小畫板，大妙用

洪麗云

【摘要】“后疫情時代”線上線下融合教學(xué)已成為教育新常態(tài)，結(jié)合《信息技術(shù)應(yīng)用能力提升工程2.0》的要求，根據(jù)新課標(biāo)學(xué)科融合的特點，利用幾何畫板軟件制作動態(tài)課件，輔助初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生動手能力，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板;初中數(shù)學(xué);課堂教學(xué);核心素養(yǎng)

幾何畫板是一種常用的數(shù)學(xué)、物理教學(xué)軟件，是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育教學(xué)融合的主要媒介，其精準(zhǔn)作圖和動態(tài)變換的功能給學(xué)習(xí)者提供了無盡的創(chuàng)造思維。本文基于初中數(shù)學(xué)學(xué)科特性，分析幾何畫板軟件的特點與優(yōu)勢，結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，通過制作幾何畫板動態(tài)課件，輔助初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高課堂效率。

一、動感實驗，妙在探究

信息技術(shù)為數(shù)學(xué)教學(xué)的變革提供了新的方式。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)是再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的有效途徑，是一種活動性教學(xué)，它能滿足不同學(xué)生的需求并使學(xué)生得到不同程度的發(fā)展。借助幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)動感實驗，探究正多邊形鋪設(shè)地面的實踐，可培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

教師提前做好正多邊形工具，在課堂上教學(xué)生如何使用工具，然后讓學(xué)生利用電腦進(jìn)行操作，操作時分同種正多邊形、兩種正多邊形和三種正多邊形，操作前滲透分類討論思想，教會學(xué)生有規(guī)律地進(jìn)行問題探究。通過直觀觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用相同的正多邊形鋪設(shè)地面時，只有正三角形、正方形、正六邊形可以鋪滿地面，而正五邊形不能鋪滿地面。教師此時引導(dǎo)學(xué)生觀察鋪滿地面的圖形的條件，通過觀察，部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)“當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角，即360°時，所用的多邊形地磚就可以鋪滿地面”。

那么給定一個正多邊形需要多少個這樣的正多邊形才能在一點處鋪滿呢？以正三角形為例，假設(shè)需要x個正三角形，那么在一點處的x個內(nèi)角加起來是360°，由此得到：

60°x=360°

這就將鋪設(shè)地面問題轉(zhuǎn)換為了一元一次方程正整數(shù)解模型。通過這個轉(zhuǎn)換，教師布置練習(xí)，用這種數(shù)學(xué)建模思想引導(dǎo)學(xué)生探究正七邊形、正八邊形等能否在一點處鋪滿地面呢？學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)，用同一種正多邊形鋪設(shè)地面時，只有“正三角形、正方形、正六邊形”能夠鋪滿地面，其他不行，并進(jìn)一步得出結(jié)論“當(dāng)正多邊形的一個內(nèi)角能被360°整除時，這個正多邊形地磚便能鋪滿地面”。學(xué)生通過自己模擬體驗鋪設(shè)地面，將生活問題轉(zhuǎn)換成了數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模思想就這樣在體驗的過程中印在了學(xué)生的腦海里。

通過運用數(shù)學(xué)建模思想，教師可引導(dǎo)學(xué)生探究用2種正多邊形鋪設(shè)地面的問題，以正三角形和正方形為例，設(shè)有x個正三角形，y個正方形，則：

60°x +90°y=360°

2種多邊形的鋪設(shè)問題就轉(zhuǎn)化成了二元一次方程的正整數(shù)解問題，當(dāng)學(xué)生得到了正確結(jié)果時，教師還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過畫板來驗證猜想結(jié)論的正確性。

當(dāng)用三種多邊形鋪設(shè)地面時，以x個正三角形，y個正方形，z個正六邊形為例，則：

60°x+90°y+120°z=360°

這就轉(zhuǎn)化成了三元一次方程正整數(shù)解問題。

通過幾何畫板動態(tài)演示實踐操作體驗、模型總結(jié)、模型運用、操作驗證，將學(xué)生的課堂積極性調(diào)動起來，不僅能活躍課堂氛圍，同時還滲透了數(shù)學(xué)思想、解題方法的教學(xué)。

二、動靜結(jié)合，妙在理解

幾何畫板軟件是集靜態(tài)精準(zhǔn)作圖和動態(tài)變換探究功能于一體的數(shù)學(xué)作圖軟件，用戶根據(jù)自己的理解運用創(chuàng)作出豐富多彩的課件，動靜結(jié)合，直觀展示，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，感悟數(shù)學(xué)思想，破解教學(xué)重難點。例如探究二次函數(shù)一般式的系數(shù)對函數(shù)圖像的影響時，教師可通過制作好的課件讓學(xué)生動手體驗，如改變a、b、c的數(shù)值，觀察函數(shù)圖像發(fā)生的變化，猜想二次函數(shù)系數(shù)a、b、c對圖像的影響，從而總結(jié)規(guī)律：依次改變a、b、c時，函數(shù)圖像的開口方向、開口大小、對稱軸、與y軸交點位置發(fā)生變化，直觀形象地呈現(xiàn)出“形變數(shù)就變，數(shù)變形也變”的互相依存關(guān)系，學(xué)生自然而然體會到數(shù)形結(jié)合的妙處，培養(yǎng)了學(xué)生幾何直觀和數(shù)形結(jié)合的思想。

在“一次函數(shù)性質(zhì)”教學(xué)中，學(xué)生對“一次函數(shù)的系數(shù)k、b的改變對一次函數(shù)圖像的影響”理解存在問題，利用幾何畫板度量點的坐標(biāo)功能，得到度量值k、b，再利用熱文本功能，將度量值k、b關(guān)聯(lián)入解析式，通過上下拖動點k、b，改變系數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像變化趨勢及所在象限，得出結(jié)論：當(dāng)|k|增大時，直線傾斜度增加，與x軸夾角增大，當(dāng)|k|減小時，直線傾斜度減少，與x軸夾角變小，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ);當(dāng)b>0時，圖像向上平移b個單位，當(dāng)b<0時，圖像向下平移|b|個單位，滲透平移的幾何變換思想;當(dāng)k>0，b>0時，圖像過一、二、三象限，當(dāng)k>0，b<0時，圖像過一、三、四象限，當(dāng)k<0，b>0時，圖像過一、二、四象限，當(dāng)k<0，b<0時，圖象過二、三、四象限。通過動態(tài)變換，讓學(xué)生體會運動變換的思維，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，滲透用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界和用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界的核心素養(yǎng)。有了以上探究經(jīng)歷，通過融匯貫通類比思想，學(xué)生在探究反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)時就會容易許多。

三、幾何變換，妙在構(gòu)圖

不規(guī)則圖形陰影面積的計算在中考中屢見不鮮，學(xué)生解決此類問題的方法和破題點往往有失偏頗，但如果我們在教學(xué)中滲透幾何變換法，將部分圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換，從而將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，將分散圖形集中，那么這類問題就會迎刃而解，而此中破解之道就在于“如何進(jìn)行幾何變換”和“為什么會想到這樣的變換方式”。

例1：如圖1，點C、D分別是半圓AOB上的三等分

點。若陰影部分的面積是，則半圓的半徑OA的長為? ? ? ? ? 。

分析：圖中陰影為不規(guī)則陰影，無法直接運用已知的圖形面積公式計算，通過對陰影圖形分析，連結(jié)CD，陰影部分被分割成弓形和三角形，由已知條件易證CD∥AB，利用平行線間的距離處處相等可得S△BCD＝S△OCD。因此將不規(guī)則陰影圖形面積轉(zhuǎn)化為弓形和正三角形的面積和，即扇形，進(jìn)而求解。

解：如圖2，連結(jié)OC、OD、CD，則∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°?！逴B＝OD＝OC，∴△OCD和△OBD均為正三角形，∴∠ODC＝∠BOD＝60°，∴AB∥CD，∴S△BCD＝S△OCD，∴S陰影部分＝S扇形OCD，

∴。解得r＝3，于是半圓的半徑OA的長為3，故答案為3。

例2：如圖3，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，點D為AB的中點，以點D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為________。

分析：顯然陰影部分面積為不規(guī)則圖形，不易直接求解，容易想到利用扇形FDE面積減去四邊形面積，但四邊形面積不易求解，但利用旋轉(zhuǎn)變換，如圖4，將扇形FDE旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，則四邊形變?yōu)檎叫?，故而易于求解。解：如圖5，連結(jié)CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，垂足分別為M，N?！逤A＝CB，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，∴DC＝AB＝1，四邊形

DMCN是正方形，DM＝，∴扇形FDE的面積為＝?！逤A＝CB，點D為AB的中點，∴CD

平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN。∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN。在△DMG和△DNH中，∴△DMG≌△DNH

（AAS），∴S四邊形DGCH＝S四邊形DMCN＝，

∴陰影部分的面積為，因此本題答案為。

求解不規(guī)則圖形面積時，通過對不規(guī)則圖形進(jìn)行分析，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將圖形進(jìn)行分割轉(zhuǎn)化，再將分割后的圖形進(jìn)行幾何變換，實現(xiàn)將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形、將部分轉(zhuǎn)化為整體的效果，從而利用規(guī)則圖形面積公式進(jìn)行計算求解。

四、動態(tài)定位，妙在分類

中考壓軸題的核心是數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的精髓是函數(shù)，函數(shù)的核心是運動變化。圖形的運動變換，歸根結(jié)底是圖形上點的運動變換。圖形的動態(tài)型問題由于具有運動對象的多樣性、運動路徑的多變性、運動條件的制約性、運動結(jié)果的豐富性，更兼具涉及數(shù)學(xué)知識的綜合與核心、考查形式新穎等特點而備受中考命題者的青睞。這類問題一般設(shè)計為探究性問題和說理與計算推理相結(jié)合這兩類綜合題，具有以下特點：試題所給的圖形只是運動元素（對象）在整個運動過程中的其中一種情況反映，整個運動過程中會出現(xiàn)多種情形，其中另外幾種情形都需要學(xué)生在較短的考試時間內(nèi)自主探索、通過畫圖尋找。由于考試時間緊張、思維坡度大，同時需要考慮不同時段、不同條件下的圖形運動情形，許多學(xué)生對此感到恐懼、茫然，不知從何處入手來應(yīng)對，這對學(xué)生來說是一種挑戰(zhàn)。而利用幾何畫板動態(tài)演示功能進(jìn)行動態(tài)定位分析和畫靜態(tài)分類示意圖兩步策略，能幫助學(xué)生有效解決這類動態(tài)變化型問題。

所謂動態(tài)定位分析，就是著眼于問題全局，先從整體層面上分析動點的運動路徑與運動區(qū)域，初步獲得并做好先期性解題規(guī)劃。而據(jù)此所畫出的靜態(tài)分類示意圖，就是根據(jù)動態(tài)定位分析中每一種運動類型下運動元素的運動情況，畫出該元素所滿足要求的運動趨勢下的靜態(tài)圖。解題思考過程重點考查學(xué)生對運動過程的分析，突出數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想，以下題為例。

例3：如圖6，拋物線與軸

交于A（-1，0），B（4，0），與軸交于點C。連接AC、BC，點P在拋物線上運動。

（1）（2）略；

（3）若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作軸的垂線交BC于點H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長。

動態(tài)定位分析：點P在第一象限運動過程中，△PFH的形狀發(fā)生變化，存在某些時刻，使得△PFH為等腰三角形，但等腰△PFH的哪兩邊相等不確定，根據(jù)等腰三角形兩邊相等進(jìn)行分類，具體有PF=PH、PF=FH、PH=FH三種情況。

靜態(tài)分類分析：根據(jù)PF=PH、PF=FH、PH=FH三種情況畫出分類示意圖如圖7、圖8、圖9所示。

破解策略分析：本題為等腰三角形的存在性問題，根據(jù)等腰三角形定義兩邊相等進(jìn)行分類討論，解題視角不同，解題方法也會不同，而借助幾何圖形的特征求解可以有效降低運算量。

小畫板，大妙用。幾何畫板輔助課堂教學(xué)并不僅限于此，課程標(biāo)準(zhǔn)多次強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)與教育教學(xué)融合的必要性，同時也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)軟件輔助課堂教學(xué)的趨勢，而幾何畫板正是輔助初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有力工具，教師應(yīng)通過長期實踐，不斷反思，爭取讓小畫板發(fā)揮更大的妙用，助力數(shù)學(xué)課堂改革，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張樹華.借助信息技術(shù)，優(yōu)化解題教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（8）.

[2]杜育林.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)導(dǎo)入的實踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（5）.

[3]張祖勝.利用信息技術(shù)，創(chuàng)新實驗教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（6）.