從“圓的面積”教學中培養(yǎng)學生幾何直觀能力

朱文靜

［摘 ?要］ 幾何直觀是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出的核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，文章主要結(jié)合“圓的面積”這一課，從動手操作實驗，積累直觀經(jīng)驗；利用信息技術(shù)，感悟直觀想象；建立知識網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建幾何框架這三方面，談談如何通過課堂教學來落實學生的幾何直觀的能力，發(fā)展學生的空間觀念。

［關(guān)鍵詞］ 幾何直觀；空間想象；極限思想

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中，將核心素養(yǎng)的表現(xiàn)分為數(shù)學眼光、數(shù)學思維、數(shù)學語言三個維度，其中，將幾何直觀放在了發(fā)展學生的數(shù)學眼光中來達成。幾何直觀主要是指“運用圖表描述和分析問題的意識與習慣……幾何直觀有助于學生把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”。它可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。作為一線教師，該如何在課堂上落實幾何直觀這一核心素養(yǎng)呢？本文嘗試著做一些探索。

【教學情景描述】

“圓的面積”的教學是小學階段最后一個平面圖形面積的教學。在前面的學習中，學生已經(jīng)學習過長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的面積計算，積累了一些有關(guān)面積轉(zhuǎn)化、公式推導的學習經(jīng)驗和方法。因此，對于平面圖形面積的學習，學生是不陌生的。但是，前面學習的平面圖形都是直線圖形，而圓是曲線圖形，從研究直線圖形到研究曲線圖形，思想上和方法上都有變化，對學生而言是一種能力的跨越。

一、動手操作實驗，借形明理，積累直觀經(jīng)驗

如何將曲線圖形轉(zhuǎn)化為以前學過的知識進行研究，這是本節(jié)課的重點與難點，教師要讓學生在動手操作中去實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，直觀地展示新圖形轉(zhuǎn)化為舊圖形的全過程，借形明理，進而經(jīng)歷整個過程。

片段一：交流探究思路，明確“轉(zhuǎn)化”的方法

教師將圓形紙片貼于黑板。

師：同學們，結(jié)合你們以前的學習經(jīng)驗，想一想，你們準備怎樣去研究圓的面積呢？

生1：把圓轉(zhuǎn)化為其他圖形進行探究。

教師環(huán)顧全班，大部分學生點頭同意，達成共識。

師：回憶一下，我們已經(jīng)學過了哪些平面圖形？

生2：長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形……

師：對。那我們在轉(zhuǎn)化的時候是不是可以朝著這些圖形去思考呢？

生（齊）：是的。

師：不錯，你們已經(jīng)知道了一種重要的數(shù)學思想方法，就是把新知轉(zhuǎn)化為舊知來進行學習。

這時，教師稍作停頓，故作很為難的樣子。

師：同學們，看看圓，再看看這些圖形，想把圓形轉(zhuǎn)化成學過的這些圖形……

學生也陷入思考，感覺有困難。一位學生大聲說出了大家的心聲。

學3：有困難。

師：什么困難？

生3：圓的邊是圓圓的，而以前學過的圖形的邊都是直的。

師：你們的意思是把圓這個曲線圖形轉(zhuǎn)化成直線圖形，感覺有困難。

教師在黑板上板書：曲—直？

師：這樣，同學們，老師為你們準備了一張圓片，咱們可以先自己試一試、折一折，看能不能解決這個難題。

學生用圓片自己嘗試“化曲為直”，并上臺展示自己的思考過程。

師：我們一起來看看這兩位同學的。

生1：我通過折，把圓轉(zhuǎn)化成了直線圖形，打開一看，面積發(fā)生了變化，變小了，所以這種方法行不通。

生2：我是沿直徑對折、對折，再對折，得到了一個圖形，很像三角形。

師：對呀，這個同學沿著直徑對折、對折，再對折，就可以把這個圓分成偶數(shù)等份，打開后，大家觀察，他得到了一個什么圖形？

生（齊）：得到了許多三角形，準確說是許多近似的三角形。

這時，教室里氣氛活躍起來，學生都覺得將圓轉(zhuǎn)化為以前學過的圖形是可行的。

師：咱們再打開看看，這樣就把圓平均分成了很多個近似的三角形，面積沒有變，但還不是直線圖形。接下來，怎么辦？

一位學生踴躍站起來，提出他的想法。

生4：可以把這些近似的三角形，剪下來，重新進行拼組，看能不能拼成直線圖形。

師：根據(jù)這位同學的思路，我們再繼續(xù)研究下去，可能會有新的發(fā)現(xiàn)。

設(shè)計意圖：理論和實踐都告訴我們，小學生生成幾何直觀觀念的主要途徑是觀察與操作。學生先通過觀察發(fā)現(xiàn)圓與以前學過的平面圖形的不同，再通過自己動手折一折去找到將曲線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形的可行辦法，從而突破難點。

二、利用信息技術(shù)，直觀想象，感受極限思想

在學生動手操作完成后，會發(fā)現(xiàn)將圓沿著直徑分出的份數(shù)越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。于是，教師利用信息技術(shù)，帶領(lǐng)學生展開直觀想象，感受極限思想。

片段二：直觀想象，感受極限思想

課件展示8等分拼圖、16等分拼圖、32等分拼圖、64等分拼圖。

師：其實剛才同學們做的是把圓等分成8份和16份后拼成的圖形。

師：如果分的份數(shù)更多一些呢？

師：先看看把圓平均分成32份，再看看把圓平均分成64份。

學生看著課件上的圖形變換，發(fā)出陣陣驚嘆聲。

師：看看這些拼成的圖形，你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：分的份數(shù)越多，拼起來就越像長方形。

師：剛才你們拼出的是近似的平行四邊形，現(xiàn)在怎么看起來越來越像長方形了。

生6：分的份數(shù)越多，拼成的上下兩條線越來越直。

師：你的觀察真細致，感受到了上下兩條線的變化趨勢。

生7：左右兩條線傾斜度越來越小。

師：你感受到了左右兩條線的變化趨勢，你真行。

師小結(jié)：分的份數(shù)越多，拼成的圖形的上下兩條曲線越來越接近一條直線，左右兩條線也在慢慢發(fā)生變化，所以越來越接近一個長方形。

師：但現(xiàn)在是一個長方形嗎？它還只是一個近似的長方形。

師：如果再繼續(xù)等分下去，請大家閉眼想象，它會拼成一個什么圖形？

全班學生閉眼想象。

師：把一個圓平均分成128份，拼成了什么圖形，256份呢？無限等分下去，分成無數(shù)份，拼出了什么圖形？

有的學生回答：長方形；還有的學生認為：近似的長方形。

學生辯論起來。

生（齊）：如果分的份數(shù)越多，上下兩條邊就越來越直了，最終都會成為一條直線。

師：同學們太了不起了，你們體會到了越分越多的精髓，慢慢地它會越來越接近一個長方形。也就是說把圓等分成無限多份，再重新組合，它就會成為一個長方形了。

……

師：同學們，剛才大家先通過動手操作，再通過閉眼想象，把圓進行無限分，就將其轉(zhuǎn)化成了一個長方形，這樣，我們便成功地解決了“化曲為直”的困難。這種“無限分”和“化曲為直”的極限思想對你們以后的學習有重要的幫助。

設(shè)計意圖：利用現(xiàn)代教育技術(shù)手段將圓沿著直徑無限等分后拼成近似長方形的過程演示出來，將轉(zhuǎn)化的過程可視化，生動的畫面讓學生腦洞大開。緊接著，讓學生閉眼想象，在學生頭腦里形成無限分割并拼成長方形的畫面，這發(fā)展了學生的空間想象能力和幾何直觀能力，同時讓學生初步感受了極限思想的本質(zhì)。

三、建立知識網(wǎng)絡(luò)，厘清脈絡(luò)，構(gòu)建幾何框架

片段三：全課小結(jié)，思維提升

師：同學們，現(xiàn)在你們已經(jīng)學完了小學階段所有需要學習的基本平面圖形的面積，請看屏幕。

師：透過這個圖（圖4），你們有什么想說的嗎？

生8：從這個圖中，我知道了長方形是我們學習所有平面圖形的基礎(chǔ)。

生9：我覺得在學習這些平面圖形的面積時，都運用了轉(zhuǎn)化的思想。

生10：我們在學習這些圖形的面積時，課堂上都進行了操作，有時拼、有時剪，非常有意思。

師：是啊，我們在探究這些圖形面積的過程中，都運用了各種操作實驗，經(jīng)歷了“先轉(zhuǎn)化為以前學過的圖形—再觀察比較，找出圖形之間的關(guān)系—最后根據(jù)關(guān)系推導公式”的探究過程。你們真了不起。

師：同學們，任何學習都不是一蹴而就的，都是在不停觀察、比較、發(fā)現(xiàn)中，將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，化曲為直，化繁為簡，化難為易。學知識就像蓋房子，愿同學們不停地添磚加瓦，打造出自己心中最美的知識宮殿。

設(shè)計意圖：本節(jié)課是圖形與幾何部分的內(nèi)容，本身就有利于培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。在全課小結(jié)時教師讓學生體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受平面圖形面積公式推導的一般方法：轉(zhuǎn)化圖形—尋找聯(lián)系—推導公式。這樣將所有學過的平面圖形面積的知識結(jié)構(gòu)化，串成線，連成線，結(jié)成網(wǎng)，能幫助學生構(gòu)建幾何知識框架，掌握數(shù)學思想方法，提升綜合學習能力。

【教學反思】

在“圓的面積”公式推導的過程中，學生通過操作活動去探明數(shù)學本質(zhì)，通過直觀想象，積累幾何直觀的經(jīng)驗。

一、關(guān)聯(lián)知識鏈接，建立幾何網(wǎng)絡(luò)圖

在談收獲時，教師設(shè)計了一張所有平面圖形轉(zhuǎn)化的思維導圖，讓學生觀察體會知識的關(guān)聯(lián)。通過知識網(wǎng)絡(luò)圖，教師表達兩層意思：第一，長方形是我們學習所有平面圖形的基礎(chǔ)；第二，我們在探究這些圖形面積的過程中，都經(jīng)歷了“先轉(zhuǎn)化為以前學過的圖形—再觀察比較，找出圖形之間的關(guān)系—最后根據(jù)關(guān)系推導公式”的探究過程。學生恍然大悟，不僅學習了圓面積這單一知識，還總結(jié)了這一類知識的學習方法，將知識串成線，鋪成面，立成體，培養(yǎng)了幾何直觀能力。

二、動手操作，直觀想象，突破重難點

學生只有將直線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形的學習經(jīng)驗，沒有將曲線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形的學習經(jīng)驗，這造成了他們學習上的困難。如果學生沒有提前學習，就很不容易想到要把圓沿直徑剪開，再拼成一個長方形。不過，學生有“化曲為直”的經(jīng)驗（比如認識周長這節(jié)課）。基于這個經(jīng)驗，教師適當引導，讓他們在兩次動手操作中找到研究的方向，并沿著這個方向探究下去。操作實驗讓學生有了直觀的認識和過程的感悟，把抽象的數(shù)學變得“可視”起來，發(fā)展了學生的幾何直觀能力。

極限思想的滲透是這節(jié)課最難突破的點，學生看不著、摸不著，不好用語言來表述，也不好用肢體來表達，是一種只能意會不能言傳的東西。但是，教師卻不能放棄，哪怕讓一部分學生感受到這種極限思想，也會為他們今后進入初中學習打下堅實的基礎(chǔ)。