現(xiàn)實的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過解決實際問題提高運(yùn)算能力和問題解決能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識。第2題旨在進(jìn)一步拓寬學(xué)生的視野，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

最后是小結(jié)歸納，拓展深化。小結(jié)歸納不應(yīng)是知識的簡單羅列，而應(yīng)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化、知識體系的完善，通常要求圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計，強(qiáng)化教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，明確學(xué)生應(yīng)該掌握的核心知識。在本課中，筆者重點引導(dǎo)學(xué)生反思以下內(nèi)容：（1）通過本課學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些知識？掌握了哪些技能？體會到什么數(shù)學(xué)思想？有什么體驗？（2）本課是怎樣從生活情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的？你有什么感受？（3）你掌握了哪些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法？感受到數(shù)學(xué)哪方面的魅力？

總之，本課教學(xué)在信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合方面做出了積極、有效的探索，在教學(xué)方面達(dá)到了能傳統(tǒng)教材之所不能、在難點突破上達(dá)到了破常規(guī)教學(xué)之所不能破的整體效果。情境創(chuàng)設(shè)通過將課本中的“視覺美感”具體化、形象化，引導(dǎo)學(xué)生基于數(shù)學(xué)探究活動的需要，自覺融合信息技術(shù)的應(yīng)用，展開獨立思考、自主探索、合作交流，不斷加深對“視覺美感”的感悟；通過設(shè)計環(huán)環(huán)相扣的教學(xué)環(huán)節(jié)、層層深入的探究活動、靈活有效的師生互動，充分彰顯了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，有效達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，使不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上均得到了發(fā)展。

《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》提倡學(xué)生“對數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價值，欣賞數(shù)學(xué)美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神”。黃金分割被威尼斯數(shù)學(xué)家帕喬里（Pacioli）譽(yù)為“神賜的比例”，黃金分割數(shù)與“美”存在天然的聯(lián)系，在生活中有著廣泛的應(yīng)用。受限于課程標(biāo)準(zhǔn)對本學(xué)段該知識點的學(xué)習(xí)要求及課堂教學(xué)有限的時間，本課所選擇的研究內(nèi)容依然有限，但也為學(xué)生課后探究留出了空間，感興趣的學(xué)生可在課后結(jié)合個人的研究興趣，對該知識進(jìn)行選擇性拓展，達(dá)成“不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展”的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

注：本文系廣西教育科學(xué)規(guī)劃2021年度自籌經(jīng)費一般課題（Ｃ類）“教育信息化背景下雙向視頻互動教室促進(jìn)城鄉(xiāng)優(yōu)質(zhì)教育資源共享的實踐研究”（2021C502）的階段研究成果。

作者簡介：蒙裕勁（1971— ），廣西靈山人，本科，中小學(xué)正高級教師，主要研究方向為初中數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 白聰敏）