促進小學生“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的教學策略研究

文|楊杰軍

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）將課程總目標確定為“學生逐步會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）”。[1]與“三會”相關的完整表述中，都一致突出了“現(xiàn)實世界”的字眼，所以將“三會”簡化為數(shù)學的眼光、數(shù)學的思維和數(shù)學的語言顯然不夠準確，沒有突出數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。與“數(shù)學眼光”的練就和“數(shù)學語言”的精通相比，對“數(shù)學思維”的鍛煉早已遍地開花，但是學習者僅具備“數(shù)學思維”并不意味著數(shù)學學習活動就可以止步不前了，只能算勉強達成了一半的目標，新時代數(shù)學教學的終極目標應該是促進學習者“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”。

一、“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的內(nèi)涵與特征

（一）“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的內(nèi)涵

1.建立數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系

數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，知道數(shù)學與現(xiàn)實世界的“聯(lián)系”，應作為排在第一位或最重要的數(shù)學素養(yǎng)。[2]這與2022年版課標反復在“三會”中強調(diào)“現(xiàn)實世界”具有異曲同工之妙。建立數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系指的是體驗并感悟數(shù)學概念的產(chǎn)生與發(fā)展過程，通過探究活動敏銳地察覺自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境背后所蘊含的客觀數(shù)學規(guī)律，將數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的完整過程親身經(jīng)歷一遍。此過程的關鍵是對現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系與空間形式進行“數(shù)學化”，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)”“思考”“再發(fā)現(xiàn)”的探究過程。

2.感悟數(shù)學內(nèi)部的邏輯體系

在建立數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系的基礎上，能夠提出有意義的數(shù)學問題，得到數(shù)學的研究對象及其屬性，進而逐步抽象出數(shù)學的基本概念，如出于計數(shù)和測量的需要，概括總結出整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的意義與性質(zhì)。從紛繁復雜的現(xiàn)實世界中凝練出學科獨有的概念后，數(shù)學就會相對獨立地由內(nèi)部關鍵問題的驅(qū)動展開一段較長時間的抽象與推理，形成獨立的知識體系。為了感悟數(shù)學內(nèi)部整體的邏輯體系，需要理解數(shù)學基本概念之間是如何聯(lián)系起來的，富有邏輯性地解釋或證明數(shù)學的基本方法與結論，分析、解決簡單的典型數(shù)學問題。如感悟整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)在概念本質(zhì)上的一致性以及它們在進行加法、減法、乘法和除法運算過程中的一致性。

3.運用數(shù)學模型解決實際問題

數(shù)學獨特的思維方式與應用途徑通過“問題解決”的過程得以呈現(xiàn)，在真實情境中“用數(shù)學”能夠有效反映數(shù)學思維的合理性、靈活性與創(chuàng)新性。因此，不僅需要理解數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，構建數(shù)學內(nèi)部的邏輯體系，提升抽象、推理和建模等思維能力，還要能夠積極運用數(shù)學模型分析、解決現(xiàn)實世界中的實際問題，做到學以致用。在解決實際問題的過程中，促進對數(shù)學與現(xiàn)實世界如何聯(lián)系的深入思考，增強應用意識。

基于以上分析，可以將“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”界定為個體在數(shù)學學習實踐活動中能夠發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系、感悟數(shù)學內(nèi)部邏輯體系的構成、運用數(shù)學模型分析并解決實際問題以發(fā)揮數(shù)學的應用價值，同時形成勇于質(zhì)疑發(fā)問的批判精神，養(yǎng)成重視論據(jù)、條理清晰的思維品質(zhì)和求真求實的科學態(tài)度的素養(yǎng)表現(xiàn)。

（二）“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的特征

1.善于從現(xiàn)實世界中抽象概括

數(shù)學抽象是針對現(xiàn)實世界具有數(shù)量關系和空間形式的客觀材料進行特殊處理、歸納出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學語言表述進而形成數(shù)學理論的過程。抽象思維在數(shù)學中無處不在，所有數(shù)學概念、公式、規(guī)律等的形成與推導，都要用到抽象概括，推理和模型建構都離不開抽象。[3]善于從現(xiàn)實世界中抽象概括意味著能夠看透事物的本質(zhì)，把繁雜的問題條理化、簡約化，能夠忽略具體的背景和實際內(nèi)容，利用概念、符號、圖形和關系去描述包括已經(jīng)簡潔化了的事物在內(nèi)的某一類事物。

2.強于在數(shù)學體系中展開推理

推理是數(shù)學思維活動中最能反映數(shù)學獨特思維價值的部分，包括合情推理、演繹推理和統(tǒng)計推理。推理在現(xiàn)實世界中應用廣泛，與每個人的生活息息相關。強于在數(shù)學體系中展開推理說明不僅能夠通過觀察、比較、實驗發(fā)現(xiàn)新問題，提出新猜想，歸納新結論，通過法則運用，對問題解決的過程作出合理解釋，還能通過數(shù)據(jù)分析對未知事件發(fā)生的可能性作出預測。

3.樂于在現(xiàn)實問題中建立模型

模型是建立數(shù)學與外部世界聯(lián)系的“橋梁”，數(shù)學模型是運用數(shù)學解決現(xiàn)實問題的一大利器，是對現(xiàn)實世界的各類信息進行適當?shù)睾Y選和簡化，通過縝密地推理和精確地運算，對相關的有效數(shù)據(jù)進行整理、分析、預測、決策和控制，經(jīng)過真實問題的檢驗后，可以用于指導實踐的工具。樂于在現(xiàn)實問題中建立模型意味著能夠認識到現(xiàn)實生活中存在的大量問題都與數(shù)學緊密相聯(lián)，知道數(shù)學模型可以用來解決一類問題，有意識地用數(shù)學的概念與方法構建模型以解決現(xiàn)實問題。

二、小學生“用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”存在的問題及原因分析

（一）小學生“用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”存在的問題

“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”不僅強調(diào)學習者需要具備數(shù)學思維，還突出了學習者必須能夠運用數(shù)學思維解決現(xiàn)實世界中的真問題，而這離不開數(shù)學教學的引導與強化，少不了學生相應數(shù)學活動經(jīng)驗的積累。在當下的一線小學數(shù)學教學中，對“數(shù)學思維”的重視已經(jīng)如日中天，各類新編試題層出不窮，學生的解題能力越來越強，但并不代表學生都具備“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的素養(yǎng)，因為“用數(shù)學”需要在真實的應用場景展開，現(xiàn)行的紙筆測試不足以反映學生是否“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”。在小學階段，學生“用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”存在的問題主要體現(xiàn)在以下三個方面：

1.難以從現(xiàn)實世界中進行抽象概括

以具體形象思維為主是小學生思維的基本特點，這與數(shù)學學科高度的抽象性存在一定矛盾，導致學生很難從現(xiàn)實世界中進行抽象概括。比如對分數(shù)概念的總結與理解，學生在確定單位“1”時也常常會出錯，即使理解了一個計量單位、一個物體或多個物體組成的整體都可以看作單位“1”，但是在確定“一節(jié)課的時間是小時”中的單位“1”，以及解決“工程問題”中需要把工作總量看作單位“1”時，不少學生還是認為比較困難，對于“工作效率”概念的理解更是難上加難。

2.不擅長在知識體系中進行邏輯推理

數(shù)學知識體系不是一個個獨立、零散的點，而是呈現(xiàn)出相互聯(lián)結的網(wǎng)狀結構，但是學生在數(shù)學學習中通常是以知識點為單位逐步積累，想要構建清晰、聯(lián)系緊密、邏輯嚴謹?shù)闹R體系，需要依靠強大的推理思維。例如，學習平面圖形的面積時，在歸納出長方形的面積計算公式后，利用轉(zhuǎn)化的思想探索平行四邊形的面積計算公式，接著通過類比，繼續(xù)運用轉(zhuǎn)化的策略推導三角形、梯形、圓的面積計算公式。對不少學生而言，要找出這五種平面圖形的面積公式之間的聯(lián)系并非易事，說明其不擅長運用數(shù)學思維在知識體系中進行邏輯推理。

3.很少在現(xiàn)實問題中建立模型

在現(xiàn)實問題中建立模型要求將一個問題的解決拓展為一類問題的解決，這需要不斷地將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再將通過觀察、對比、猜想、驗證得到的數(shù)學模型放到更多真實情境下的復雜問題之中去加以修正和完善。學生很少有機會針對實際問題開展一系列真實、完整的建?；顒樱y以體會建模的再創(chuàng)造性和實用性。例如，對于“火車過橋”這一經(jīng)典問題，小學生能夠套用公式解決給出火車長度、火車速度和橋的長度信息，求解過橋時間的問題，但是如果變換了情境，要求閱兵時方隊通過檢閱區(qū)所需的時間，學生就可能連問題都讀不懂，更難以將方隊長度、方隊速度和檢閱區(qū)的長度信息與公式中的字母相對應。

（二）小學生不“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的原因分析

1.教學材料固化落后

踐行新課程理念的教師在處理教學內(nèi)容時，拘泥于教材、不敢突破教材的現(xiàn)象仍然較為普遍，而教材中的內(nèi)容又難免存在局限性，無法反映現(xiàn)實生活的全貌，致使教學材料固化落后，不利于學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)并從現(xiàn)實世界中進行抽象概括。例如，學生在理解分數(shù)的意義時，需要抽象概括出平均分的對象、平均分的份數(shù)以及表示的份數(shù)這三個方面，進而建立單位“1”與分數(shù)單位的聯(lián)系。教材例題中呈現(xiàn)的材料往往是看得到的、學生能夠拿在手里進行平均分操作的具體物品，缺乏像“時間單位”“工作總量”等看不見、摸不著卻又圍繞在學生身邊的事物。如果學生只能在動手操作的過程中解釋清楚什么是分數(shù)，抽象思維的發(fā)展就會受到很大的限制，他們建立起來的數(shù)學與現(xiàn)實世界間的聯(lián)系只能算是弱聯(lián)系，難以成為可以用于思考現(xiàn)實世界的強聯(lián)系。

2.教學方法固定單一

講授法和問答法是小學數(shù)學課堂中常見的教學方法。不少教師對“自主探究、動手實驗、合作交流”這類耗時費力的學習方式較為反感，甚至連多媒體的使用也是能省則省。學生在課上難以獲得生動形象的直觀體驗，對邏輯嚴密的數(shù)學知識體系望而生畏，難以通過發(fā)展自身的推理能力感悟數(shù)學知識體系的邏輯結構，所掌握的數(shù)學知識往往零散無序，遇到綜合情境不懂得靈活運用數(shù)學思維進行分析。例如，在教學“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”這一課時，由于學生轉(zhuǎn)化的方法各不相同，讓學生動手剪拼再展示交流比較耗時，課前還需要準備很多材料，而要制作能呈現(xiàn)學生不同轉(zhuǎn)化方法的動畫也比較復雜，因而不少教師只讓學生在書上涂畫，再說一說轉(zhuǎn)化的方法。沒有動手操作、觀察比較和互動評價，學生對轉(zhuǎn)化策略的體驗就變得浮淺。

3.實踐活動機會有限

數(shù)學源于日常的實踐活動，但一線數(shù)學教學卻受到時間和空間的雙重限制，缺少將數(shù)學思維運用到解決實踐問題的機會。例如，當遇到“比快慢”的問題時，學生的第一想法往往是直接用路程除以時間的公式計算速度，但是大多數(shù)學生對“速度”的現(xiàn)實意義通常一知半解。缺少對現(xiàn)實世界中各種速度的體驗活動，即便學生能將計算速度的公式背誦下來，面對各種相對復雜的相遇、追及情境等與速度相關的問題時仍會感覺束手無策。一方面是由于學生對速度概念的理解不夠深入，缺少對路程、時間、速度模型的具體應用，另一方面是因為沒能通過實踐活動建立與相遇問題、追及問題相對應的模型。

4.學習評價傾向紙筆

評價方式是小學一線數(shù)學教學改革的指揮棒，用什么樣的方式評價在很大程度上決定了用什么樣的方式教學。紙筆測試對當下的小學生來說仍然比較普遍，導致學生更傾向于用“刷題”的方式提升數(shù)學成績。大多數(shù)題目雖然對學生的數(shù)學思維有所考查，但是和現(xiàn)實世界的聯(lián)系不夠緊密，因為考題中的問題情境都是經(jīng)過處理的，對現(xiàn)實生活中的無關信息進行了刪減，大多是針對特定數(shù)學知識條目理解程度的考查，對于評判學生是否“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的素養(yǎng)的信效度不高。

三、促進小學生“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的教學策略

（一）充實豐富教學材料，助力學生從現(xiàn)實世界中抽象概括

想要促進學生從現(xiàn)實世界中抽象概括出研究的對象，以數(shù)學的基本概念為例，需要了解概念學習的心理過程。APOS 理論指出，學習者在學習數(shù)學概念時會主動地進行心理建構，這個建構過程包含活動階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）、圖式階段（Schema）四個階段。在活動階段，學習者通過外顯性的活動（觀察、操作等）將數(shù)學對象的直觀背景納入已有的知識結構中。然后是過程階段，當多次進行操作活動后，學習者能通過反思將之前的活動內(nèi)化為一種程序，并在大腦中實施程序。接著是對象階段，通過上一階段對活動的反思，學習者對概念有了一定的認識，能夠經(jīng)過同化或順應進一步抽象出概念的本質(zhì)，能用語言或符號對數(shù)學概念進行表征。最后是圖示階段，對前面三個階段進行整合會形成新的認知圖式，新圖式能幫助學習者建立新概念與其他概念的區(qū)別與聯(lián)系。[4]

根據(jù)APOS 理論可知，豐富的直觀操作經(jīng)驗是學生進行抽象概括的基礎，也是學生形成抽象思維的一種手段，反復多次的操作活動最終是為了脫離具體操作，使得學生逐漸發(fā)展出一定的抽象能力。因而教師在教學活動中不僅需要讓學生盡可能多地接觸與所學概念相關的具體事物，引導學生動手動腦，對具體事物反復多次操作，思考各個活動中的共性，獲得對概念的直觀體驗，還要幫助學生積累無法動手操作的、只能在大腦中實施與概念相關程序的活動經(jīng)驗，促使學生達到“過程階段”。這就需要教師在用教材教的基礎上，充實豐富教學材料。以分數(shù)的概念教學為例，教師不僅需要讓學生對一塊蛋糕、一條線段、一堆圓片進行平均分，還要讓學生嘗試在頭腦中想象如何對一個小時或一個文件所占的內(nèi)存空間進行平均分，這樣有利于學生建立數(shù)學與現(xiàn)實世界的強聯(lián)系，從復雜的現(xiàn)實世界中準確抽象出分數(shù)的概念。

（二）優(yōu)化更新教學方法，助力學生在知識體系中展開推理

在將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題之后，需要在數(shù)學內(nèi)部展開研究，豐富實用的數(shù)學知識由此產(chǎn)生。數(shù)學知識形成的龐大體系具有很強的邏輯性，許多基本概念、公式、思想方法之間相互聯(lián)系，想要理解這些聯(lián)系的本質(zhì)，必須依賴于高水平的推理思維。將數(shù)學知識學懂學透、提高邏輯思維水平是應用數(shù)學知識解決現(xiàn)實問題的基礎。數(shù)學教學決不應一味地強調(diào)動手，而應更加重視動腦。[5]2022年版課標在課程理念部分，積極倡導“創(chuàng)設情境”“自主探究”“合作交流”“動手實踐”等能夠引發(fā)學生主動思考的教學方法，并強調(diào)要將信息技術融入數(shù)學教學之中。一線數(shù)學教師應不斷優(yōu)化更新教學方法，多角度、多途徑地幫助學生建立數(shù)學知識間的聯(lián)系，促進學生在構建知識體系的過程中展開推理，增強邏輯思維。

例如，在學習長方形的面積計算公式之后，對于其他常見的平面圖形，包括平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式的探索，教師需要為學生預留足夠的同伴探究時間與空間，幫助學生積累通過剪拼進行轉(zhuǎn)化的操作活動經(jīng)驗，同時也需要采用演示法，利用幻燈片中插入動畫的功能生動直觀地呈現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體過程，引導學生領悟轉(zhuǎn)化過程中的“變與不變”，在一次次的動手操作、動腦思索的過程中，學生對于面積公式的探索過程以及各個公式間的聯(lián)系將會有更加深刻的體驗與理解，有助于學生更好地建立圖形與幾何領域中面積公式的知識體系。

（三）設計開展實踐活動，助力學生在現(xiàn)實問題中建立模型

現(xiàn)實生活中的問題常常不像教科書上的例題或習題一樣簡單，學生面對新的現(xiàn)實情境無法靈活運用數(shù)學思維解決問題是數(shù)學教育長期被批判的痛點。想要增強學生在現(xiàn)實問題中建立模型、有效解決實際問題的能力，需要教師不斷設計開展綜合實踐活動，引導學生展開真實的、完整的、有意義的學習，為學生提供運用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界的機會，那么學生就不會認為數(shù)學只是一堆寫在書上的概念和公式，也不會再對“學了數(shù)學有什么用？”感到困惑。

例如，在學習《圓的周長》一課后，教師可以讓學生在學校運動會中幫助裁判確定不同跑道的起跑線，引導學生經(jīng)歷實地測量、收集數(shù)據(jù)、計算內(nèi)圈與外圈跑道的周長、整理數(shù)據(jù)、列表分析數(shù)據(jù)、確定常量與變量、發(fā)現(xiàn)規(guī)律進而簡化計算公式、驗證公式的全過程。促使學生發(fā)現(xiàn)原來在計算起跑線上運動員的距離時，只需知道每條跑道的寬度就能很快算出結果，鼓勵學生構建出“同心圓情境中大圓的周長減去小圓的周長等于圓周率乘大圓與小圓間隔寬度的2 倍”的數(shù)學模型，同時引導學生反思建立模型的整個過程，進一步思考模型應用的范圍，幫助學生積累運用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實問題的成功體驗。

（四）改進創(chuàng)新評價方式，助力學生在問題解決中發(fā)展素養(yǎng)

以問題解決能力為指向展開評價，是更快促進學生“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的增速器。2022年版課標提倡建立多元的評價維度，指出了在評價過程中，不僅要關注學生全面而理性地分析問題、解決問題的能力，還要關注學生敏銳而機智地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。這要求教師積極創(chuàng)新改進評價方式，采用課堂觀察、活動報告、課后訪談、成長記錄等多樣化的評價方式全面、客觀、科學地評價學生的數(shù)學學習過程，關注學生在問題解決活動中思維的深度。

例如，在學完“百分數(shù)的認識”內(nèi)容后，了解到國家對城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)比率達到80%，大力改善空氣質(zhì)量的要求，教師可以詢問學生有沒有比較關心的問題，引導學生討論“如何探究某城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)比率是否達到80%？如何判斷某城市天氣質(zhì)量是否改善？”等問題，再通過設計好的評價量表判斷學生在分析、解決這些問題過程中的具體表現(xiàn)，主要維度包括收集、整理數(shù)據(jù)的思路以及計算比率的方法。

總之，“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的素養(yǎng)既需要高階的數(shù)學思維能力，能夠從現(xiàn)實世界中抽象概括出數(shù)學問題，又需要在解決數(shù)學問題之后再返回到具體生活中去，在從“現(xiàn)實世界的生活實踐→數(shù)學知識體系→現(xiàn)實世界的生活實踐”這樣一個完整的循環(huán)過程中，活化數(shù)學思維，方能獲得持續(xù)發(fā)展的、被廣泛應用的數(shù)學核心素養(yǎng)。