“配方”不是“配角”

楊元紅 胡超群

【摘要】在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到解一元二次方程，配方法是眾多方法中的萬能之法，在最值問題的求解過程中，離開配方法可以說是寸步難行.在教學(xué)中教師應(yīng)重視配方法這一紅絲帶，把代數(shù)式、方程和函數(shù)有機(jī)統(tǒng)一起來，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)體系.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解一元二次方程；配方法

初中階段，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中第一次接觸到“配方”一詞是在學(xué)習(xí)完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2之后.

例1通過添加項(xiàng)，把多項(xiàng)式4x2+1配成完全平方式的形式.

解方法1：在中間加或減4x得到4x2±4x+1=2x±12.

方法2：在前面加4x4得到4x4+4x2+1=2x2+12.

方法3：在后面加116x2得到4x2+1+

116x2=2x+14x2.

在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘法后，學(xué)習(xí)完全平方公式是為了簡(jiǎn)便計(jì)算，所以隨著學(xué)習(xí)的深入，可以利用配方法解決一些代數(shù)式的最值問題.

例2判斷多項(xiàng)式2x2+8x－5是否存在最大值或最小值？若存在，請(qǐng)求出最值.

解 2x2+8x－5=2x2+4x－5，

=2x2+4x+4－4－5=2x2+4x+4－2×4－5，

=2x+22－13，

因?yàn)閤+22≥0，

所以2x+22≥0，

所以2x+22－13≥－13.

即多項(xiàng)式2x2+8x－5存在最小值，最小值為-13.

當(dāng)進(jìn)入到一元二次方程學(xué)習(xí)的時(shí)候，課本給出的定義是：通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.下面一起來看看對(duì)一元二次方程一般式ax2+bx+c=0a≠0的配方過程，就可以感受到配方法是解一元二次方程的萬能公式.

解移項(xiàng)，得ax2+bx=－c.

二次項(xiàng)系數(shù)化為1，

得x2+bax=－ca.

配方，得x2+bax+b2a2=b2a2－ca，

即x+b2a2=b2－4ac4a2.

至此，對(duì)一元二次方程的配方完成，由于a≠0，所以4a2>0.

所以，方程解的情況由b2－4ac的情況決定.

顯然，（1）當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，方程無解.

（2）當(dāng)b2－4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

x1=x2=－b2a.

（3）當(dāng)b2－4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

x1=－b+b2－4ac2a，

x2=－b－b2－4ac2a.

一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的判別式.通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ=b2－4ac.

通過一元二次方程一般式的配方過程，我們又得到了解一元二次方程的另一解法——求根公式法：當(dāng)Δ≥0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的實(shí)數(shù)根可寫為x=－b±b2－4ac2a的形式.還可以得到一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=－ba，x1x2=ca.可見，配方法是解一元二次方程的靈魂、是萬能之法.

例3用配方法解方程2x2－4x－7=0.

解移項(xiàng)，得2x2－4x=7，

系數(shù)化為1，得x2－2x=72，

配方，得x2－2x+1=72+1，

即x－12=92，

解得x1=2+322，x2=2－322.

從知識(shí)體系上看，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0是二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0當(dāng)函數(shù)y=0時(shí)的特殊情況，因此在對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的性質(zhì)進(jìn)行研究時(shí)，仍用配方法，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax－h(huán)2+ka≠0的形式，過程如下：

提取二次項(xiàng)系數(shù)a，

得y=ax2+bax+ca，

配方，得

y=ax2+bax+（b2a）2－（b2a）2+c，

即y=ax+b2a2+4ac－b24a.

因此，拋物線的對(duì)稱軸是x=－b2a，頂點(diǎn)是（－b2a，4ac－b24a），再根據(jù)a的正負(fù)，就可以對(duì)其性質(zhì)展開研究，得到最大值或最小值.

例4寫出拋物線y=12x2－4x+3的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷其最值情況和增減情況.

解因?yàn)?2＞0，

所以拋物線y=12x2－4x+3的開口向上，

又因?yàn)橥ㄟ^配方，得y=12（x－4）2－5，

所以對(duì)稱軸是x=4，頂點(diǎn)是（4，－5），有最小值，最小值為-5，

當(dāng)x<4時(shí)，y隨x的增大而減??；

當(dāng)x>4時(shí)，y隨x的增大而增大.

例5如圖1，開口向下的拋物線與x軸交于點(diǎn)A－1，0，B2，0，與y軸交于點(diǎn)C0，4，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn).

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)四邊形CABP的面積為S，求S的最大值.

解由題意可設(shè)拋物線的解析式為y=ax+1x－2.

將點(diǎn)C0，4的坐標(biāo)代入，得4=－2a，解得a=－2，

所以該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=－2x+1x－2，

即 y=－2x2+2x+4 .

（2）如圖2，連接OP，

設(shè)P的坐標(biāo)為（m，－2m2+2m+4）（0<m<2），

因?yàn)锳－1，0，B2，0，C0，4，

所以O(shè)A=1，OB=2，OC=4，

所以S=S△OAC+S△OCP+S△OPB

=12×1×4+12×4m+12×2

×（－2m2+2m+4）

=－2m2+4m+6=－2m－12+8.

所以當(dāng)m=1時(shí)，S有最大值，最大值為8.

綜上可見，“配方”像一條紅線，貫穿于初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在解方程和求代數(shù)式的最大值或最小值的問題時(shí)，配方法是絕對(duì)得“主角”，因此在教學(xué)中應(yīng)重視“配方”的過程而非結(jié)果，這也是學(xué)科素養(yǎng)的形成過程，正所謂“授人以魚不如授人以漁”.