百分數(shù)“統(tǒng)計意義”的內(nèi)涵、育人價值及教學建議

劉加霞 馬曉丹 陶安慧

【摘 要】“理解百分數(shù)的統(tǒng)計意義”是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的新要求。百分數(shù)的統(tǒng)計意義表現(xiàn)在描述隨機數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系，其目的是發(fā)展學生的統(tǒng)計思維。認識確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系是理解百分數(shù)統(tǒng)計意義的前提與基礎(chǔ)，要求學生在具體的問題情境中，通過“在討論與辯論中感悟數(shù)據(jù)的隨機性；與已有的統(tǒng)計經(jīng)驗建立鏈接，感悟‘數(shù)據(jù)蘊含信息；感悟‘命中率的來源決定其可信度”來理解百分數(shù)的統(tǒng)計意義，發(fā)展統(tǒng)計思維。

【關(guān)鍵詞】百分數(shù)；統(tǒng)計意義；統(tǒng)計思維

統(tǒng)計學與數(shù)學、物理學等自然科學相比，最大的不同是統(tǒng)計學具有“容錯性”，其依據(jù)的理論、采用的方法、思維的形式，在很多情況下并不是為了尋求永恒不變的定律和準確無誤的定值（也許不存在定律和定值），而是為了從瞬息萬變的混沌世界中抽象出社會經(jīng)濟現(xiàn)象的本質(zhì)特點進行推斷和估計。

“統(tǒng)計意義”是指人們無法確定未來社會經(jīng)濟等方面的具體發(fā)展結(jié)果，只能作出概率的估計與推斷?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）中有11次提及“統(tǒng)計意義”，除2次談到“平均數(shù)的統(tǒng)計意義”、1次談到“數(shù)據(jù)的統(tǒng)計意義”外，其他幾次主要說的是“百分數(shù)的統(tǒng)計意義”?！袄斫獍俜謹?shù)的統(tǒng)計意義”是2022年版課標的重要修改之處。

那么，百分數(shù)的“意義”指什么？何謂百分數(shù)的“統(tǒng)計意義”？統(tǒng)計意義的具體表現(xiàn)是什么？學生理解百分數(shù)統(tǒng)計意義的價值是什么？教學中如何處理百分數(shù)的統(tǒng)計與非統(tǒng)計意義？理解百分數(shù)統(tǒng)計意義的教學建議有哪些？

一、當用百分數(shù)描述隨機數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系時才具有“統(tǒng)計意義”

百分數(shù)的起源可以追溯到早期的商業(yè)活動中，涉及利息、納稅和貨幣兌換等。最初百分數(shù)是作為一個具體的數(shù)量出現(xiàn)的，是“每一百個單位”對應(yīng)的具體數(shù)量。例如，百分數(shù)的意大利語為“per centro”，意思是“每一百中有多少”，后來演變?yōu)榈抡Z“procentro”，之后又演變?yōu)楝F(xiàn)代的詞語“procent”。百分數(shù)的現(xiàn)代英語單詞是“percent”，其含義愈加抽象，表示部分與整體、一個量與另一個量的倍數(shù)關(guān)系或者是兩個度量對象之間的相對大小。百分號“%”來源于15世紀的意大利商人，當貨物降價時，他們會使用一種特定的縮寫符號“PC0”，之后逐步演化為“per[00]”“[00]”，直至現(xiàn)代的“%”，才不再具有“量”的含義。也有研究者［1］舍棄百分數(shù)的現(xiàn)實意義，從“數(shù)”的角度將其定義為“繁分數(shù)（兩個分數(shù)的商）”，但這樣的定義不適用于小學階段。

百分數(shù)主要用于描述一種關(guān)系或進行比較，這里的比較既可以發(fā)生在部分與整體之間，也可以發(fā)生在不相交的兩個量之間。［2］因此，把百分數(shù)稱為百分率或百分比更能凸顯其表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系?！皟蓚€量”既可以是確定數(shù)據(jù)，也可以是隨機數(shù)據(jù)。其中，用百分數(shù)描述兩個確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系可以稱為百分數(shù)的“數(shù)學意義”。例如，某人某月工資是1000元，其中包括獎金200元，則獎金占工資總額的20%。又如，將5mL蜂蜜放到95mL的溫水中，蜂蜜占整杯蜂蜜水的5%，配相同濃度的1000mL蜂蜜水就“百分之百”地需要50mL蜂蜜。此時的百分數(shù)（濃度）不具有“統(tǒng)計意義”，它只描述蜂蜜與蜂蜜水的倍數(shù)關(guān)系，用它可以衡量蜂蜜水的甜度或濃度。這種對不具有隨機性數(shù)據(jù)的分析稱為描述性分析（描述統(tǒng)計），這里的信息是數(shù)據(jù)“自身攜帶”的，只需要描述出來，不需要進行推斷、估計等思維活動。

用百分數(shù)描述隨機數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系則是百分數(shù)的“統(tǒng)計意義”。例如，小明一共投了20個球，投中了12個，投球命中率是60%，但不能說，投10個一定命中6個，投100個一定命中60個。類似地，出勤率、合格率、發(fā)芽率等概念的獲得都要涉及抽樣或通過調(diào)查得到隨機數(shù)據(jù)，此時利用百分數(shù)進行分析、判斷或者作預(yù)測所得到的結(jié)論不能“百分之百”地成立，要考慮其具有“隨機性”。這種對隨機現(xiàn)象進行的概率估計和抽樣推斷都是百分數(shù)“統(tǒng)計意義”的具體體現(xiàn)。

百分數(shù)體現(xiàn)“倍數(shù)關(guān)系”、體現(xiàn)“程度”（百分數(shù)的“度量”含義，有統(tǒng)計含義，也有非統(tǒng)計含義），利用百分數(shù)制定“標準”（誤差程度、隨機性大?。┑榷际?022年版課標要求的內(nèi)容。尤其是學會制定標準和基于標準作出判斷，都涉及重要的數(shù)學思維，是小學數(shù)學教育的較高目標。例如，根據(jù)投籃的命中率決定誰參加比賽，如比賽獲勝的可能性大?。桓鶕?jù)科學抽樣所得到的樣本情況來推斷總體的情況，如確定某年級學生跳繩的合格標準。

制定標準與按標準做事是非常重要的兩件事，既涉及能力問題，也涉及情感態(tài)度甚至是價值觀的問題。因此，學生認識百分數(shù)要經(jīng)歷“從低到高”的三個階段，具體包括：每一百個單位所對應(yīng)的“具體量”、兩個確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系（數(shù)學意義）、兩個隨機數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系（統(tǒng)計意義）。讓學生“理解百分數(shù)的統(tǒng)計意義”對他們的思維水平要求較高，需要具有一定水平的隨機思維（或者稱為統(tǒng)計思維）能力。無論是自然現(xiàn)象還是社會經(jīng)濟現(xiàn)象，時時處處都充滿著因個體的差異性而引起的不確定性，在大多數(shù)情況下，我們?nèi)狈ψ銐虻男畔⒒蛑R去利用有效信息。但是，人們總是期望通過量化事物的不確定性去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、揭示真相，認識不確定性背后的必然性。由此就產(chǎn)生了“統(tǒng)計學”，其根本任務(wù)是探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)關(guān)系、推斷未知（由于不確定性，人們在一定概率下作出判斷）。

如果說數(shù)學給出的是唯一正確的答案，那么統(tǒng)計學給出的只是多個可選擇的答案中最有可能接近實際的結(jié)果。因此，人們需要具備統(tǒng)計思維，這是一種在獲取數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息、論證結(jié)論可靠性等過程中表現(xiàn)出來的思維模式 ［3］，具有辯證性、批判性等特點，比傳統(tǒng)的數(shù)學思維要求更高。統(tǒng)計思維是一種由經(jīng)驗到理性的認識，一種運用偶然發(fā)現(xiàn)規(guī)律的科學思維。它既是一種方法和技術(shù)，又含有世界觀的成分——認識世界的一種方式。2022年版課標將百分數(shù)的內(nèi)容調(diào)整到“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，并增加理解它的統(tǒng)計意義的要求，目的就是試圖提高學生的統(tǒng)計思維水平，但這在小學階段的難度很大。

二、“百分數(shù)”的重要育人價值在于提高學生的統(tǒng)計思維水平

百分數(shù)的學習不是在傳遞如何把結(jié)果轉(zhuǎn)化為分數(shù)的孤立規(guī)則，而是把百分數(shù)與更廣泛地理解數(shù)學思想或者自身的經(jīng)驗聯(lián)系起來。［4］雖然《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）也強調(diào)了數(shù)據(jù)意識以及隨機性，但教材中有關(guān)“對數(shù)據(jù)的需要”和“變異”兩個維度的內(nèi)容所占的比例卻非常低，教學時，教師也更多地從習題的表層要求出發(fā)，而忽視了滲透其中的數(shù)據(jù)意識以及隨機性認識。［5］小學階段的統(tǒng)計教學以統(tǒng)計知識與方法為基本內(nèi)容，在此過程中培養(yǎng)學生的統(tǒng)計思維甚至統(tǒng)計思想，2022年版課標在小學階段強調(diào)“數(shù)據(jù)、平均數(shù)、百分數(shù)的統(tǒng)計意義”即是為了實現(xiàn)這個目標。然而，在初中階段卻沒有提及“統(tǒng)計意義”，其在“內(nèi)容要求”和“學業(yè)要求”中提到的都是統(tǒng)計知識與方法，反而小學階段的要求“更高”一些。因此，筆者認為初中階段也應(yīng)該提出“理解統(tǒng)計意義”的要求，而不只是學習統(tǒng)計知識與方法。

統(tǒng)計學家C.R.勞指出：“對統(tǒng)計學的一知半解，常常造成不必要的上當受騙；對統(tǒng)計學的一概排斥，往往造成不必要的愚昧無知。統(tǒng)計學是人類探究真理時必不可少的工具?！保?］其基本邏輯就是統(tǒng)計學提供專門的方法幫助人們通過量化事物的不確定性去不斷產(chǎn)生新的知識，從而發(fā)現(xiàn)或接近真理。人們從經(jīng)驗或?qū)嶒炛兴@取的知識是含有不確定性的，統(tǒng)計學關(guān)注的是這些知識當中所含不確定性的度量問題。一旦能得到不確定性的度量，人們的知識就得到擴充，對世界的認知就朝前跨越。這個過程在人類知識積累的進程中不斷重復(fù)。

克萊因在《西方文化中的數(shù)學》一書中虛構(gòu)了“決定論先生”和“概率論先生”，以對話的方式探討“無序的宇宙：用統(tǒng)計觀點看世界”，最終得出結(jié)論：宇宙是無序的，科學、社會經(jīng)濟方面所得出的相關(guān)原理、定律等只不過在“統(tǒng)計學意義（通過數(shù)據(jù)而得到的規(guī)律）”上成立，唯一的真理就是“沒有絕對的真理”。從“統(tǒng)計的角度”看問題，可稱之為“統(tǒng)計思維”。它具有辯證性，即從偶然中發(fā)現(xiàn)必然但又不能“百分之百”地相信“必然”，屬于人類的高級思維。對小學生甚至初中生而言都較難形成，但又非常重要。我國歷次義務(wù)教育數(shù)學課程標準對其“要求”也較為“糾結(jié)”。例如：《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中提出的是“統(tǒng)計觀念”；2011年版課標將“統(tǒng)計觀念”改為了“數(shù)據(jù)分析觀念”；2022年版課標在小學階段將其改為“數(shù)據(jù)意識”，并且特別強調(diào)“統(tǒng)計意義”，初中階段則采用“數(shù)據(jù)觀念”。這些修改反映了統(tǒng)計思維是一種非常重要卻又難以培養(yǎng)的思維能力。

統(tǒng)計思維比形象思維和邏輯思維更為復(fù)雜，它是人們自覺地運用數(shù)據(jù)對客觀事物的數(shù)量特征和發(fā)展規(guī)律進行描述、分析、判斷和推理的一種思維方式。數(shù)據(jù)要盡可能地排除人為干擾和系統(tǒng)誤差，這樣通過統(tǒng)計推斷所得到的結(jié)果才能“更好”，但所得出的結(jié)論并沒有“對錯”之分。這與數(shù)學結(jié)論具有唯一性、確定性等的特征不同，也是統(tǒng)計思維與數(shù)學思維的本質(zhì)區(qū)別，由此也可以看出在小學階段培養(yǎng)學生的統(tǒng)計思維非常有難度。但是，統(tǒng)計思維的習慣要從早期學習就開始培養(yǎng)［7］，即使有困難也要在日常教育教學中逐步滲透，否則成年后會更難。

總之，統(tǒng)計思維的基本思維方式是歸納推理。例如，所獲得的一些數(shù)據(jù)既有差異性，又有規(guī)律性。數(shù)據(jù)越多（不同樣本類別、樣本容量），其規(guī)律性越明顯，所獲得的規(guī)律也越“可靠”。所以，統(tǒng)計思維本質(zhì)上是證據(jù)思維，是辯證思維和邏輯思維的綜合體，但辯證思維的特征更明顯，而不是“非黑即白”的二元式邏輯性、因果性思維。在數(shù)學學習過程中一直滲透“統(tǒng)計思維”，浸潤式地培養(yǎng)學生的統(tǒng)計思維是非常必要的，這對教師的數(shù)學專業(yè)能力、教學能力也提出了更高的要求。

三、“理解百分數(shù)的統(tǒng)計意義”的教學建議

認識“百分數(shù)”重在讓學生感悟運用百分數(shù)衡量兩個量之間相對大小的必要性、理解百分數(shù)的含義以及初步感悟百分數(shù)的統(tǒng)計意義。通常在教學“百分數(shù)”時，教師會創(chuàng)設(shè)比較“絕對量（如投中球的數(shù)量、森林面積等）”與“程度量（如命中率、森林覆蓋率等）”等問題情境，幫助學生體會用百分數(shù)進行比較的必要性。但在這些問題情境中，學生所理解的仍然是百分數(shù)的“數(shù)學意義”，而不是它的統(tǒng)計意義。他們?nèi)匀皇前凑铡懊恳话賯€投中多少個”來理解用百分數(shù)描述命中率，進而理解百分數(shù)可以表示投中的次數(shù)與所投總數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系的。雖然按這種方式教學，學生會“認可”百分數(shù)不是教師“告知的”，而是通過比較分母是20、100、200等數(shù)時逐步感悟得到的。學生這樣理解的根本原因是“十進制”思想在他們心目中“根深蒂固”，他們認可用“百分數(shù)表達倍數(shù)關(guān)系”便于比較、便于作判斷和下結(jié)論。但是這樣的教學并沒有讓學生理解百分數(shù)的統(tǒng)計意義。那么，如何讓學生理解百分數(shù)的統(tǒng)計意義呢？

（一）在討論與辯論中感悟數(shù)據(jù)的隨機性

“統(tǒng)計”的研究對象主要是隨機事件，并通過對隨機事件展開調(diào)查或試驗得到隨機數(shù)據(jù)。隨機數(shù)據(jù)包括兩類：一是完全隨機狀態(tài)，即概率試驗所得到的數(shù)據(jù)，例如拋硬幣、擲骰子試驗所得到的數(shù)據(jù)；二是來自現(xiàn)實的數(shù)據(jù)，具有一定的隨機性，但又不完全隨機，屬于半隨機狀態(tài)。完全隨機和完全不隨機的數(shù)據(jù)，屬于數(shù)學研究或數(shù)學闡釋的范疇，半隨機的數(shù)據(jù)則由于歷史原因歸于統(tǒng)計研究領(lǐng)域。隨機性與不確定性不一樣，當然二者之間也有一定的關(guān)系，有的不確定性事件具有隨機性，有的則不具有隨機性。例如，本周日午餐“可能吃魚”，該事件具有不確定性，但它不具有隨機性，周日是否吃魚可以由“媽媽”決定。對數(shù)據(jù)隨機性的價值認識較晚的原因是“對其研究的難度很大”，研究者很難對“數(shù)據(jù)隨機性”的內(nèi)涵給出操作性定義，而且很難弄清楚學生理解數(shù)據(jù)隨機性的過程。

以“命中率”為例，學生在理解百分數(shù)便于比較、能夠刻畫兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系之后，還需要進一步認識投球所得到的數(shù)據(jù)具有隨機性。為突破學生已有的確定性思維的定式，教師需要引導學生從“統(tǒng)計”的角度認識“百分數(shù)”，即所得到的命中率只是“統(tǒng)計意義”上的命中率，不具有“確定的因果關(guān)系”。比如，命中率60%并不意味著“投10個球一定命中6個”。因此，在教學“百分數(shù)”的過程中，教師要激發(fā)學生展開討論與辯論：“假如再比賽一場，命中率一定是60%嗎？”“既然命中率不是確定的，那么推薦誰去參加比賽呢？”……這就要求學生“能夠根據(jù)情境，利用統(tǒng)計知識進行批判性的質(zhì)疑，并用統(tǒng)計語言進行表達與解釋”［8］。

教學“百分數(shù)”的統(tǒng)計意義時，要讓學生知道在現(xiàn)實世界中隨機現(xiàn)象普遍存在，感知隨機現(xiàn)象的基本特征：可能發(fā)生，也可能不發(fā)生；可能以這樣的程度發(fā)生，也可能以那樣的程度發(fā)生。還要讓學生感知許多隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小是可以預(yù)測的。統(tǒng)計思維就是用部分數(shù)據(jù)推斷總體情況，不能保證“百分之百”正確，但要保證出錯的可能性盡可能小。這種根據(jù)數(shù)據(jù)作出推斷的方式就是統(tǒng)計的本質(zhì)。

（二）與已有的統(tǒng)計經(jīng)驗建立鏈接，感悟“數(shù)據(jù)蘊含信息”

一般而言，我們說“百分位數(shù)是一類統(tǒng)計量”，但不說“百分數(shù)是統(tǒng)計量”。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、方差、標準差等都可稱為“統(tǒng)計量”，能夠描述一組數(shù)據(jù)的“集中趨勢（集中量數(shù)）”或“離散趨勢（差異量數(shù)或變異量數(shù)）”。百分位數(shù)是百分位所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，即將一列數(shù)據(jù)由小到大（或由大到?。┡帕?，第一個數(shù)據(jù)就是第1百分位數(shù)，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)。要特別指出的是，第一個四分位數(shù)就是這組有順序數(shù)據(jù)中第25%所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，第二個四分位數(shù)就是中位數(shù)，第三個四分位數(shù)就是第75%所對應(yīng)的數(shù)據(jù)。

雖然不說“百分數(shù)”是統(tǒng)計量，但是“百分數(shù)”的教學能夠與統(tǒng)計量的教學建立聯(lián)系。二者都通過對原始數(shù)據(jù)進一步加工獲得“新數(shù)據(jù)（即原始數(shù)據(jù)蘊含的信息）”，再根據(jù)數(shù)據(jù)所蘊含的信息作出合理的決策。比如，在“推薦參賽選手”的問題上，僅從投籃“命中次數(shù)”這一個量是不能獲得有效信息的?！懊写螖?shù)”僅在數(shù)量上具有可比性，但在統(tǒng)計意義上是不可比的。學生最直接的感受是“僅比較投中次數(shù)是不公平的，我們并不清楚他們各投籃多少次”?？梢?，學生需要從兩個量建立的關(guān)系（“投籃次數(shù)”與“命中次數(shù)”的倍數(shù)關(guān)系）中挖掘數(shù)據(jù)蘊含的信息。

“百分數(shù)”教學能否喚起學生學習統(tǒng)計量時的相關(guān)經(jīng)驗?zāi)兀吭趯W習“平均數(shù)”時，學生曾有過質(zhì)疑“公平”的經(jīng)歷。而在比較兩個小組的投籃水平時，直接比較兩個小組“投中總數(shù)”的做法也是不公平的。所以，學生需要從“投中總數(shù)”與“人數(shù)”的等分關(guān)系里挖掘數(shù)據(jù)信息。“百分數(shù)”和“平均數(shù)”都不是根據(jù)一個量的大小判斷事物的程度的，而是通過相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系挖掘有效信息，進而作出更加客觀的判斷。它們的共性是把統(tǒng)計意義下不可比的數(shù)據(jù)變得具有可比性，為合理決策提供重要依據(jù)。

（三）讓學生感悟“命中率的來源”決定其可信度

如前所述，學生已經(jīng)通過研討交流感受到，利用“投中的數(shù)量”不能做決策，利用“命中率”更科學，感悟到百分數(shù)這一概念產(chǎn)生的必要性。此外，還需要讓學生初步了解怎樣求得的“命中率”更可信，利用其作出的決策更可靠。統(tǒng)計思維需要超越數(shù)據(jù)本身，并與數(shù)據(jù)的來源背景進行連接。［9］

例如，教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：從甲、乙、丙3人中選1人參加投籃比賽，甲的命中率是100%，乙的命中率是90%，丙的命中率是80%。從命中率高低來看，當然選甲參加比賽，但是，甲參加比賽卻輸了。學生會很自然地反問：“命中率100%怎么會輸呢？”他們還會追問：“甲的命中率100%是怎么得來的？”教師告知學生選拔賽的過程：原來，選拔賽時，甲只投了1個球，結(jié)果投中了，命中率100%；乙投了10個球，投中了9個，命中率90%；丙投了50個球，投中了40個，命中率80%。這時教師提問：你會相信誰的“命中率”？學生可能會說：當然是丙的。

前述教學情境的討論真正涉及事件發(fā)生的隨機性問題。隨機性主要體現(xiàn)在兩方面：一是對于同樣的事件每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同。如讓甲投籃1次，投中1次，命中率100%；另一次預(yù)賽，讓他投籃10次，投中6次，命中率60%。哪個“命中率”能代表他的水平呢？很難說。只有當他投籃的次數(shù)更多一些，才能發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”。二是只有擁有足夠多的數(shù)據(jù)才可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如讓甲投籃50次，投中29次；投200次，投中122次；投500次，投中300次……乃至投更多的次數(shù)。這時可以說，他的投籃命中率大約是60%，此時的“命中率”才能代表他的投籃水平，使用這個“命中率”作判斷、作預(yù)測才能“更準”。此外，還有一個基本假設(shè)：人的投籃水平基本是穩(wěn)定的，但也會受偶然因素的影響。因此，一個人的投籃命中率是60%，決不能說“投100次肯定投中60次”。然而，在真正比賽時，兩個人的命中率分別是50%和60%，仍會派命中率60%的人參加比賽，因為他獲勝的可能性更大。所以在理解百分數(shù)統(tǒng)計意義時，不要簡單地被百分數(shù)所迷惑，而要考查百分數(shù)背后的統(tǒng)計過程。

推斷統(tǒng)計的核心是通過已經(jīng)歷過的事件來推斷未經(jīng)歷過的事件，或者說通過樣本推斷總體。因此，抽樣問題至關(guān)重要，但小學階段的統(tǒng)計內(nèi)容中只是略有涉及，初中階段更應(yīng)該提出“理解統(tǒng)計意義”的要求。統(tǒng)計分析的過程是一個循序漸進的過程，它既容忍誤差的存在，又在認識過程中不斷控制和降低誤差，同時還及時對分析結(jié)論進行評估。因此，“理解百分數(shù)的統(tǒng)計意義”很難，需要學生辯證地看待存在的“現(xiàn)象或事實”，從“統(tǒng)計角度”看待事件發(fā)生的過程與結(jié)果。

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（1.北京教育學院數(shù)學與科學教育學院

2.吉林省敦化市黃泥河鎮(zhèn)中心小學校）