認(rèn)知心理學(xué)視角下數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐與思考

賴(lài)小敏 于濤

[摘 ?要] 文章以認(rèn)知心理學(xué)的理論為指導(dǎo)，從認(rèn)知過(guò)程、概念表征、學(xué)習(xí)遷移等角度對(duì)“充分條件與必要條件”進(jìn)行了教學(xué)分析，呈現(xiàn)了教學(xué)實(shí)施過(guò)程，總結(jié)了兩點(diǎn)促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)建的教學(xué)思路.

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)知心理學(xué);概念;充分條件;必要條件

概念是一類(lèi)事物共同的本質(zhì)屬性，是反映一類(lèi)事物本質(zhì)屬性的表征. 文[1]從數(shù)學(xué)概念的獲得、結(jié)構(gòu)分析、表征、認(rèn)知模式等角度分析了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論，揭示了概念學(xué)習(xí)的特殊性與復(fù)雜性. 從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)經(jīng)歷“數(shù)學(xué)現(xiàn)象—心象—抽象—操作”的認(rèn)知過(guò)程[2]，如何準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，幫助學(xué)生有效構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，一直是概念教學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題. 下面以“充分條件與必要條件”為例，探討遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)思路.

教學(xué)分析

“充分條件與必要條件”是人教A版必修第一冊(cè)（2019年版）第1章第4節(jié)第1課時(shí)的內(nèi)容，本課以“若p，則q”形式的命題為載體，通過(guò)考察命題中條件p與結(jié)論q的關(guān)系，學(xué)習(xí)充分條件、必要條件等常用邏輯用語(yǔ). 教材編寫(xiě)以比較容易判斷真假的命題為例子，意在突出學(xué)習(xí)重點(diǎn)是對(duì)充分條件、必要條件的意義的理解和辨析，以避免判斷命題的真假成為學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的障礙. 在具體的教學(xué)實(shí)踐中，有以下幾個(gè)教學(xué)問(wèn)題值得探討.

1. 遵循從現(xiàn)象和心象到抽象的認(rèn)知過(guò)程

數(shù)學(xué)概念源自生活現(xiàn)象，在生活實(shí)踐與學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)感知生活現(xiàn)象，在頭腦中形成各種對(duì)生活現(xiàn)象的直觀認(rèn)知，即“心象”，通過(guò)對(duì)心象的積累與理性分析等過(guò)程，逐步在歸納、概括后抽象得到概念. 教學(xué)如果直接跳過(guò)生活實(shí)踐中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，以“若x2-4x+3=0，則x=1”“若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l，則a∥b”等命題作為例子展開(kāi)教學(xué)，學(xué)生更多在明確命題“若p，則q”的條件p與結(jié)論q，以及命題真假判斷的基礎(chǔ)上，接受充分條件、必要條件等數(shù)學(xué)“名詞”，機(jī)械地記憶與應(yīng)用這些數(shù)學(xué)知識(shí). 教學(xué)有必要聯(lián)系日常的生活實(shí)際，增強(qiáng)例子的直觀性，讓概念學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)外部的生活過(guò)渡到數(shù)學(xué)內(nèi)部的概括抽象，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過(guò)程.

2. 借助不同的概念表征來(lái)深化概念理解

表征本質(zhì)上是被表征對(duì)象的替代[3]. 當(dāng)學(xué)習(xí)者看到某個(gè)概念后能想到的東西就是這個(gè)概念的表征. 例如“北京”，其表征可能是“首都”“天安門(mén)”“長(zhǎng)城”“北京烤鴨”等. 要讓學(xué)生更好地理解某個(gè)數(shù)學(xué)概念，就需要幫助學(xué)生從言語(yǔ)化、視覺(jué)化等不同表征形式來(lái)理解同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象. 在以符號(hào)“p?q”和文字“p是q的充分條件，q是p的必要條件”等概念表征組織教學(xué)的基礎(chǔ)上，不妨借助“集合”等表征形式幫助學(xué)生更好地理解概念. 認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為概念學(xué)習(xí)分兩種形式，一種是概念形成，是學(xué)習(xí)者從大量的同類(lèi)事物的不同例證中發(fā)現(xiàn)其共同的關(guān)鍵性的本質(zhì)特征而獲得概念;另一種是概念同化，或稱(chēng)概念掌握，是學(xué)習(xí)者從自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念通過(guò)同化而獲得新概念[4]. 研究者在多年教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，只有符號(hào)和文字表征的教學(xué)，學(xué)生容易出現(xiàn)概念理解不深刻、命題真假判斷困難等學(xué)習(xí)問(wèn)題，教學(xué)可以從集合的角度通過(guò)概念同化，深化概念理解，更好地溝通新知與舊知的聯(lián)系，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu). 此外，還可以借助判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件之間的關(guān)系來(lái)幫助學(xué)生理解新知，這也是新教材編寫(xiě)的變化之處.

3. 通過(guò)調(diào)整教學(xué)順序促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移發(fā)生

充分條件、必要條件是對(duì)“若p，則q”形式命題的條件與結(jié)論辯證關(guān)系的學(xué)習(xí)，組織教學(xué)圍繞“若p，則q”形式命題的真假判斷而展開(kāi). 傳統(tǒng)教學(xué)觀念下的教學(xué)注重“雙基”落實(shí)，教學(xué)通常將真命題、假命題的例子混在一起，課堂教學(xué)演練操作多，自主探究思考少. 為實(shí)現(xiàn)新一輪課程改革的教學(xué)理念，培養(yǎng)學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”，教學(xué)時(shí)不妨將真命題、假命題的例子分為不同的組：首先，師生共同用真命題的例子完成充分條件、必要條件的學(xué)習(xí);其次，學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)遷移，用假命題的例子自主完成“不是充分條件、不是必要條件”的學(xué)習(xí). 后續(xù)充要條件的教學(xué)也可以進(jìn)行類(lèi)似的教學(xué)順序優(yōu)化，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生.

教學(xué)實(shí)踐

1. 概念形成

在日常生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)?？梢钥吹健叭魀，則q”形式的命題，其中p稱(chēng)為命題的條件，q稱(chēng)為命題的結(jié)論.

引例 若我是東莞人，則我是廣東人.

問(wèn)題1：（1）這個(gè)命題的條件和結(jié)論是什么？（2）判斷這個(gè)命題的真假.

生1：條件是“我是東莞人”，結(jié)論是“我是廣東人”.

生2：因?yàn)闁|莞市在廣東省內(nèi)，所以該命題是真命題.

師：對(duì)于上述真命題，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“?”進(jìn)行等價(jià)表述：“我是東莞人”?“我是廣東人”. 其中，“我是東莞人”可以“充分”地說(shuō)明“我是廣東人”. 我們用邏輯用語(yǔ)表述為：“我是東莞人”是“我是廣東人”的充分條件.

追問(wèn)1：若我是廣東人，那么我一定是東莞人嗎？

生3：不一定，我可能是廣州人，也可能是深圳人，等等.

師：也就是說(shuō)，我是東莞人，前提是我是廣東人;如果我不是廣東人，那么我不是東莞人. 所以“我是廣東人”對(duì)于“我是東莞人”而言是必不可少的，是必要的. 我們用邏輯用語(yǔ)表述為：“我是廣東人”是“我是東莞人”的必要條件.

師生對(duì)話的同時(shí)，教師板書(shū)：“‘若我是東莞人，則我是廣東人’是真命題”及其三種等價(jià)說(shuō)法，分別為①（符號(hào)語(yǔ)言）“我是東莞人?我是廣東人”，②（邏輯用語(yǔ)）“我是東莞人”是“我是廣東人”的充分條件，③（邏輯用語(yǔ)）“我是廣東人”是“我是東莞人”的必要條件.

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生再列舉一些具體命題的例子，進(jìn)而概括抽象形成新的數(shù)學(xué)概念：

一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過(guò)推理可以得出q，記作p?q，稱(chēng)p是q的充分條件，q是p的必要條件.

設(shè)計(jì)意圖 教學(xué)從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)象到心象再到抽象的學(xué)習(xí)過(guò)程. 引例的設(shè)計(jì)“一例雙關(guān)”，一方面用生活實(shí)例呈現(xiàn)命題“若p，則q”，借助生活現(xiàn)象中的邏輯判斷，通過(guò)師生對(duì)話引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“充分”與“必要”的生活含義，進(jìn)而在生活現(xiàn)象的理解基礎(chǔ)上進(jìn)行概括抽象，初步完成充分條件和必要條件概念的學(xué)習(xí)，并借助“‘若p，則q’為真命題”“p?q”“p是q的充分條件”“q是p的必要條件”這四種等價(jià)說(shuō)法從推理的角度強(qiáng)化理解概念;另一方面，該生活實(shí)例直觀地用地圖（廣東省地圖）呈現(xiàn)，既能幫助學(xué)生直觀感知生活現(xiàn)象，又能從集合的角度為新知學(xué)習(xí)做好鋪墊.

2. 概念同化

問(wèn)題2：從集合的角度研究命題“我是東莞人，則我是廣東人”，其條件和結(jié)論對(duì)應(yīng)的集合分別是什么？并說(shuō)出兩個(gè)集合的關(guān)系.

生4：條件對(duì)應(yīng)集合{東莞人}，結(jié)論對(duì)應(yīng)集合{廣東人}.

生5：條件對(duì)應(yīng)的集合{東莞人}是結(jié)論對(duì)應(yīng)的集合{廣東人}的子集.

師：用集合語(yǔ)言將命題改寫(xiě)為“若x∈{東莞人}，則x∈{廣東人}”，顯然，由{東莞人}?{廣東人}可判斷命題“若x∈{東莞人}，則x∈{廣東人}”是真命題. 也就是說(shuō)，由{東莞人}?{廣東人}（集合的包含關(guān)系）可得：“我是東莞人”是“我是廣東人”的充分條件和“我是廣東人”是“我是東莞人”的必要條件.

追問(wèn)2：對(duì)于命題“若p，則q”，你能否從集合關(guān)系的角度理解充分條件和必要條件？

生6：若“條件p對(duì)應(yīng)的集合”是“結(jié)論q對(duì)應(yīng)的集合”的子集，則命題為真命題，p是q的充分條件，q是p的必要條件.

教師在學(xué)生直觀感知的基礎(chǔ)上，用集合語(yǔ)言表述：記A={x

x滿足條件p}，B={x

x滿足結(jié)論q}，當(dāng)A?B時(shí)，“若p，則q”是真命題，p是q的充分條件，q是p的必要條件. 同時(shí)，借助圖1、圖2幫助學(xué)生深化理解.

[結(jié)論][條件][圖1][圖2] [條件（結(jié)論）]

設(shè)計(jì)意圖 當(dāng)學(xué)生有了充分條件和必要條件的知識(shí)后，引導(dǎo)學(xué)生從集合的角度理解充分條件和必要條件的內(nèi)涵. 一方面豐富概念的表征，在符號(hào)、語(yǔ)言等表征的基礎(chǔ)上增加圖形表征;另一方面利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的集合知識(shí)同化邏輯用語(yǔ)的知識(shí)，溝通舊知和新知之間的聯(lián)系與區(qū)別，實(shí)現(xiàn)概念同化. 以此幫助學(xué)生積極主動(dòng)地構(gòu)建與完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，積累從不同表征來(lái)理解概念的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3. 操作實(shí)踐

例1 判斷下列“若p，則q”形式命題的真假，用其他三種等價(jià)說(shuō)法描述這一邏輯關(guān)系，并從集合的角度進(jìn)行解釋.

（1）若a=b，則ac=bc;

（2）若平行四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平行四邊形是菱形;

（3）若兩個(gè)三角形全等，則兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等.

設(shè)計(jì)意圖 例1的三個(gè)小題均為真命題. 教學(xué)中，先引導(dǎo)學(xué)生從邏輯推理的角度判斷命題的真假，通過(guò)其他三種等價(jià)說(shuō)法強(qiáng)化概念的符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言之間的關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生從集合關(guān)系的角度理解新知，感悟?qū)τ诓煌拿}集合表征的理解在思維上具有一致性. 從引例到例1，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)現(xiàn)象—心象—抽象—操作”完整的認(rèn)知過(guò)程，為圍繞假命題展開(kāi)學(xué)習(xí)做好類(lèi)比遷移、自主學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備.

4. 類(lèi)比遷移

例2 判斷下列“若p，則q”形式命題的真假，仿照例1用其他三種等價(jià)說(shuō)法描述這一邏輯關(guān)系.

（1）若x2=1，則x=1;

（2）若四邊形是梯形，則該四邊形是平行四邊形;

（3）若四邊形是菱形，則該四邊形是矩形.

（學(xué)生思考作答，教師點(diǎn)評(píng)板書(shū)）

問(wèn)題3：仿照“真命題”的情形概括“假命題”邏輯關(guān)系的一般性表述.

生7：一般地，“若p，則q”為假命題，是指由p通過(guò)推理不能得到q，記作p[?] q，稱(chēng)p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.

設(shè)計(jì)意圖 例2和問(wèn)題3構(gòu)成了有機(jī)整體，教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比“真命題”的學(xué)習(xí)，開(kāi)展關(guān)于假命題“不是充分條件”和“不是必要條件”的學(xué)習(xí)，再次經(jīng)歷“心象—抽象—操作”的認(rèn)知過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力與意識(shí).

活動(dòng)：請(qǐng)仿照前面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從集合的角度解釋例2中各命題的邏輯關(guān)系.

學(xué)生進(jìn)行小組活動(dòng)，教師觀察指導(dǎo).當(dāng)學(xué)生得到例2三個(gè)小題的集合圖示分別對(duì)應(yīng)圖3、圖4、圖5后，教師幫助學(xué)生從集合表征的角度判斷假命題，理解“不是充分條件”和“不是必要條件”的內(nèi)涵. 類(lèi)比真命題的教學(xué)過(guò)程，總結(jié)并概括出：對(duì)于命題“若p，則q”，當(dāng)“條件p對(duì)應(yīng)的集合”不是“結(jié)論q對(duì)應(yīng)的集合”的子集時(shí)，“若p，則q”是假命題，p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.

設(shè)計(jì)意圖 例2的三個(gè)小題均為假命題，分別對(duì)應(yīng)不同集合關(guān)系的圖示，這三種集合關(guān)系的圖示（圖3、圖4、圖5）與前面兩種集合關(guān)系的圖示（圖1、圖2）刻畫(huà)了條件與結(jié)論對(duì)應(yīng)集合的所有可能，意在讓學(xué)生在類(lèi)比學(xué)習(xí)的過(guò)程中，通過(guò)積極構(gòu)建逐步形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，內(nèi)化對(duì)新知的理解.

5. 綜合演練

練習(xí)1：判斷下列命題的真假.

（1）“兩個(gè)三角形相似”的一個(gè)充分條件是“兩個(gè)三角形的三邊成比例”;

（2）“實(shí)數(shù)x>0，y>0”的一個(gè)必要條件是“xy>0”.

練習(xí)2：寫(xiě)出“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件.

設(shè)計(jì)意圖 練習(xí)1在學(xué)生理解概念的基礎(chǔ)上，突出強(qiáng)調(diào)對(duì)命題的條件和結(jié)論的辨識(shí)，再?gòu)?qiáng)化從邏輯推理和集合關(guān)系兩種角度判斷充分條件和必要條件的方法技能;練習(xí)2以開(kāi)放題的形式引導(dǎo)學(xué)生回顧與平行四邊形有關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理，理解每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件，每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件[5]，豐富新知概念表征的同時(shí)，繼續(xù)完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

教后思考

認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為，知識(shí)是通過(guò)認(rèn)知主體的積極建構(gòu)而獲得的，而不僅僅是通過(guò)傳遞而實(shí)現(xiàn)的[6]. 知識(shí)傳遞的教學(xué)以教師講授為主，學(xué)生的學(xué)習(xí)處于被動(dòng)接受、記憶、理解的狀態(tài)，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)更關(guān)注微觀的課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，例如要落實(shí)哪些知識(shí)點(diǎn)，以及哪些方法題型等，教學(xué)呈現(xiàn)“自上而下”的狀態(tài)，以教師頭腦中知識(shí)的認(rèn)知呈現(xiàn)為主;知識(shí)構(gòu)建的教學(xué)以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體，知識(shí)學(xué)習(xí)是通過(guò)學(xué)生積極構(gòu)建獲得的，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)更關(guān)注學(xué)生如何學(xué)，包括知識(shí)體系的構(gòu)建、學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)等，教學(xué)呈現(xiàn)“自下而上”的狀態(tài)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過(guò)程，對(duì)新知進(jìn)行有意義的構(gòu)建，或者對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造.

那么，如何設(shè)計(jì)促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)思路呢？筆者有兩點(diǎn)感悟：

第一，要構(gòu)建概念表征的圖式.文中案例實(shí)踐之前，筆者嘗試構(gòu)建了“命題的真假”“集合的子集關(guān)系”“判定定理和性質(zhì)定理”等學(xué)生已有的知識(shí)與“充分條件和必要條件”等新知的關(guān)系圖式（如圖6所示），借助此圖式組織教學(xué)，先后從不同的角度幫助學(xué)生內(nèi)化新知，建立概念對(duì)象，并以此圖式作為教學(xué)的隱性目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生概念域的形成. 對(duì)概念圖式的把握，能有效幫助教師調(diào)整教學(xué)目標(biāo)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

第二，要?jiǎng)?chuàng)造學(xué)習(xí)遷移發(fā)生的機(jī)會(huì).文中案例將概念圖式（圖6）拆成了兩個(gè)圖式，先學(xué)習(xí)“是”的情形，讓學(xué)生積累新知學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，再學(xué)習(xí)“不是”的情形，讓學(xué)生把新知納入已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中. 學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生，能促進(jìn)學(xué)生在模仿的過(guò)程中，自主經(jīng)歷感知、辨別、激活、內(nèi)化、應(yīng)用等學(xué)習(xí)過(guò)程，主動(dòng)構(gòu)建，有助于學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，使得學(xué)生不僅知識(shí)數(shù)量逐漸增加，知識(shí)質(zhì)量也發(fā)生變化（知識(shí)得到重組）.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)有待更多的一線教師關(guān)注認(rèn)知心理學(xué)與數(shù)學(xué)教育，讓教學(xué)更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 王名揚(yáng)，徐瀝泉，徐利治. 論一種緣自認(rèn)知心理學(xué)及教育學(xué)研究的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（01）：33-36.

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[6] 謝明初，朱新明. 認(rèn)知心理學(xué)視角下的數(shù)學(xué)教育[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（01）：12-16.