“有理　有序　有創(chuàng)”讓學(xué)生直面數(shù)學(xué)思維

林謝劍

一直以來，數(shù)學(xué)都以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S著稱。作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科，數(shù)學(xué)教育不僅僅是要讓學(xué)生掌握必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，更重要的是發(fā)展學(xué)生的抽象思維和推理能力。在課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師要融合新教學(xué)理念，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，創(chuàng)新教學(xué)策略，讓學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)解決問題的過程中直面數(shù)學(xué)思維。接下來，筆者就教學(xué)中如何有效激發(fā)學(xué)生直面數(shù)學(xué)思維、提高課堂教學(xué)效率，談?wù)劸唧w做法。

一、以前置練習(xí)為鋪墊，直面數(shù)學(xué)思維的“有理性”

“理”即指理由、依據(jù)。如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)推理是有跡可尋的？在教學(xué)中，教師應(yīng)該充分把握知識(shí)本身的內(nèi)在邏輯性，在新知教學(xué)前巧設(shè)前置練習(xí)，以前置練習(xí)為腳手架，引發(fā)勾連，激發(fā)學(xué)生獲取知識(shí)的內(nèi)在需求。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，只有讓學(xué)生親身嘗試，才能充分體悟其中的內(nèi)涵，讓數(shù)學(xué)思維的生成實(shí)現(xiàn)“有理性”。

例如，在《表面涂色的正方體》一課教學(xué)中，旨在引導(dǎo)學(xué)生在通過觀察找到將表面涂色的大正方體每條棱平均分成3、4、5份后，切成的小正方體涂色面的情況的基礎(chǔ)上，比較不同涂色面的個(gè)數(shù)及位置特點(diǎn)，通過合情推理，進(jìn)而得到將每條棱平均分成n份后，切成的小正方體不同涂色面的個(gè)數(shù)是本課的知識(shí)重點(diǎn)。筆者在認(rèn)真研讀文本和教參的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)置了探索數(shù)字規(guī)律的前置練習(xí)：

通過這樣的環(huán)節(jié)設(shè)置，讓學(xué)生數(shù)形結(jié)合，在感受數(shù)字之間規(guī)律的同時(shí)正確表達(dá)規(guī)律，并能根據(jù)規(guī)律繼續(xù)填寫。這樣一來，規(guī)律的表達(dá)在此提前進(jìn)行滲透，分散了教學(xué)難點(diǎn)，為新知教學(xué)中讓學(xué)生找準(zhǔn)每條棱平均分成3/4/5份后不同涂色面小正方體的個(gè)數(shù)，并將之推廣到n份后的情況，做好鋪墊準(zhǔn)備。

又如，在《圖形的平移》一課教學(xué)中，旨在引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)圖形在平移過程中，整個(gè)圖形的每一個(gè)部分都朝同一個(gè)方向移動(dòng)，圖形的平移實(shí)際上可以分解為對(duì)應(yīng)點(diǎn)或者對(duì)應(yīng)線的平移，這是本節(jié)課的重點(diǎn)。而本課的難點(diǎn)在于數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（線）之間的距離，在這一過程中，學(xué)生往往容易將起始點(diǎn)、終止點(diǎn)納入思考范圍，得到的距離比實(shí)際平移的距離多“1”或少“1”的情況。基于上述認(rèn)識(shí)，筆者在課前設(shè)置了在格子圖中數(shù)兩個(gè)“點(diǎn)”、兩條“線”之間距離的前置練習(xí)，讓學(xué)生聚焦數(shù)距離，明確兩點(diǎn)（線）之間的距離其實(shí)就是數(shù)它們之間的格子數(shù)。當(dāng)從“點(diǎn)”的角度考慮，起始點(diǎn)表示還沒開始移動(dòng)，可用“0”來表示移動(dòng)的距離，而后繼續(xù)往下數(shù)?？此坪?jiǎn)單單一的知識(shí)，卻很好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，起到了突破本課教學(xué)重點(diǎn)的作用，這樣一來，數(shù)學(xué)思維的“有理性”便落到了實(shí)處。

二、以問題設(shè)計(jì)為導(dǎo)向，直面數(shù)學(xué)思維的“有序性”

“序”指順序，萬物生長(zhǎng)都講究循序漸進(jìn)。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注知識(shí)的內(nèi)在生長(zhǎng)，由易到難，層層推進(jìn)，挖掘?qū)W生的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生拾階而上，不斷激發(fā)學(xué)生解決問題的熱情。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，只有讓學(xué)生跳一跳摘蘋果，才能更好地增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，有利于學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的成就感。

例如，在《表面涂色的正方體》一課教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：

（一）初探平均分成3份。在新知教授環(huán)節(jié)，筆者通過動(dòng)態(tài)展示將表面涂色的大正方體每條棱平均分成2份后切成的小正方體涂色面的情況，引導(dǎo)學(xué)生明確切成的2×2×2=6個(gè)小正方體均為3面涂色。接著讓學(xué)生自主探究將大正方體每條棱平均分成3份的情況，并指出小正方體不同涂色面的位置特點(diǎn)。有了前面將表面涂色的大正方體每條棱平均分成2份后，切成的小正方體的涂色面情況的教學(xué)引導(dǎo)，這個(gè)過程的自主探究對(duì)學(xué)生而言是可實(shí)現(xiàn)的。學(xué)生通過觀察很容易就得出3面涂色的小正方體有8個(gè)；2面涂色的有12個(gè)；1面涂色的有6個(gè)。而對(duì)于位置特點(diǎn)，學(xué)生存在困惑，筆者在教學(xué)實(shí)際中暫且擱置該問題。

（二）再探平均分成4/5份。筆者繼續(xù)提問：如果將這個(gè)大正方體的每條棱平均分成4份、5份……切成的小正方體涂色面又會(huì)是什么結(jié)果呢？學(xué)生自主探究后再小組合作交流。由匯報(bào)結(jié)果看來，對(duì)于3面涂色的小正方體個(gè)數(shù)基本上每位同學(xué)都能清晰地得到正確的結(jié)果8個(gè)。但對(duì)于2面涂色和1面涂色的小正方體個(gè)數(shù)，多數(shù)學(xué)生無法正確表達(dá)。

（三）觀察推理，規(guī)律呼之欲出?！墩撜Z》有云：“不憤不啟，不悱不發(fā)?！闭f的是學(xué)生如果不是經(jīng)過冥思苦想而又想不通時(shí)，就不去啟發(fā)他；如果不是經(jīng)過思考并有所體會(huì)，想說卻說不出來時(shí)，就不去開導(dǎo)他。為此，在學(xué)生的困頓處，筆者通過課件分別呈現(xiàn)每條棱平均分成不同份數(shù)后的不同涂色面的圖形，啟發(fā)學(xué)生：不同涂色面的小正方體位置有什么特點(diǎn)？你能結(jié)合正方體的各部分組成要素說一說嗎？有了適時(shí)的提示引導(dǎo)，學(xué)生自覺將目光轉(zhuǎn)向正方體的組成要素：頂點(diǎn)、棱、面。很快就發(fā)現(xiàn)將大正方體每條棱平均分后，得到的小正方體3/2/1面涂色的位置分別在大正方體的頂點(diǎn)、棱的中間、面的中間。筆者提出問題：現(xiàn)在你能算出平均分成3/4/5份后3/2/1面涂色的小正方體個(gè)數(shù)了嗎？學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后得到結(jié)果如下：平均分成3份時(shí)，3面涂色的小正方體有8個(gè)，2面涂色的有1×12=12個(gè)，1面涂色的有12×6=6個(gè)；平均分成4份時(shí)，3面涂色的小正方體有8個(gè)，2面涂色的有2×12=24個(gè)，1面涂色的有22×6=24個(gè)；平均分成5份時(shí)，3面涂色的小正方體有8個(gè)，2面涂色的有3×12=36個(gè)，1面涂色的有32×6=54個(gè)。

（四）歸納推理，規(guī)律始發(fā)成型。追問：如果將大正方體每條棱平均分成6份、10份、100份……你還能算出不同涂色面小正方體的個(gè)數(shù)嗎？學(xué)生自主探究、小組交流后明確平均分成n份，3面涂色的小正方體都是8個(gè)；2面涂色的有：（n-2）×12個(gè)；1面涂色的有：（n-2）2×6個(gè)。

這樣的教學(xué)過程，以問題設(shè)計(jì)為引領(lǐng)，讓學(xué)生明確探究方向，有助于捋清學(xué)生的思路。通過或啟發(fā)、或提問、或點(diǎn)撥、或追問等形式，將學(xué)生的思維一步步推向關(guān)鍵處，很好地激發(fā)了學(xué)生的探究意識(shí)。由此，數(shù)學(xué)思維的“有序性”得以實(shí)現(xiàn)。

三、以問題情境為抓手，直面數(shù)學(xué)思維的“創(chuàng)造性”

“創(chuàng)”作為一種思辨力，是在感知的基礎(chǔ)上形成的具有變通性，能舉一而反三的優(yōu)良品質(zhì)。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)以問題情境為抓手，拓寬知識(shí)廣度，直指知識(shí)核心，讓學(xué)生不僅知其然更知其所以然。這樣才能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探究欲望，拓展思維，發(fā)展智能，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，進(jìn)而培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

例如：在《探索三角形三邊關(guān)系》一課教學(xué)中，學(xué)生通過動(dòng)手圍、動(dòng)筆算的方法初步感知到能圍成三角形的任意兩邊之和要大于第三條邊，對(duì)于這一陳述性的知識(shí)絕大多數(shù)的學(xué)生都會(huì)描述、能識(shí)記，但在解決問題中卻常常不如人意。為了讓學(xué)生在感知知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)寬思維，筆者設(shè)計(jì)了如下問題情境：

將一根10cm長(zhǎng)的小棒剪成三段，怎樣剪一定能圍成三角形？（要求：剪成的每一段都是整厘米數(shù)。）

（1）第一刀不能剪在哪里？為什么？

（2）第二刀不能剪哪一段？為什么？

（3）如果第一刀剪在“3”處，第二刀應(yīng)在（? ? ）處剪，剪成的三段保證能圍成一個(gè)三角形。

由問題（1）指向兩邊之和等于第三邊則圍不成三角形，到問題（2）指向任意兩邊之和要大于第三條邊，因此不能剪短的那一段的粗略判斷，再到問題（3）第一刀剪在“3”，第二刀只能剪在“6”或“7”，得到三邊長(zhǎng)度分別為3、3、4的具體剪法，讓學(xué)生再次經(jīng)歷推理，使其思維進(jìn)一步走向深刻，同時(shí)正、逆向思維的不同思考方式也有效激發(fā)了學(xué)生推理的創(chuàng)造性表達(dá)，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

又如，在《多邊形的內(nèi)角和》一課的教學(xué)中，大多數(shù)教師設(shè)計(jì)如下教學(xué)環(huán)節(jié)：將四邊形、五邊形、六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分割成2、3、4個(gè)三角形，再由三角形的內(nèi)角和為180°，推理得到四、五、六邊形的內(nèi)角和為180°×2，180°×3，180°×4，接著引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)多邊形的邊數(shù)與分割成的三角形的個(gè)數(shù)之間相差2的關(guān)系，由此推出當(dāng)多邊形邊數(shù)為n時(shí)，分割成的三角形個(gè)數(shù)為（n-2），則其內(nèi)角和為180°×（n-2）。乍一看，該教學(xué)環(huán)節(jié)思路清晰、條理清楚、推理也是毫無破綻，但仔細(xì)思考，我們不難發(fā)現(xiàn)，該教學(xué)環(huán)節(jié)從一開始就先入為主了，我們不免疑惑：為什么要“從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割三角形”？如果不是，結(jié)論難道就不成立嗎？帶著這樣的思考，筆者設(shè)計(jì)了如下問題情境：

在探究五邊形的內(nèi)角和時(shí)，笑笑、奇思和妙想三位同學(xué)分別從不同角度將五邊形分割成如下三角形，你贊同誰的做法？說說你的理由。

從學(xué)生的答題情況來看，近70%都贊同笑笑的做法，并且認(rèn)為奇思和妙想的做法沒有“從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割三角形”，是錯(cuò)誤的，其實(shí)不然。奇思從五邊形的內(nèi)部找到一個(gè)點(diǎn)，將五邊形分成5個(gè)三角形，這一過程產(chǎn)生內(nèi)部多出來的5個(gè)角（剛好圍成一個(gè)周角360°），由此得到五邊形的內(nèi)角和為180°×5-360°；妙想從五邊形的邊上找到一個(gè)點(diǎn)，將五邊形分成4個(gè)三角形，這一過程產(chǎn)生內(nèi)部多出來的4個(gè)角（剛好圍成一個(gè)平角180°），由此得到五邊形的內(nèi)角和為180°×4-180°。因此三位同學(xué)的做法都是正確的。

這樣的問題情境不再局限于知識(shí)點(diǎn)本身，拓寬了思維廣度，直指知識(shí)核心，讓學(xué)生在思辨中習(xí)得知識(shí)，不僅有利于激發(fā)孩子的探究欲望，拓展思維，發(fā)展智能，更能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，久而久之，數(shù)學(xué)思維的“創(chuàng)造性”就會(huì)得到進(jìn)一步的培養(yǎng)。

總之，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)需要教師的精心呵護(hù)，只有精準(zhǔn)把握知識(shí)之間的前聯(lián)后結(jié)，巧設(shè)問題，依托情境才能更好地讓學(xué)生直面數(shù)學(xué)思維的“理”“序”“創(chuàng)”，從而有效助推學(xué)生的學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)變得輕松愉悅，讓學(xué)生會(huì)學(xué)、愛學(xué)、樂學(xué)。