初中折紙與數(shù)學(xué)課后服務(wù)課程開發(fā)與實(shí)施

劉姣 張旖澈

【摘要】折紙具有直觀性、探究性和應(yīng)用性特征，是開展初中數(shù)學(xué)課后拓展與跨學(xué)科活動(dòng)的有效載體.初中折紙與數(shù)學(xué)課后服務(wù)課程可兼顧社會(huì)情境與真實(shí)情境，注重跨學(xué)科的背景與知識(shí)，形成以數(shù)學(xué)為主線，融合科學(xué)、技術(shù)、藝術(shù)、工程等真實(shí)情境的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng).課程實(shí)施中可采用基于任務(wù)的問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)策略，多元化評(píng)價(jià)方式，以及豐富的課程資源，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科思想方法，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的探究精神和實(shí)踐能力.

【關(guān)鍵詞】折紙與數(shù)學(xué)；課后服務(wù)；跨學(xué)科；科學(xué)教育

折紙看似把簡(jiǎn)單的紙折成不同的形狀，其實(shí)其中蘊(yùn)含著無限的數(shù)學(xué)知識(shí)和原理.折紙讓數(shù)學(xué)變得直觀形象，而數(shù)學(xué)又為折紙?zhí)峁┝死碚撘罁?jù)，折紙與數(shù)學(xué)密不可分.已有多項(xiàng)研究證明“折紙活動(dòng)”符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生在興趣驅(qū)動(dòng)下探究數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)原理，能夠有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)理思維.早在20世紀(jì)初，折紙?jiān)谖鞣絿?guó)家就開始成為研究數(shù)學(xué)和科學(xué)的工具，20世紀(jì)晚期，“折紙科學(xué)、數(shù)學(xué)、教育國(guó)際會(huì)議”（the International Meeting on Origami in Science， Mathematics， and Education，簡(jiǎn)稱“OSME”）成立，目的是深入探究折紙的科學(xué)意義與教育意義，“折紙與數(shù)學(xué)”是該會(huì)議的常設(shè)主題.1992年以色列開始推廣折紙項(xiàng)目，以拓展學(xué)生觀察技能、空間技能、邏輯思維能力等學(xué)習(xí)技能.在我國(guó)，利用折紙開展數(shù)學(xué)教學(xué)的方式在各版本教材中都有所體現(xiàn)，例如，北師大版初中數(shù)學(xué)教材在“展開與折疊”“利用軸對(duì)稱進(jìn)行設(shè)計(jì)”兩節(jié)中將折紙活動(dòng)貫穿始終.以CNKI數(shù)據(jù)庫收錄的以“折紙”“數(shù)學(xué)”為主題的研究數(shù)量近些年逐漸增多.但據(jù)筆者訪談了解，由于課內(nèi)課時(shí)限制和教學(xué)材料的匱乏，很多數(shù)學(xué)教師有折紙教數(shù)學(xué)的需求，卻很難開展相關(guān)實(shí)踐.

雙減政策背景下，學(xué)校成為課后服務(wù)的主渠道，課后服務(wù)的時(shí)間、資源、場(chǎng)地等得到了保障.這為引入折紙活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)課后拓展與跨學(xué)科活動(dòng)提供了契機(jī).因此，充分認(rèn)識(shí)折紙的數(shù)學(xué)教育價(jià)值并進(jìn)行活動(dòng)課程，尤其是跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)的開發(fā)，對(duì)于豐富學(xué)校課后服務(wù)課程，滿足學(xué)生多樣化需求，發(fā)展學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新素養(yǎng)和問題解決能力都有非常重要的價(jià)值.

1折紙的數(shù)學(xué)教育價(jià)值

1.1折紙操作的直觀性利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)語言的理解

初中階段，學(xué)生抽象思維還不成熟，思維活動(dòng)更加需要具體、直觀、感性經(jīng)驗(yàn)的支持.上海師范大學(xué)陸新生教授團(tuán)隊(duì)的最新研究顯示：折紙?zhí)骄炕顒?dòng)與直觀想象、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)有顯著的相關(guān)性[1].折紙作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)已經(jīng)在各個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材中得到應(yīng)用.例如人教版初中數(shù)學(xué)教材有31處，北師大版初中數(shù)學(xué)教材有39處，主要分布在“圖形與幾何”領(lǐng)域的各章節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生通過折紙去觀察、探究、驗(yàn)證幾何結(jié)論，體會(huì)幾何概念的形成過程.在折紙活動(dòng)中，教師可借助數(shù)學(xué)語言來表達(dá)折紙操作，比如，兩點(diǎn)折線、兩線對(duì)折、過點(diǎn)對(duì)折、點(diǎn)折到線等.學(xué)生在形象化的圖形合成、圖形分解、圖形移動(dòng)等操作中，對(duì)基本的幾何概念和公理的理解得以加深.也可引導(dǎo)學(xué)生通過折紙拼圖、折紙鑲嵌等活動(dòng)，促進(jìn)對(duì)幾何圖形初步知識(shí)的直觀理解.

1.2折紙活動(dòng)的探究性利于推動(dòng)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

折紙活動(dòng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，直觀有趣，但又有一定的挑戰(zhàn)性.折紙活動(dòng)中，學(xué)生做中思、玩中學(xué)，通過小小的一片紙?zhí)骄繑?shù)學(xué)原理與規(guī)律，提出和發(fā)現(xiàn)問題、分析并解決問題，經(jīng)歷思考、操作、觀察、歸納、概括、建模等探究性思維過程，鍛煉數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此折紙搭建了從折紙操作到科學(xué)思維、從直觀操作到抽象思維的橋梁.常文武博士致力于數(shù)學(xué)折紙的研究，他指出：通過數(shù)學(xué)折紙的任務(wù)驅(qū)動(dòng)方式可以有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力，折紙對(duì)學(xué)生創(chuàng)造力的激發(fā)尤其在于通過操作和想象來促進(jìn)發(fā)散思維，加強(qiáng)知識(shí)、觀念的新聯(lián)結(jié)、新組合，這是創(chuàng)造性思維的重要體現(xiàn)[2].初中各版本教材中，都不同程度地將折紙引入到正文或課后探究等環(huán)節(jié)，利用折紙引入概念、性質(zhì)和定理，讓學(xué)生參與幾何結(jié)論的猜想與驗(yàn)證過程（如圖1所示）.而教材習(xí)題中引入的折紙活動(dòng)，往往為學(xué)生設(shè)置了一個(gè)問題情境，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用學(xué)到的數(shù)學(xué)概念、原理來分析問題、解決問題.

1.3折紙應(yīng)用的廣泛性利于落實(shí)新課標(biāo)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，要整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)，完成跨學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)，感悟數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)[3].現(xiàn)代折紙已經(jīng)從手工藝術(shù)擴(kuò)展應(yīng)用到服裝設(shè)計(jì)、建筑設(shè)計(jì)、醫(yī)學(xué)、力學(xué)、材料學(xué)等領(lǐng)域，跨學(xué)科的廣度越來越大.這為開發(fā)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了豐富的實(shí)際情景，是STEAM教育的良好載體，有利于促進(jìn)落實(shí)新課標(biāo)提倡的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí).相比于正式課程教材中的折紙活動(dòng)側(cè)重于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的猜想發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證，依托折紙開展跨學(xué)科的探究活動(dòng)可以作為正式課程的有機(jī)補(bǔ)充，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與審美、數(shù)學(xué)與科學(xué)、工程、技術(shù)的緊密聯(lián)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，拓展視野，豐富對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí).

總之，將成本低、易操作的折紙活動(dòng)引入初中課后服務(wù)課程中，可以與正式課程中數(shù)學(xué)課上的抽象學(xué)習(xí)形成很好的鏈接，是對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)的一種改革性嘗試和補(bǔ)充.

2初中折紙與數(shù)學(xué)課后服務(wù)課程開發(fā)與實(shí)施

2.1課程目標(biāo)的定位

“課后課程”供給區(qū)別于學(xué)校正式課程.在性質(zhì)上，“課后課程”供給是輔導(dǎo)性的教育活動(dòng)，并非傳統(tǒng)課堂教學(xué)的變形，更不能等同于培優(yōu)班或補(bǔ)課班；在過程上，學(xué)校正式課程為學(xué)生認(rèn)知的形成與發(fā)展服務(wù)，“課后課程”供給則為學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用提供支撐[4].

因此，折紙與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)定位是以滿足學(xué)生的興趣與發(fā)展需要為價(jià)值起點(diǎn)，落實(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的要求.課程以紙為載體，通過折疊、裁剪等動(dòng)手實(shí)踐，促進(jìn)學(xué)生在動(dòng)手動(dòng)腦中思考、體驗(yàn)、探究、創(chuàng)造，理解數(shù)學(xué)知識(shí)和科學(xué)原理，使學(xué)生的動(dòng)手能力、思維能力、想象力、審美能力、注意力和觀察力得到鍛煉.

2.2課程內(nèi)容的選擇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的教學(xué)活動(dòng)，以解決實(shí)際問題為重點(diǎn)，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，以真實(shí)問題為載體，適當(dāng)采取主題活動(dòng)或項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式呈現(xiàn)，通過綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法解決真實(shí)問題，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力、社會(huì)擔(dān)當(dāng)?shù)染C合品質(zhì)[5].因此，基于現(xiàn)代折紙廣泛的跨學(xué)科應(yīng)用性，折紙與數(shù)學(xué)活動(dòng)項(xiàng)目的選擇兼顧社會(huì)情境與真實(shí)情境，注重跨學(xué)科的背景與知識(shí)，形成了以數(shù)學(xué)為主線，融合科學(xué)、技術(shù)、藝術(shù)、工程等真實(shí)情境的一系列跨學(xué)科探究活動(dòng).這些活動(dòng)單元使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科思想方法，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的探究精神和實(shí)踐能力.表1呈現(xiàn)了部分跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng).

2.3課程實(shí)施的策略

課后服務(wù)課程往往具有課時(shí)間隔時(shí)間長(zhǎng)的特點(diǎn)，容易導(dǎo)致課時(shí)不太連貫.基于此，折紙與數(shù)學(xué)活動(dòng)課程整體采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)模式，每學(xué)期的課程由1—2課時(shí)可完成的若干短期項(xiàng)目構(gòu)成，每個(gè)項(xiàng)目采用基于任務(wù)的問題串推動(dòng)教學(xué)進(jìn)程逐步深入.為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，課堂活動(dòng)采用“問題情境引入—數(shù)學(xué)建?！Ｐ蛻?yīng)用—作品分析”的基本流程，將數(shù)學(xué)內(nèi)容作為解決問題的途徑嵌入到折紙任務(wù)中.

例如，在“玩轉(zhuǎn)變臉六邊形”項(xiàng)目活動(dòng)中，學(xué)生要想實(shí)現(xiàn)一個(gè)圖2所示的變臉六邊形作品，首先需要解決變臉六邊形學(xué)生作品“如何折出一個(gè)等邊三角形”的問題.此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)的折紙問題帶入到已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)中.學(xué)生可以通過測(cè)量來實(shí)現(xiàn)，也可通過數(shù)學(xué)建模，用圖3那樣的折疊操作得到.學(xué)生由此初步建模，應(yīng)用自己所學(xué)的等邊三角形、四邊形等知識(shí)，獲得等邊三角形.

折“60°角”問題的數(shù)學(xué)建模完成作品后，可從跨學(xué)科角度拓展，對(duì)作品進(jìn)行美化與分析.比如，可布置個(gè)性化涂色的任務(wù)以及思考性任務(wù)：①找出變臉六邊形的所有面：如何判斷是否找全？②找出每個(gè)面的所有不同的圖案.③從一個(gè)菱形入手，思考這些圖案的變化規(guī)律.學(xué)生在任務(wù)性活動(dòng)中，科學(xué)思維、藝術(shù)審美等素養(yǎng)得到發(fā)展.

2.4課程多元化評(píng)價(jià)

課程要堅(jiān)持評(píng)價(jià)為學(xué)生發(fā)展服務(wù)的導(dǎo)向功能，制定多元化評(píng)價(jià)方案，兼顧過程和結(jié)果.

活動(dòng)過程中的形成性評(píng)價(jià)，可以依托“學(xué)習(xí)任務(wù)單”，促進(jìn)學(xué)生思考、發(fā)言、匯報(bào)交流、合作學(xué)習(xí)等.基于折紙活動(dòng)的特點(diǎn)，“學(xué)習(xí)任務(wù)單”可采用“看—試—想—做”四大任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入思考，主動(dòng)探究.

“看”的環(huán)節(jié)主要呈現(xiàn)折紙作品的折痕圖.學(xué)生觀察教師提前準(zhǔn)備的作品成品，用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析，并猜想其折疊程序.“試”的環(huán)節(jié)，設(shè)置具有沖突性的問題或者操作指導(dǎo)，讓學(xué)生在動(dòng)手過程中體會(huì)折紙作品的功用特點(diǎn).“想”的環(huán)節(jié)，提供折紙應(yīng)用于工程、科學(xué)、醫(yī)療、航天等領(lǐng)域的真實(shí)性情境素材，激發(fā)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際生活，創(chuàng)造性地應(yīng)用折紙.最后，通過“做一做”，引導(dǎo)學(xué)生自己對(duì)作品進(jìn)行創(chuàng)意加工、改造和應(yīng)用.這是折紙活動(dòng)最容易激發(fā)學(xué)生興趣的環(huán)節(jié).學(xué)生在學(xué)以致用的過程中，熟悉折紙操作，進(jìn)行個(gè)性化藝術(shù)呈現(xiàn).在探究與創(chuàng)造過程中，提升思維認(rèn)知和問題解決能力.

例如，“一張紙能折多小”項(xiàng)目中，學(xué)生在“看一看”的任務(wù)中，先通過觀察三浦折疊作品和折痕圖，分析里面的幾何信息，猜想并嘗試折疊.通過“想一想”的現(xiàn)實(shí)情景設(shè)計(jì)，猜想或者創(chuàng)造性提出折紙結(jié)構(gòu)的應(yīng)用場(chǎng)景（如表2所示）.在“做一做”的環(huán)節(jié)中，與同伴討論，設(shè)計(jì)一個(gè)可行的三浦折疊應(yīng)用場(chǎng)景，并一起動(dòng)手實(shí)現(xiàn)這一作品.

此外，還要重視終結(jié)性評(píng)價(jià)的作用，設(shè)置一定學(xué)習(xí)成果要求，以驅(qū)動(dòng)學(xué)生基于任務(wù)來進(jìn)行課堂學(xué)習(xí)，形式上可以是隨堂作品、期末作品、課后探究等，如圖4.

2.5課程資源的開發(fā)

保障課程資源的豐富性、精品性，對(duì)于折紙與數(shù)學(xué)這類兼顧動(dòng)手操作和動(dòng)腦思考的實(shí)踐活動(dòng)課程尤為重要.豐富的課程資源可以更好地支持教與學(xué)的高效進(jìn)行，滿足學(xué)生多元化學(xué)習(xí)需求，解決活動(dòng)課中學(xué)生節(jié)奏速度不一導(dǎo)致教師指導(dǎo)不過來的問題.

導(dǎo)學(xué)案（“學(xué)習(xí)任務(wù)單”）、折紙步驟圖、拓展閱讀材料等是非常必要的紙質(zhì)資源，是推動(dòng)活動(dòng)環(huán)節(jié)、輔助學(xué)生操作、滿足學(xué)生探究需求的重要載體.數(shù)字化資源除了課件之外，還可以利用折紙動(dòng)態(tài)演示軟件/網(wǎng)頁、現(xiàn)代折紙科普視頻等來輔助呈現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情境、折紙與數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用等，拓展學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題、建立模型、解決問題的興趣.

3思考與展望

初中折紙與數(shù)學(xué)課后服務(wù)課程開展了多項(xiàng)以數(shù)學(xué)為主線，依托折紙的跨學(xué)科主題項(xiàng)目活動(dòng)，學(xué)生總體好評(píng)率95%.學(xué)生不僅積極參與課堂任務(wù)，還主動(dòng)利用班級(jí)微信公眾號(hào)等途徑，分享探究歷程，向其他同學(xué)共享挑戰(zhàn)任務(wù).可見該課程是符合初中生興趣與需求的.

不過，折紙看似簡(jiǎn)單，但實(shí)際過程有一定挑戰(zhàn).在實(shí)施過程中，一節(jié)課40分鐘，學(xué)生往往饒有興致地花了大量時(shí)間進(jìn)行折疊，但還沒深入探討數(shù)學(xué)問題就下課了.這反映了課時(shí)短、課時(shí)之間不連貫導(dǎo)致探究性思考無法足夠深入的問題，這也是活動(dòng)類課程在“做”和“思”中難以把握的平衡點(diǎn).筆者認(rèn)為，在課時(shí)無法調(diào)整的情況下，可以回歸到項(xiàng)目設(shè)計(jì)本身進(jìn)行調(diào)整：增加課程內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí)的連貫性原則，以此為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步刪減或調(diào)整各項(xiàng)目，使項(xiàng)目之間有連貫性、聯(lián)系性、遞進(jìn)性，以便將共同的思想方法貫穿到多個(gè)項(xiàng)目中.通過梳理設(shè)置項(xiàng)目關(guān)鍵驅(qū)動(dòng)問題來推動(dòng)探究活動(dòng)的逐步深入，不僅節(jié)約了時(shí)間，還加強(qiáng)了各項(xiàng)目的整體性.此外，建立活動(dòng)小組微信群，保持持續(xù)交流，通過課下非正式交流拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、科學(xué)思考，一定程度上解決兩次課間隔時(shí)間較長(zhǎng)導(dǎo)致的學(xué)習(xí)內(nèi)容遺忘及缺乏深入思考的現(xiàn)狀問題.

2023年2月21日，習(xí)近平總書記在主持中共中央政治局第三次集體學(xué)習(xí)中指出，要在教育“雙減”中做好科學(xué)教育加法，激發(fā)青少年好奇心、想象力、探求欲，培育具備科學(xué)家潛質(zhì)、愿意獻(xiàn)身科學(xué)研究事業(yè)的青少年群體[6].這為本課程以數(shù)學(xué)為載體發(fā)展學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)提供了價(jià)值導(dǎo)向和時(shí)代意義.未來，折紙與數(shù)學(xué)課后服務(wù)課程將基于現(xiàn)有的課程開發(fā)經(jīng)驗(yàn)和成果，結(jié)合STEAM理念進(jìn)一步優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，并加強(qiáng)課程的項(xiàng)目與實(shí)施的系統(tǒng)化設(shè)計(jì)，探索課后服務(wù)課程模式下項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的高效教學(xué)實(shí)施策略，促進(jìn)學(xué)生充分利用課上、課下時(shí)間，在“做”和“學(xué)”的過程中激發(fā)科學(xué)興趣，發(fā)展科學(xué)思維，提升科學(xué)素養(yǎng).

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作者簡(jiǎn)介劉姣（1991—），女，河南焦作人，中學(xué)一級(jí)教師；西城區(qū)科研學(xué)科帶頭人；主要研究中學(xué)教育科研、初中數(shù)學(xué)教育.

張旖澈（1991—），女，黑龍江哈爾濱人，中學(xué)一級(jí)教師；西城區(qū)骨干教師；獲北京市教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)比一等獎(jiǎng);主要研究初中數(shù)學(xué)課程與教學(xué).