巧妙轉(zhuǎn)化 化繁為簡

洪鈺

［摘 要］換元法是最常用的一種數(shù)學(xué)解題方法，應(yīng)用換元法可以將原來的變量換為新的變量，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目簡單化。在應(yīng)用換元法的過程中，教師應(yīng)從學(xué)生的學(xué)習(xí)實際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維。教師應(yīng)設(shè)計多樣化的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，將換元法的應(yīng)用融入課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中。

［關(guān)鍵詞］換元法；解題；轉(zhuǎn)化

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）05-0020-03

換元法為學(xué)生打開了全新的解題思路，應(yīng)用此解題方法不僅可以鍛煉學(xué)生的思維能力，而且能促進學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要在各個教學(xué)環(huán)節(jié)中融入換元思想，指導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用換元法，并學(xué)會用辯證的眼光看待數(shù)學(xué)問題。

一、換元法的應(yīng)用注意點

（一）注意應(yīng)用性

教師在指導(dǎo)學(xué)生使用換元法時，需要注意題目和題型，并非所有的數(shù)學(xué)題都適合應(yīng)用換元法。換元法適用于求值問題、因式分解、不等式證明、函數(shù)問題等，在應(yīng)用換元法解題時教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生正確分析題目類型，靈活換元和轉(zhuǎn)換變量。在教學(xué)中，教師應(yīng)有效滲透換元思想，幫助學(xué)生樹立換元理念，讓學(xué)生在遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時能夠?qū)W會應(yīng)用換元法進行正確解答。中考數(shù)學(xué)試卷中設(shè)置了很多綜合性題目，對學(xué)生的解題能力有較高的要求，換元法的靈活應(yīng)用，可以讓學(xué)生更好地應(yīng)對考試。

（二）注重結(jié)構(gòu)性

教師在指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用換元法解題時，應(yīng)對題目的結(jié)構(gòu)予以著重關(guān)注。每一道數(shù)學(xué)題均具有獨特的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，在應(yīng)用換元法前學(xué)生需要找到問題的解題規(guī)律，如此才能取得更好的解題效果。整體換元、均值換元以及三角換元適用于不同結(jié)構(gòu)的初中數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用于不同題型時的作用也存在差異。比如可以通過三角換元將根號問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題。需要注意的是，換元會將原函數(shù)的自變量改變，所以換元法不適用于定義域或奇偶性問題。在應(yīng)用換元法解答數(shù)學(xué)題目時，首先是設(shè)新元，將合適的輔助元引入題目中；其次是換元，將原題中的舊元替換為新元；然后是求解新元，具體化題目中的數(shù)量關(guān)系；最后是求解原題中的未知元。有效應(yīng)用換元法解決數(shù)學(xué)問題可以增強學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。

（三）注重等價性

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握變量替換的方法，這是應(yīng)用換元法解題的基礎(chǔ)。教師要對學(xué)生在應(yīng)用換元法解題時出現(xiàn)的錯誤進行總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生注重等價性，即保持新變量的允許值與原變量的可取值范圍之間的等價性，以避免在解題過程中出現(xiàn)偏差。對此，教師可以圍繞等價性設(shè)計習(xí)題，讓學(xué)生通過自主換元和等價轉(zhuǎn)換掌握換元法的應(yīng)用技巧。教師在教學(xué)中也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對等價關(guān)系予以重視，使學(xué)生形成等價思想，并在解題過程中靈活運用等價思想，從而提升學(xué)生的解題能力。

二、換元法的應(yīng)用策略

（一）換元——由高到低

初中數(shù)學(xué)教材中涉及的方程主要有一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組等，一些試題中會出現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教材中沒有的方程，如高次方程，這就需要學(xué)生應(yīng)用換元法將高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程。這樣，不僅可以提升學(xué)生解題的準(zhǔn)確率，還可以活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。換元法還可應(yīng)用于證明不等式。在解答求方程的根之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用換元法的同時利用韋達(dá)定理，明確題目中所有條件之間的關(guān)系。設(shè)元是換元法的關(guān)鍵，需要學(xué)生針對不同問題設(shè)元，將原題中的未知數(shù)替換為另一個相同的未知數(shù)，然后使用換元法計算出答案。縱觀初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，部分學(xué)生在解題時過于依賴換元法，不管解答什么數(shù)學(xué)題，都套用相同的換元法。針對這種情況，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵點，以此為基礎(chǔ)來設(shè)元，這樣更容易發(fā)現(xiàn)題目中的隱蔽條件，從而讓學(xué)生學(xué)會針對不同問題靈活應(yīng)用換元法。

在以上方程中應(yīng)用換元法將方程進行簡化，可使得解題更簡便。

（二）換元——由未知到已知

轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常普遍，要想掌握轉(zhuǎn)化的技巧，達(dá)到化繁為簡的目的，教師就需要指導(dǎo)學(xué)生在解題時將未知轉(zhuǎn)化為已知，通過等價代換的方式讓學(xué)生更精準(zhǔn)地掌握題意，明確解題方向。在解題時，學(xué)生常常會面對過多的未知量，無法準(zhǔn)確分析題意和找到解題思路，這時進行未知量轉(zhuǎn)化，可讓學(xué)生用自己熟悉的知識解題，讓解題的難度降低。當(dāng)學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化已知量的方法后，再進行系統(tǒng)的訓(xùn)練，就可做到舉一反三。在審題過程中，學(xué)生首先要分析題目中相等的數(shù)量關(guān)系，然后再對問題進行轉(zhuǎn)化。如果題干過長，學(xué)生需要對題目信息進行梳理。當(dāng)然換元法并不是獨立存在的一種解題方法，有時可以將其與分類討論、數(shù)形結(jié)合等方法聯(lián)合使用，使抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的信息相結(jié)合。

（三）換元——由正向到逆向

如今很多初中生的解題思維仍受限于傳統(tǒng)觀念，他們在遇到新的數(shù)學(xué)問題時不懂得變通，思維過于單一。針對這一問題，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生擺脫定式思維，創(chuàng)新思維方式，在解題時嘗試運用逆向思維，同時為學(xué)生提供新的解題思路，培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。如在解答求取值范圍的數(shù)學(xué)問題時，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生運用逆向思維來進行驗證，促使學(xué)生在解題時懂得變通。另外，換元法還適用于求函數(shù)值域的問題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多個角度思考問題，發(fā)現(xiàn)題目中的隱蔽條件。

在新課標(biāo)背景下，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，這既有助于學(xué)生理解和掌握新的數(shù)學(xué)概念，又可以鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，幫助學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題。教師可以將換元思想和逆向思維融入練習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變常規(guī)思維，從反方向?qū)ふ掖鸢?，這樣不僅步驟更加簡單，還可以節(jié)省解題時間。

從上述解題過程中可以看出，此題是通過整體換元法來求解定義域的。根據(jù)題干信息，如果用已知的復(fù)合函數(shù)來求出函數(shù)的定義域，難度較大，學(xué)生無法有效找出函數(shù)與自變量之間的關(guān)系。用換元法進行解答，可以將原變量轉(zhuǎn)化為一個整體來進行替換，能更簡單快捷地找到答案。

（四）換元——由數(shù)值到圖形

換元法已經(jīng)成了師生常用的一種解題手段，也成為當(dāng)下教師重點談?wù)摰脑掝}。教師應(yīng)該積極研討，通過交流討論、線上學(xué)習(xí)等方式提高自身的教學(xué)能力，深入了解換元法，并能靈活應(yīng)用。為了讓學(xué)生能更好地應(yīng)用換元法，教師可將學(xué)生分成學(xué)習(xí)小組，發(fā)揮小組合作學(xué)習(xí)的作用，讓學(xué)生探討應(yīng)用換元法解題的方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)信心?！皵?shù)形題”是初中數(shù)學(xué)常見的題型，此類題目解題難度較大，要求學(xué)生具有豐富的解題經(jīng)驗和熟練掌握解題技巧，能夠?qū)?shù)值與圖形進行靈活轉(zhuǎn)化，將抽象問題簡單化。在換元的過程中，我們常采用“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”的方式。

教師可以開展專題訓(xùn)練，給學(xué)生展示數(shù)值和圖形相互轉(zhuǎn)化的題型，引導(dǎo)學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)知識進行圖形化處理，在這個過程中，學(xué)生能逐漸形成正確的解題觀念，提高自身的思維能力。

（五）換元——由多元到一元

應(yīng)用換元法解題，將題干中的信息進行轉(zhuǎn)化，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可逐步啟發(fā)學(xué)生的空間思維，讓學(xué)生的空間思維得到有序提升。同時，培養(yǎng)學(xué)生的換元思維可以助推學(xué)生解題能力的發(fā)展。在實際教學(xué)中，教師需從學(xué)情入手，引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)對變量進行轉(zhuǎn)化，有意識地引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。

教師可以經(jīng)典的數(shù)學(xué)題目引導(dǎo)學(xué)生掌握換元的技巧，最大化地挖掘出換元的價值。教師可引入有關(guān)一元一次方程、多元一次方程的經(jīng)典題目，讓學(xué)生在解答題目的過程中正確區(qū)分，完善學(xué)生的知識體系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。換元法的有效應(yīng)用，能降低解題難度，也能讓計算過程變得更加簡單，讓學(xué)生的思維得到變通。

此題是較為常見的一類分式方程轉(zhuǎn)化的案例，對于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維有較大的作用。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題中，換元法的作用是不容忽視的，應(yīng)用換元法可以讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得更加簡單，讓學(xué)生的思維得到鍛煉和創(chuàng)新。在應(yīng)用換元法的過程中，教師必須創(chuàng)新教學(xué)方法，讓學(xué)生學(xué)會舉一反三，積累更多的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。在教學(xué)時，教師可以列舉經(jīng)典的例題，為換元法的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)良好的情境，以便培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，提升學(xué)生的解題能力。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 李秀文. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中思想與方法的滲透：評《數(shù)學(xué)教育研究方法論》［J］. 中國教育學(xué)刊， 2021（12）：39.

［2］? 紀(jì)載華. 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用要點［J］. 數(shù)理化解題研究， 2021（20）：28-29.

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［4］? 李萍，馮進鈐，范欽偉．利用換元法求一類二重積分［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2021（2）：38-40.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）