銜接：搭建從小學算式通往初中方程的“橋”

萬濤 倪軍

【摘要】中小學數學內容的銜接是構建整個義務教育體系的重要環(huán)節(jié)，是貫通核心素養(yǎng)表現(xiàn)的重要方式，是貫徹立德樹人的重要途徑．由于中小學數學的學段目標不同、要求不同、銜接不清晰等原因，導致部分學生進入初中后，在數學學習中出現(xiàn)對知識不能自然過渡、對知識困惑不理解、對數學學習不適應等現(xiàn)象，因此，探索中小學數學內容之間的關聯(lián)，搭建中小學數學之間的“橋”，把有關聯(lián)的知識進行銜接，將中小學的核心素養(yǎng)貫通起來顯得至關重要．

【關鍵詞】銜接；教學模式；一致性；核心素養(yǎng)

1課標分析

在《義務教育數學課程標準（2011年版）》實施中，產生中小學數學內容的連續(xù)性不明確，程度銜接不清晰等問題，如“雞兔同籠”和“三角形內角和”等．在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）中提到：“核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同學段具有不同表現(xiàn)．小學階段側重對經驗的感悟，初中階段側重對概念的理解．”[1]學段不同，學段目標的要求也不同，學段主題也有所不同．小學階段主要以數與運算為主，初中階段主要以數與式、方程、不等式和函數為主．教學要依據學生從小學到初中在認知、情感、社會性等方面的發(fā)展，合理安排不同學段內容，體現(xiàn)學習目標的連續(xù)性和進階性，《課標（2022年版）》極其關注不同學段之間的銜接與聯(lián)系.

2學情分析

部分學生在小學數學成績很好，可是當進入初中后，一方面，學段目標變了，學習環(huán)境變了，教師的教學方式變了，這使部分小學畢業(yè)生未能很快適應初中的學習環(huán)境和教學方式，以至于部分學生在數學的學習上出現(xiàn)了明顯不適應；另一方面，由于小學數學和初中數學在內容和目標上存在銜接不清晰、不明確之處[2]．一些初中教師對小學的數學內容、學段目標和知識體系不熟悉，對小學和初中的數學知識不能有效進行銜接，以至于部分學生不太適應初中數學的學習，這說明中小學的數學教材和教學都存在銜接不清晰的現(xiàn)象，所以，初中數學教師在教學時要關注學生在小學學習數學的學情，對中小學的教學內容進行有效銜接，幫助學生實現(xiàn)由“初等數學思維”向“高層次數學思維”的過渡，在促進中小學數學教學內容有效銜接的同時，構建中小學數學知識之間的連續(xù)性、整體性和一致性，培養(yǎng)學生應有的數學核心素養(yǎng)，使學生在數學學習中，體驗數學知識產生的自然性、合理性和必要性，使學生經歷知識發(fā)生和發(fā)展的過程，明白知識的來龍去脈，有效提升學生學習數學的興趣，建立學生學好數學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神.

3備課思考

古代著名的數學趣題——“雞兔同籠”：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？意思是有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問籠中分別有多少只雞和兔？本節(jié)課要通過這個趣題，搭建從小學算式通往初中方程的“橋”．

3.1為何搭建“橋”——銜接的必要性

小學生在蘇科版六年級下冊第三單元“解決問題的策略”中學習“雞兔同籠”，是以數和算式為主．由于一只雞的腳數和一只兔的腳數不同，學生根據學習乘法時積累的基本活動經驗，會自然想到假設全是雞，也就是假設每只兔也有2只腳，這樣就會得到70只腳，但是題目給的是94只腳，少了24只腳，因為假設每只兔有2只腳，少算了2只腳，少的24只腳，應該是12只兔少的腳，所以籠中有12只兔和23只雞．當然也有同學聯(lián)想到假設全是兔的方法，最后也得到有12只兔和23只雞（如圖1）．

初中生在蘇科版七年級上冊第4章“一元一次方程”中學習“雞兔同籠”，是以等量關系和方程為主，由于雞的頭數＋兔的頭數＝35頭，雞的腳數＋兔的腳數＝94足，設雞有x只，則兔有（35－x）只，則雞的腳數是2x，兔的腳數是4（35－x），由等量關系得到2x＋4（35－x）＝94，解方程得到x＝23，從而得到有12只兔和23只雞．

由于小學數學中字母表示數的內容非常少，需要使用方程的場景也少，并且小學教材中并沒有過多強調方程的背景，幾乎都只是介紹了簡易方程這種方法，比如：4＋x＝9，可能小學有這樣類似的背景：小明有4元錢，媽媽再給他多少元，小明就有9元？解決這樣的問題，本質上需要的是減法運算，沒必要用到方程，所以，學習簡易方程反而無法讓學生意識到學習方程的必要性．

學生在初學方程時，總覺得用小學的算式挺好理解的，為什么要用方程呢？用算式的方法和列方程的方法究竟是兩種不同的解題方法，還是從算式可以自然過渡到方程，兩者之間是否存在一定的關聯(lián)？這種關聯(lián)應該怎么銜接？

小學的算式和初中的方程究竟有什么關聯(lián)，筆者調查了很多初一上學期的學生，發(fā)現(xiàn)學生并不清楚，甚至有些學生給出了這樣的解釋：“小學只學過算式，當然只能用算式來做，初中學習了方程，當然采用方程來思考，如果在初中還用小學的方法，老師不會給分．”一些初中教師在教學過程中，也沒有把小學算式和初中方程這兩者之間進行自然銜接，沒有搭建從小學的算式到初中的方程的“橋”，導致學生不知其所以然，只能被動去接受知識，因此搭建從小學算式到初中方程的“橋”是非常有必要的[3]．

3.2怎樣構思“橋”——銜接的連續(xù)性

要想通過“雞兔同籠”這節(jié)課，把小學的算式和初中的方程自然銜接起來，首先要了解小學生積累了哪些基本數學活動經驗，通過調查發(fā)現(xiàn)90%以上的學生都自然聯(lián)想到整數乘法的學習，都采用假設全是雞或者假設全是兔的方法．而初中生學習方程后，解決“雞兔同籠”問題，采用的是尋找等量關系，根據等量關系列出方程，然后解方程的方法．很顯然，兩者之間沒有必然的聯(lián)系，需要搭建一座“橋”把兩者銜接起來，打通兩者之間的關聯(lián)，體現(xiàn)中小學數學知識學習的連續(xù)性．

銜接1代數式和方程的銜接

要想列出方程，前提是要找出等量關系，比如“雞兔同籠”中的等量關系：雞的頭數＋兔的頭數＝35只，雞的腳數＋兔的腳數＝94只，雞的頭數×2＝雞的腳數，兔的頭數×2＝兔的腳數，遇到雞的頭數，兔的頭數，雞的腳數，兔的腳數都不知道時，我們想到用字母來表示數，用代數式來表示這些未知量．

銜接2數和代數式的銜接

小學生大多都采用假設全是雞或者假設全是兔的方法，而初中的方程也是假設，只不過是設未知數，是假設有a只雞，有（35－a）只兔．當然這里的a并不是35只雞，也不是0只雞，如何由假設全是雞（即35只雞）過渡到假設有a只雞呢？

我們通過假設全是雞，最后得到籠子里并不全都是雞，這只是一個假設而已，那既然這樣，可不可以假設有34只雞和1只兔呢？通過這樣的問題引發(fā)學生思考，學生通過計算并且同意這個假設后，再思考：可不可以假設有33只雞和2只兔呢？引發(fā)學生再次證實．這樣就慢慢搭建了從小學算式到初中代數式的“橋”，把數和代數式自然地銜接在一起（如表1）．

3.3何時搭建“橋”——銜接的合理性

“雞兔同籠”這節(jié)課何時上比較合適呢？小學生在很長一段時間接觸的都是具體的數，接觸字母表示數的內容比較少．在初中學習了用字母表示數，學生逐漸理解由具體的數到抽象的式，能用代數式表示一些數量關系，接著又學習了整式的運算，這時開展“雞兔同籠”這節(jié)課的學習，一方面，學生有了對數與式的理解，掌握了從具體到抽象的轉化思想和整式運算的知識，這時候搭建從小學算式到初中方程的“橋”，是對學生從代數式到方程的銜接，具有明確的連續(xù)性，同時也為后面學習一元一次方程做好鋪墊，打好基礎．

“雞兔同籠”這節(jié)課是根據小學和初中內容結構之間的關系，找到兩者的銜接點，并且在合適的時候進行銜接——學生在初中學習了代數式的有關知識還沒有開始學習方程，這個時候對學生開展“雞兔同籠”的探究是建立在小學生學習數運算經驗的基礎上，慢慢發(fā)展提升的，根據學生學習力提升的規(guī)律來設計這樣的課，這節(jié)課在時間上體現(xiàn)出銜接的合理性．

3.4怎樣搭建“橋”——銜接的自然性

小學數學的學習主要以數與運算為主，初中數學的學習主要以代數式、方程、不等式和函數為主，兩者的內容結構不同，解決“雞兔同籠”的方法也有所不同．在小學用算式的方法，假設35只全是雞，得到只有70只腳，根據腳數變少了，可以推算出兔的只數，還有其他學生假設35只全是兔，得到有140只腳，根據腳數變多了，也可以推算出雞的只數，這是小學常用的算術方法，這節(jié)課筆者在此環(huán)節(jié)提出一個問題：我們一定要假設全是雞，或者假設全是兔嗎？解決這個問題，能假設不全是雞，或者不全是兔嗎？比如我們可不可以假設雞有34只，兔有1只呢？試試看．

學生之前并沒有想過這個問題，感到很好奇，有的學生開始嘗試：假設有34只雞，1只兔．34×2＝68，1×4＝4，68+4=72＜94，94－72＝22，少了22只腳，說明34只雞中，把一部分兔當成了雞，由于一只兔當成雞少2只腳，22÷2＝11，所以34只雞里有11只兔當成了雞，再加上原來的1只兔，一共有12只兔，35－12＝23，所以雞有23只．有的學生接著嘗試：假設籠子里有33只雞，2只兔，用類似的方法，也得到12只兔和23只雞．

學生嘗試后，進行了思考：我們假設全是雞，假設全是兔，假設有34只雞和1只兔和假設有33只雞和2只兔，最后都能算出是23只雞和12只兔（如表1）．也就是說，無論假設有多少只雞（只要小于或等于35只），都可以得到雞有23只，兔有12只.那我們就不需要一個一個去假設了，很自然地，學生想到用字母表示數，如果假設有a只雞，那么就有（35－a）只兔．則a只雞有2a只腳，（35－a）只兔有4（35－a）只腳，用含有a的代數式來表示．

對于初一的學生來說，這雖然不是一種新的方法，但是確是一個新的提法，或者是一個新的認識，是一個新的解決問題的思路，學生會產生好奇心.不管怎么假設，都可以仿照小學的方法把它算出來，由此可知，無論對雞的只數怎么假設，結果永遠是不會變的．很自然地，學生就能從小學的計算漸漸地想到雞的只數其實是可以任意假設的，既然可以任意假設，那么可以怎么假設呢？這與初中剛學到的用字母表示數聯(lián)系起來，學生自然地會想到一種方法，假設雞有a只，兔有（35－a）只，a只雞有2a只腳，（35－a）只兔有4（35－a）只腳，全部用含有a的代數式來表示．這樣就形成了從算式到代數式非常自然的過渡．

（1）如果2a＋4（35－a）＜94，說明有一部分兔當成了雞，由于一只兔當成一只雞少2只腳，94－2a－4（35－a）＝2a－46，（2a－46）÷2＝a－23，所以有（a－23）只兔子當成了雞，再加上原來的（35－a）只兔，a－23＋35－a＝12，所以一共有12只兔．

（2）如果2a＋4（35－a）＝94，說明正好有a只雞，（35－a）只兔，直接算出a即可．

（3）如果2a＋4（35－a）＞94，說明有一部分雞當成了兔，由于把一只雞當成一只兔多2只腳，2a＋4（35－a）－94＝46－2a，（46－2a）÷2＝23－a，所以有（23－a）只雞當成了兔，再加上原來的a只雞，一共有雞23－a＋a＝23只．

然后，學生觀察（1）2a＋4（35－a）＜94；（2）2a＋4（35－a）＝94；（3）2a＋4（35－a）＞94．發(fā)現(xiàn)第（2）個最直接，最簡明．因為正好是a只雞，（35－a）只兔，第（2）個是等式，這是描述實際問題中的相等關系較為簡明的一種形式，含有等號的式子是刻畫現(xiàn)實世界數量關系的有效模型，這就是方程．這樣就形成了從代數式到方程非常自然和合理的過渡．

3.5搭“橋”的目的——銜接的整體性

把義務教育階段的核心素養(yǎng)進行有機銜接，這是教育者需要研究的一個問題.在《課標（2022年版）》中，數學課程和目標的描述強調整體性，課程目標的整體性決定了課程實施過程中，教師必須具備整體性視角，把數學學習看作具有內在一致性的整體結構.整體性視角是教師分析教材和設計學習過程的一個新的視角，可以幫助學生更好地理解學習，使得學生學得有趣、學得輕松、學得深刻．

“雞兔同籠”這節(jié)課，目的在于通過搭建小學算式到初中代數式，再到初中方程的“橋”，有了“橋”就產生了知識之間的關聯(lián)，就形成了知識的整體架構（如圖2）．教師教學沒有一個整體觀，學生對知識的學習浮于表面，不會進行融會貫通，主要原因之一就是教學的“碎片化”，忽視知識之間內在的關聯(lián)．所以，教師教學要注重知識的內在聯(lián)系，要具有整體觀，要把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，引發(fā)學生感受并體驗數學知識的整體性．

3.6搭“橋”的好處——銜接的一致性

從教材的編排來說，大多采用螺旋上升的方式編排，漸進式深入，后續(xù)知識的學習都是在先前知識學習的基礎上進行的，知識之間存在一致性．

從數學知識的角度來說，很多數學知識的學習具有一致性，比如：數與式的一致性，線段和角的一致性，三角形和四邊形的一致性，方程和函數的一致性等等．

從學生學習的角度來說，很多數學知識的學習也具有一致性，比如：“雞兔同籠”這節(jié)課，無論是從算式到代數式，還是從代數式到方程，讓學生感覺到數學的學習并不散亂，而是具有規(guī)律性和一致性．

通過算式計算和通過代數式計算是一致的，小學生從假設全是雞的計算和初中學生假設有a只雞的代數推理計算可以說是完全一致的，不同之處在于一個是數的運算，一個是式的運算；一個是具體的，一個是抽象的；一個是特殊的，一個具有一般性．

從代數式到方程的過程中，出現(xiàn)從不等式到等式，其本質也具有一致性，代數式2a＋4（35－a）與94的關系：2a＋4（35－a）＞94，2a＋4（35－a）＝94，2a＋4（35－a）＜94．發(fā)現(xiàn)只有把不等式轉化為等式，解決問題才最簡單方便，當然解不等式和解方程的過程也具有一致性．

4教學反思

“雞兔同籠”這節(jié)課，學生親歷從算式到代數式，再從代數式到方程的過程，學生積極主動去思考去探索，最后自然總結出：算式是由已知得到未知，是倒推，是逆向思維，一步只能得到一個結果，步驟比較多，比較復雜；代數式更具有一般性，它可以表示所有的假設，代數式計算和數的計算是一致的；而方程需要設未知數，找等量關系，理解題意比較容易，它把未知和已知都參與列方程中，列方程比較簡單，方程是把很多步算式進行的一個整合；用方程比較方便、簡明、清晰．這節(jié)課，無論是從算式到代數式，還是從代數式到方程，通過這樣的必要性、連續(xù)性、合理性、自然性、整體性、一致性的教學設計，學生在教學中主動去體驗和探索新問題，理解了知識間的來龍去脈，找到了知識之間的關聯(lián)，提升了學生的代數推理能力，培養(yǎng)了學生良好的學習習慣，通過搭建的一座座“橋”把學生的舊知和新知有效銜接起來．

學生的學習是教育的最終目標，也是核心目標，教師在教學過程中，遇到知識內容、目標、表述上銜接不清晰、不明確，知識銜接不自然的時候，要深挖教材，找到知識發(fā)生發(fā)展的根源，為學生搭建通往新知的“橋”，為學生的學習助力，幫助學生更好地理解數學．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2022：5-6．

[2]曹一鳴．新版課程標準解析與教學指導（2022年版）[M]．北京師范大學出版社，2022.8：12-14．

[3]萬濤．理清困惑，使教學更自然——對“因式分解”一課的教學體驗[J]．中學數學雜志，2021（12）：24-28．

作者簡介萬濤（1984—），男，安徽臨泉人，中學高級教師;南京市鼓樓區(qū)初中數學學科教學帶頭人，多次獲得南京市教育案例一等獎和鼓樓區(qū)青年教師基本功大賽一等獎;主要從事初中數學體驗教學和模式研究.

倪軍（1967—），男，江蘇寶應人，江蘇省數學特級教師，江蘇省優(yōu)秀教育工作者，江蘇省教學新時空名師課堂特聘專家，江蘇省鄉(xiāng)村教師培育站初中數學專家指導組成員;主要從事數學教育和研究工作;主持多項省重點規(guī)劃課題，發(fā)表多篇論文．