透析數(shù)學(xué)本質(zhì),彰顯思維活力

包高宏

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)教學(xué)要突出本質(zhì)，弱化細(xì)節(jié)，才能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中彰顯思維活力. 教學(xué)中教師要依據(jù)教學(xué)目標(biāo)創(chuàng)新教學(xué)模式，圍繞學(xué)科核心素養(yǎng)開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，在探究學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，不斷提升思維活力，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)本質(zhì);思維活力;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是一門磨煉思維，提高學(xué)生邏輯推理能力的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)是提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的思維品質(zhì). 思維能力的提高要在體驗(yàn)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)，因此開展教學(xué)活動(dòng)是教學(xué)過程中的必要環(huán)節(jié)，教學(xué)活動(dòng)不僅是教師的事情，還需要學(xué)生積極參與. 那么，課堂熱熱鬧鬧，學(xué)生積極發(fā)言，是否就能說明這是一次成功的教學(xué)活動(dòng)呢？筆者認(rèn)為不然，熱鬧的氣氛體現(xiàn)的只是一節(jié)課的外在形式，一節(jié)課的目標(biāo)是否實(shí)現(xiàn)歸根結(jié)底要看學(xué)生的思維是否得到了發(fā)展，學(xué)生在課堂上是否有了深入思考，在課堂上是否迸發(fā)了思維碰撞的火花，只有教學(xué)過程充滿學(xué)生的思維活動(dòng)，才能彰顯課堂的生命力[1]. 數(shù)學(xué)教學(xué)歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，一節(jié)課表面看起來非常安靜，但只要學(xué)生在課堂上能夠積極思考，就是一節(jié)有活力的課堂. 數(shù)學(xué)課的活力指的是課堂上師生、生生之間的思維碰撞.

問題背景

新課程改革進(jìn)行得如火如荼，深入人心，廣大數(shù)學(xué)教師對于教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，課堂教學(xué)返璞歸真，實(shí)現(xiàn)思維活動(dòng)的深入，努力揭示數(shù)學(xué)概念、定義、結(jié)論后的本質(zhì)特征都有了統(tǒng)一認(rèn)知，但是在實(shí)際教學(xué)過程中卻存在著各種偏差，部分教師沒有真正理解新理念的本質(zhì)，只是停留在課堂表面“新的形式化”，新理念只有形式，沒有落實(shí)本質(zhì)，所以課堂教學(xué)只留下了表面上的熱鬧，實(shí)則學(xué)生并沒有真正理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

數(shù)學(xué)教學(xué)的形式化體現(xiàn)在諸多方面，如學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)停留在表面的記憶和技能操作上，沒有理解數(shù)學(xué)本質(zhì). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)主體是數(shù)學(xué)內(nèi)容（本質(zhì)），形式是服務(wù)于內(nèi)容的，但有些教學(xué)活動(dòng)，形式卻大于內(nèi)容. 在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，教師過分注重形式化的東西，滿足了表面的形式化創(chuàng)新，卻弱化了數(shù)學(xué)最核心的內(nèi)容.

過分注重“細(xì)節(jié)”，帶來的只是課堂表面上的熱鬧，這反而造成了學(xué)生對于數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的偏差，導(dǎo)致學(xué)生過分關(guān)注與實(shí)際問題關(guān)系不大的表面現(xiàn)象，或者是形式上的數(shù)學(xué)表達(dá)方法. 學(xué)生在這些細(xì)節(jié)上分散了過多的精力，導(dǎo)致其容易忽視數(shù)學(xué)本質(zhì)，舍本逐末，主次顛倒. 為改變這種現(xiàn)象，教學(xué)時(shí)教師要對外在形式上的內(nèi)容做淡化處理，不要過分強(qiáng)調(diào)，而應(yīng)該著重關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)課堂活力.

突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，彰顯課堂活力

1. 淡化非核心概念，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)

概念、定理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，教學(xué)中教師要處理好核心概念與非核心概念之間的關(guān)系. 非核心概念是指一些描述性或過渡性的概念，它們對于學(xué)生理解核心概念具有重要價(jià)值，但是在教學(xué)中它們起到的只是輔助功能，不能喧賓奪主. 數(shù)學(xué)核心概念或定理與許多要素有著千絲萬縷的聯(lián)系，如果處理不好，主次顛倒，就會(huì)削弱學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握，難以深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì)[2].

案例1 “函數(shù)零點(diǎn)存在”的教學(xué)

函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根.

筆者曾聽過一次公開課，有位年輕的教師講授函數(shù)零點(diǎn)概念與方程根之間的關(guān)系時(shí)非常順暢，但是解釋函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)進(jìn)行了過度延伸. 他認(rèn)為這一定理還不夠嚴(yán)謹(jǐn)和完善，特別對定理中描述的“一條連續(xù)不斷的曲線”有異議，于是用了大量的時(shí)間給學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)闡述.

師：函數(shù)零點(diǎn)存在定理中要求函數(shù)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，其中的“連續(xù)不斷”滿足什么特征，你們知道嗎？

生1：我覺得有兩層含義，一是連續(xù)，二是不斷.

師：很好，除了這兩層含義，還有其他意思嗎？

生2：“連續(xù)”表示圖象連接在一起，而“不斷”則是不分開的意思.

師：你的解釋是正確的. 大家討論交流一下，我們能否用數(shù)學(xué)思維和表達(dá)將“連續(xù)不斷”的含義再深入解釋一下.

……

接下來，該教師對“不斷”的含義就三類間斷點(diǎn)配上圖形進(jìn)行了細(xì)致的分類解釋，最后還對函數(shù)圖象在閉區(qū)間[a，b]的兩個(gè)端點(diǎn)處連續(xù)做了補(bǔ)充解釋. 此時(shí)課堂越來越安靜，大部分學(xué)生已經(jīng)游離于課堂之外.

教學(xué)目標(biāo)要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情確定，事實(shí)上在這一時(shí)期提出函數(shù)零點(diǎn)存在定理，其目標(biāo)是讓學(xué)生理解定理的本質(zhì)，即當(dāng)函數(shù)y=f（x）的圖象在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)不斷的情況下，只要f（a）f（b）<0，就存在零點(diǎn). 因此在學(xué)生對函數(shù)知識認(rèn)識有限的情況下，對于函數(shù)零點(diǎn)存在的前提，只需要學(xué)生了解是什么就可以了，不需要進(jìn)行精確的描述. 該教師在教學(xué)中出現(xiàn)的問題，不是自己對知識的研究不夠深入，而是沒有依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)，合理地設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)致拓展過度，超出了學(xué)生的認(rèn)知能力，反而適得其反[3].

在函數(shù)零點(diǎn)存在定理中，前提是函數(shù)圖象是一條“連續(xù)不斷”的曲線，作為高一的學(xué)生只需要了解這個(gè)前提即可. 這一前提對于理解定理的本質(zhì)來說只是一個(gè)“細(xì)節(jié)”，不屬于核心概念，因此不需要教師對這個(gè)非核心概念進(jìn)行過多解釋，只需要學(xué)生能根據(jù)常識認(rèn)識曲線連續(xù)不斷就可以了，這樣反而有利于學(xué)生將注意力放在數(shù)學(xué)本質(zhì)上. 本節(jié)課中，該教師在解釋定理上雖然追求嚴(yán)謹(jǐn)，但是超出了學(xué)生的認(rèn)知能力，超出了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，因此學(xué)生難以參與課堂活動(dòng)，教學(xué)目標(biāo)自然難以落實(shí).

2. 淡化“嚴(yán)謹(jǐn)”證明，注重本質(zhì)思路

公式的推導(dǎo)和證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的一部分. 在推導(dǎo)與證明的過程中，教師要先帶領(lǐng)學(xué)生厘清主要推導(dǎo)思路，再逐步完善證明過程，如果過分關(guān)注過程的完整性，要求推導(dǎo)過程一步到位，容易使學(xué)生只關(guān)注規(guī)范的證明過程，而忽視數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì).

案例2 推導(dǎo)兩角差的余弦公式

關(guān)于兩角差的余弦公式的推導(dǎo)可以利用單位圓中的三角函數(shù)線進(jìn)行，也可以利用向量知識進(jìn)行. 但利用向量知識推導(dǎo)兩角差的余弦公式更容易讓學(xué)生理解，教學(xué)中教師一般會(huì)采用這種方法. 下面展示一位教師講解這一內(nèi)容的教學(xué)實(shí)錄.

師：如果現(xiàn)在我們不限制角的取值范圍，那么可以擴(kuò)大到什么范圍呢？

生（齊）：可以是任意角.

師：在公式cos（α-β）中的α和β是任意角，那么α和β的差有哪些可能呢？

生（齊）：α和β的差有多種可能，但它仍然是一個(gè)任意角.

師：對此，我們能不能進(jìn)行分類討論，以更加明確幾種不同的情況呢？

學(xué)生先思考，再相互交流，接著發(fā)表各種看法，教師最后總結(jié). 根據(jù)任意角的誘導(dǎo)公式確定分為兩類，一類是α-β∈[0，π]，另一類是α-β?[0，π]，但教師沒有說明不以0

，或[0，2π]為分類標(biāo)準(zhǔn)的原因. 接下來，師生一起在這兩類情況下探究如何使用向量知識推導(dǎo)兩角差的余弦公式，推導(dǎo)完成后便開始應(yīng)用該公式.

可以說課堂教學(xué)氣氛熱烈，學(xué)生發(fā)言積極，教學(xué)活動(dòng)參與度非常高，然而課堂教學(xué)結(jié)束后在學(xué)生的問卷反饋中，對“推導(dǎo)cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ這個(gè)公式采用了什么方法”這一問題，表明只對角的分類有較深的印象. 這個(gè)答案讓大家大吃一驚，學(xué)生似乎對向量知識推導(dǎo)兩角差的余弦公式?jīng)]有印象，只記得分類討論角的不同類型，很顯然教學(xué)目標(biāo)出現(xiàn)了偏離. 這一教學(xué)片段中，學(xué)生之所以沒有掌握兩角差余弦公式的推導(dǎo)方法，究其原因是教師在教學(xué)中突出了內(nèi)容細(xì)節(jié)，而忽略了內(nèi)容本質(zhì)，使推導(dǎo)思路和推導(dǎo)過程本末倒置.

推導(dǎo)兩角差的余弦公式選擇的是向量數(shù)量積的定義，因?yàn)檫@一推導(dǎo)方法較為簡潔. 通過向量數(shù)量積的定義知道兩向量的夾角α-β的取值范圍只能是[0，π]，因此在推導(dǎo)過程中需要分為α-β∈[0，π]與α-β?[0，π]兩類，這是自然聯(lián)想的結(jié)果. 但這個(gè)教學(xué)片段中教師重點(diǎn)討論的是如何將角進(jìn)行分類，以凸顯證明的嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)，這樣的證明過程使學(xué)生忽視了公式本身的推導(dǎo)過程，不符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣和特點(diǎn)，因此學(xué)生對公式的推導(dǎo)方法沒有深刻的印象，只是掌握了角的分類. 在推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程中，應(yīng)該弱化角的分類討論（這是推導(dǎo)過程中的細(xì)枝末節(jié)），弱化非核心的內(nèi)容細(xì)節(jié)，突出向量知識推導(dǎo)公式的本質(zhì)思路.

教學(xué)用書強(qiáng)調(diào)向量知識推導(dǎo)兩角差的余弦公式中提出了幾個(gè)需要關(guān)注的要點(diǎn)，其中一點(diǎn)就是在探索過程中不要著重一步到位，應(yīng)該抓住問題核心探討推導(dǎo)思路，然后再進(jìn)行反思，完善推導(dǎo)過程，其中包括對角的分類討論和誘導(dǎo)公式的完善. 因此對數(shù)學(xué)一般性問題的探索，都應(yīng)依據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，對“嚴(yán)謹(jǐn)”性進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡?，以做到詳略得?dāng)，突出重點(diǎn).

總之，課堂教學(xué)中如果沒有抓住本質(zhì)內(nèi)容，只有表面上的熱鬧氛圍，就無法實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維發(fā)展的目標(biāo).

3. 淡化非必要“情節(jié)”，注重情境創(chuàng)設(shè)本質(zhì)

數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，因此創(chuàng)設(shè)情境是教學(xué)中的必要環(huán)節(jié)，然而在實(shí)際教學(xué)中，情境的創(chuàng)設(shè)有時(shí)是為了創(chuàng)設(shè)而創(chuàng)設(shè)，沒有考慮這一情境對于教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)是否真正有作用. 毋庸置疑，好的情境能夠增強(qiáng)課堂的趣味性，有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但能否讓學(xué)生真正參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中去，還需要教師理解教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，并長時(shí)間保持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 目前，數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境的情況越來越普遍，但也出現(xiàn)了隨意捏造、只重趣味不重實(shí)質(zhì)、脫離實(shí)際的情況. 下面展示某位教師教學(xué)“隨機(jī)事件概率”時(shí)引入的部分情境.

案例3 “隨機(jī)事件概率”的教學(xué)

在一次公開課中，筆者聽取了執(zhí)教教師在講解隨機(jī)事件概率時(shí)，創(chuàng)設(shè)的一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境：第二次世界大戰(zhàn)期間，在1943年以前，英美聯(lián)軍被德軍的潛艇在大西洋重挫，已經(jīng)沒有反抗的力量. 為了解決困境，美國海軍專門請教幾位數(shù)學(xué)家應(yīng)該怎么辦，數(shù)學(xué)家通過運(yùn)算概率的方法進(jìn)行分析，艦艇的相遇是一個(gè)有規(guī)律性的隨機(jī)事件，可以通過擴(kuò)大海軍艦隊(duì)的規(guī)模，來穿過危險(xiǎn)海域，結(jié)果英美艦隊(duì)被襲擊的概率大大下降了，保證了物資的及時(shí)供應(yīng). 這是為什么呢？

這一情境引起了學(xué)生極大的興趣，從歷史到數(shù)學(xué)，除了討論第二次世界大戰(zhàn)的事件，學(xué)生還學(xué)習(xí)了概率知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識在實(shí)際情境中的廣泛運(yùn)用，同時(shí)又充滿了趣味性. 但是當(dāng)大家反思這節(jié)課時(shí)，出現(xiàn)了疑問：這一情境對于學(xué)生理解隨機(jī)事件的概率有多大幫助呢？由于情境的內(nèi)容較為豐富，導(dǎo)致學(xué)生的思維被很多非本質(zhì)的情節(jié)所糾纏，遠(yuǎn)離了本課的內(nèi)容主體. 情境的創(chuàng)設(shè)是必須的，但是要注意揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，體現(xiàn)數(shù)學(xué)味道.

數(shù)學(xué)教學(xué)中還存在著各種各樣的活動(dòng)形式，雖然有的課堂看起來非常熱鬧，但是其實(shí)質(zhì)對學(xué)生的思維發(fā)展沒有啟發(fā)，也未體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì). 教學(xué)中教師只有從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，以富有思考性的問題引導(dǎo)學(xué)生，才能讓課堂真正迸發(fā)出思維的火花，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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