問題導(dǎo)學(xué)：從探索規(guī)律走向模型建構(gòu)
——《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)設(shè)計與思考（二）

文|王守建

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級下冊第96、97 頁。

【教學(xué)過程】

一、基于學(xué)情，梳理問題

出示課題：多邊形的內(nèi)角和

師：同學(xué)們，看到課題，你有什么疑問？

生：什么是多邊形的內(nèi)角和？

生：怎么計算多邊形的內(nèi)角和？

生：多邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和有關(guān)系嗎？

生：怎樣探究多邊形的內(nèi)角和？

……

【設(shè)計意圖：“疑”是對知識的主動思考，是思維的助推器，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力?！皢枴笔菍栴}的主動描述，是探究的開始，是學(xué)習(xí)的重要目標。讓學(xué)生看課題提出問題，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，另一方面，學(xué)生帶著問題進入后面的探究活動，能讓探究活動有方向、有深度、有趣味?！?/p>

二、喚醒經(jīng)驗，找到起點

師：（出示一組多邊形）這些圖形分別是什么圖形？

生：三角形、四邊形……

師：像這樣，由三條及以上線段首尾相接圍成的圖形是多邊形。誰能指一指多邊形的內(nèi)角？

師：我們已經(jīng)探究了三角形的內(nèi)角和是180°，請大家猜一猜，四邊形、五邊形……的內(nèi)角和分別是多少？它們又與什么有關(guān)系？

生：長方形和正方形的內(nèi)角和是360°，我猜四邊形的內(nèi)角和是360°。

生：五邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和大，我猜五邊形的內(nèi)角和是480°

生：我猜多邊形內(nèi)角和的大小與邊數(shù)有關(guān)系，多邊形的邊數(shù)越多，它的內(nèi)角和就越大。

【設(shè)計意圖：學(xué)生認識了部分多邊形，知道長方形、正方形的四個角都是直角，知道了三角形的內(nèi)角和是180°，這些都是學(xué)生的已有經(jīng)驗，有必要進行喚醒，讓其真正成為學(xué)習(xí)的起點，之后的自主探究活動也會更加順利且有效?！?/p>

三、問研相融，探究規(guī)律

1.始于簡，單項探究

（1）自主探究

師：是不是我們猜的這樣呢？你打算用什么方法驗證？

生：用量角器量每一個角的度數(shù)，然后加起來。（板書：量）

生：把多邊形的所有內(nèi)角都剪下來，然后拼到一起。（板書：拼）

師：量和拼是我們探究三角形內(nèi)角和時用到的方法，能不能精確算出其他多邊形的內(nèi)角和呢？

生：我認為用量角器測量的結(jié)果會有誤差，多邊形的角越多誤差也會越大，測量比較麻煩。

生：我有一個問題，把所有內(nèi)角剪下來拼到一起，如果大于360°怎么辦？

生：三角形是邊數(shù)最少的多邊形，我們已經(jīng)用量和拼的方法探究出三角形的內(nèi)角和是180°，探究其他多邊形的內(nèi)角和，完全可以利用三角形的內(nèi)角和來計算。

師：大家說得都很好，我們要學(xué)會用已知去探究未知。今天打算從哪一個多邊形開始探究？

生：四邊形，因為四邊形只比三角形多一條邊，相對簡單。

師：是的，研究問題一般先從簡單的開始，有序探究，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律再解決復(fù)雜的問題。請拿出《研究單（一）》，開始探究之旅。

【設(shè)計意圖：“疑是思之始，學(xué)之端”。數(shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)習(xí)中需要有質(zhì)疑的聲音，需要有思辨的發(fā)生。“能不能精確算出其他多邊形的內(nèi)角和呢？”營造質(zhì)疑的時空，積極組織引導(dǎo)，讓學(xué)生敢質(zhì)疑、能質(zhì)疑、善質(zhì)疑。質(zhì)疑聲產(chǎn)生了有效共鳴，學(xué)生由此想到利用三角形的內(nèi)角和探究其他多邊形內(nèi)角和的方法?！堆芯繂巍穾椭鷮W(xué)生開展探究活動，通過“想一想、分一分、說一說、算一算”的引導(dǎo)，使研究思路清晰，探究任務(wù)明確?！?/p>

（2）交流分享

生1：（如圖1）A 點和C 點相連，正好把四邊形分成兩個三角形，兩個三角形的內(nèi)角和就是四邊形的內(nèi)角和。列式計算“180°×2=360°”。

圖1

生：B 點和D 點相連也可以。

生2：（如圖2）像這樣可以把四邊形分成三個三角形，列式“180°×3”，其中三個角不是原四邊形的內(nèi)角，它們的和是一個平角，所以“-180°”，最后結(jié)果是360°。

圖2

生3：（如圖3）在四邊形內(nèi)任意點一個點，四邊形的四個頂點A、B、C、D 都和這個點相連，分成了四個三角形，這樣就多出了一個周角，所以要減去360°。列式計算“180°×4-360°=360°”。

圖3

師：觀察比較這幾種方法之間有什么相同和不同之處？

生：都是把四邊形分成三角形，但分的三角形的個數(shù)不同。

生：第一種方法更簡潔，后兩種方法的計算，如果運用乘法分配律，其實都可以得到第一種方法的計算。

師：你的觀察很細致，思考很深入，我們一起算算看。

【設(shè)計意圖：把四邊形分成幾個三角形的方法一定不止一種，不論出現(xiàn)多少種情況，都要給學(xué)生交流分享的機會。引導(dǎo)學(xué)生圍繞“這幾種方法之間有什么相同和不同之處”進行觀察、比較，不僅找到不同之處，還找到內(nèi)在的聯(lián)系，讓思維向更深處發(fā)展?！耙黄鹚闼憧础?，原來結(jié)果都是“180°×2”，對“有必要分成三個、四個三角形嗎？”的思考水到渠成?！?/p>

2.趨于繁，整體探究

（1）自主探究

師：研究了四邊形的內(nèi)角和，能不能用這種方法接著研究呢？請大家拿出《研究單（二）》。

研究單（二）

研究內(nèi)容：多邊形內(nèi)角和及其與邊數(shù)的關(guān)系。

研究方法：分一分，算一算，想一想，說一說。

研究過程：

名稱圖形邊數(shù)三角形個數(shù) 內(nèi)角和三角形AA四邊形BC A B C D A五邊形B E CD A F六邊形B E C D七邊形八邊形……………………n 邊形

研究發(fā)現(xiàn)：_______________________________________

研究結(jié)果：多邊形的內(nèi)角和=________________________

【設(shè)計意圖：有了探究四邊形內(nèi)角和的經(jīng)驗，這里放手讓學(xué)生自己探究五邊形、六邊形等的內(nèi)角和?！堆芯繂巍分?，三角形、四邊形、五邊形、六邊形都提供了圖形，直觀、具體，有利于學(xué)生的操作探究，能使學(xué)生充分感知多邊形內(nèi)角和的探究方法和探究思路。七邊形、八邊形、n 邊形沒有提供圖形，內(nèi)角和會是多少呢？既留給學(xué)生想象和個性化操作的空間，也倒逼學(xué)生因為需要而帶著問題去尋找并發(fā)現(xiàn)規(guī)律?！?/p>

（2）交流分享

名稱圖形邊數(shù) 三角形個數(shù)內(nèi)角和AA三角形31180°BC A B C四邊形42180°×2=360°D A B E 五邊形53180°×3=540°CD A F六邊形64180°×4=720°B E C D七邊形75180°×5=900°八邊形86180°×6=1080°……………………n 邊形nn-2180°×（n-2）

生：（如上表）我在分三角形的時候都是從A 點開始，向與它不相鄰的頂點連線。通過研究，我發(fā)現(xiàn)多邊形的邊數(shù)越多，分成的三角形的個數(shù)也越多，內(nèi)角和越大，多邊形的內(nèi)角和等于180°乘多邊形的邊數(shù)與2 的差，如果是n邊形，可以分成“n-2”個三角形，內(nèi)角和是“180°×（n-2）”。

生：我也把六邊形分成了四個三角形，分的方法略有不同。（如圖4）

圖4

生：我更喜歡第一種方法，從多邊形的一個頂點出發(fā)，向與它不相鄰的頂點連線，這樣更有序。

師：這樣有序有什么好處嗎？

生：分出的三角形更好數(shù)。

生：不會多連，也不會少連。

生：我還發(fā)現(xiàn)了多邊形每增加一條邊，內(nèi)角和就增加180°。

生：我發(fā)現(xiàn)豎著看，多邊形的邊數(shù)越多，內(nèi)角和就越大；橫著看，分成三角形的個數(shù)總是比多邊形的邊數(shù)少2。

師：你不僅善于發(fā)現(xiàn)，還善于總結(jié)。分成三角形的個數(shù)為什么總比多邊形的邊數(shù)少2 呢？

生：請大家看這些多邊形，我們在分三角形的時候，從一個頂點出發(fā)，除了不與和它相鄰的兩個頂點相連，與其他每一個頂點都相連，所以分成三角形的個數(shù)總是比多邊形的邊數(shù)少2。

生：分成的三角形中，有兩個三角形中的兩條邊是多邊形的邊，其余的三角形只有一條邊是多邊形的邊，所以分成的三角形的個數(shù)總是比多邊形的個數(shù)少2。

【設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)的交流分享，著力點放在引導(dǎo)學(xué)生通過對有序排列的數(shù)據(jù)進行觀察和比較，逐步抽象概括出多邊形的內(nèi)角和的一般計算方法，幫助學(xué)生進一步體會探究的意義和推理的價值。知其然，亦要知其所以然，“分成三角形的個數(shù)為什么總比多邊形的邊數(shù)少2？”引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，找到知識的本質(zhì)?！?/p>

四、回顧反思，延伸探究

師：回顧剛剛的探究過程，你有什么收獲或體會？

生：探究數(shù)學(xué)問題時，可以利用已學(xué)的知識把未知轉(zhuǎn)化成已知。

生：探究問題要從簡單的問題入手。要有序，還要多思考，注意發(fā)現(xiàn)并探究規(guī)律。

師：同學(xué)們不僅善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，還能主動探究、深入思考，解決了問題，真了不起！那有沒有新的問題要提出來呢？

生：能不能把多邊形分成四邊形來研究呢？

生：多邊形有內(nèi)角，有沒有外角？如果有，它的外角和又是多少？

師：歡迎你們課后繼續(xù)研究。

【設(shè)計意圖：學(xué)生在探究活動中，既有收獲，也有體會，通過回顧反思，再次給學(xué)生交流分享的機會。在回顧反思中，學(xué)會概括，學(xué)會表達。在問題引領(lǐng)下，學(xué)生解決了所提出的問題，在主題探究中，學(xué)生有可能發(fā)現(xiàn)或想到新的問題，給學(xué)生再次提出數(shù)學(xué)問題的機會，引導(dǎo)學(xué)生把課堂探究延伸到課外，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。】

【課后思考】

一、在問題中探究

有意義的問題，是學(xué)生獲得知識、探索規(guī)律的前提，也是學(xué)生解決問題、發(fā)展能力、提升素養(yǎng)的根本。課中，有教師提出的問題，也有學(xué)生自己的提問。教師不僅要善于向?qū)W生提問題，還要善于引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題。將學(xué)習(xí)置于有意義的問題情境中，以學(xué)生為主體，積極組織學(xué)生以問題引領(lǐng)探究，問研相融，讓探究更深入。

二、在探究中明理

數(shù)學(xué)是一門講道理的學(xué)科，數(shù)學(xué)代表理性。在探究活動中，不僅要讓學(xué)生知其然，還要使學(xué)生知其所以然。教學(xué)中，給學(xué)生充分探索、思考和交流的時間，讓他們經(jīng)歷一個由模糊到清晰、由膚淺到深刻、由零散到系統(tǒng)的探究和發(fā)現(xiàn)過程。學(xué)生通過計算填表、觀察、比較、分析、綜合，歸納出多邊形內(nèi)角和的計算方法，學(xué)生通過呈現(xiàn)、介紹自己的《研究單》和探究思路，使隱含的道理明朗化?！岸噙呅蔚膬?nèi)角和等于180°乘多邊形的邊數(shù)與2 的差，如果是n邊形，可以分成n-2 個三角形，內(nèi)角和是180°×（n-2）”，此時，沒有讓學(xué)生僅僅滿足于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的驚艷?！胺殖扇切蔚膫€數(shù)為什么總比多邊形的邊數(shù)少2 呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考規(guī)律背后的原理，把握知識的本質(zhì)，弄清知識的源與流。