“巧”作輔助線，“多”解幾何題

杜高俊

【摘要】中考數(shù)學(xué)試題中，圖形與幾何是重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，其中與圓有關(guān)的幾何知識(shí)更是歷年中考考查的重點(diǎn).在求解與圓有關(guān)的幾何證明題時(shí)，可以“巧”作輔助線，通過(guò)構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是直角、構(gòu)造兩條平行線、構(gòu)造三角形全等或相似、構(gòu)造圓的半徑等方法來(lái)找到相等的角或相等的弧，從而從不同的角度解決問(wèn)題.本文以2021年貴陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試題第23題為例，通過(guò)不同方式輔助線的“巧”作，探討與圓有關(guān)幾何問(wèn)題的求解方法多樣性，從而提供在圓的綜合問(wèn)題求解過(guò)程中構(gòu)造輔助線的思路與通法.

【關(guān)鍵詞】圓；輔助線；解題方法

1試題呈現(xiàn)

（2021年貴陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試題第23題）如圖1，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)N，分別連接EB，CN.

（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）求證：EB=CN；

2背景分析

本題是一道綜合運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的解答題.知識(shí)層面考查了對(duì)圓周角的性質(zhì)定理、圓心角及其所對(duì)應(yīng)的弧或弦之間的關(guān)系、扇形的面積公式、特殊角的三角函數(shù)、三角形全等及三角形相似判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及正三角形的面積計(jì)算等內(nèi)容的掌握情況，能力層面考查對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、幾何直觀、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)的掌握情況.

試題以圖形與幾何→圖形的性質(zhì)→圓→圓的綜合知識(shí)作為命題主線，以圓的對(duì)稱性、圓心角與圓周角之間的關(guān)系、圓的有關(guān)運(yùn)算作為考查核心，與初中所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，較好地考查對(duì)圖形與幾何部分知識(shí)的掌握情況.

本題第一問(wèn)為填空，主要考查常見(jiàn)幾何模型的掌握情況；第二問(wèn)為幾何證明，考查邏輯推理能力.試題形式豐富、梯度合理、考查全面、難易適中，具有較好的難度與區(qū)分度.可通過(guò)對(duì)本試題的求解，總結(jié)掌握與圓有關(guān)幾何問(wèn)題的求解通法.

3解法探究

（1）解：如圖2，連接EO，

則∠AOE＝90°，∠ABE＝12∠AOE＝45°.

所以Rt△BME是等腰直角三角形.

所以BE=2EM.

（2）思路1利用直徑所對(duì)的圓周角是直角

解法1如圖3，連接EC，AE.

因?yàn)锳C為⊙O的直徑，

所以∠AEC＝90°.

所以∠1＋∠2＝90° .

因?yàn)镋N⊥AB，

所以在Rt△AEM中，∠1＋∠3＝90° .

所以∠3＝∠2.

所以EB=CN.

解法2如圖4，連接BN，AN.

因?yàn)镋N⊥AB，

所以在Rt△BMN中，∠1＋∠3＝90°.

因?yàn)椤螦NC ＝ 90°，

所以∠2+∠4＝ 90°.

因?yàn)椤?＝∠2，

所以∠3＝∠4.

所以BE=NC.

解法3如圖5，連接AN.

因?yàn)椤螦NC ＝ 90°，

所以∠1+∠2＝ 90°.

因?yàn)?EN⊥AB，

所以∠1+∠BAN＝ 90°.

所以∠2＝∠BAN.

所以EC=BN.

所以EC－BC=BN－BC.

即BE=CN.

解法4如圖6，連接AE，AN.

因?yàn)椤螦NC＝90°，

所以∠3＋∠4＝90°.

因?yàn)樵赗t△AEM中，∠AME＝90°，

所以∠1＋∠2＝90°.

因?yàn)椤?＝∠4，

所以∠2＝∠3.

所以BE=NC.

解法5如圖7，連接BC，BN.

因?yàn)椤螦BC＝90°，

所以∠1＋∠3＝90°.

在Rt△BMN中，∠2＋∠3＝90°，

所以∠1＝∠2.

所以BE=NC.

思路評(píng)析根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一定理，得到在圓的綜合應(yīng)用題中作輔助線的一個(gè)思路，即構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角.其次，當(dāng)圖中不止一個(gè)直角時(shí)，可以聯(lián)想同角或等角的余角相等，來(lái)找到兩個(gè)相等的角.

思路2利用兩平行線的判定和性質(zhì)

解法6如圖7，連接BC，BN，

則∠ABC＝90°.

因?yàn)椤螮MB＝90°，

所以∠ABC＝∠EMB，

所以BC∥EN.

所以∠1＝∠2.

所以BE=NC.

解法7如圖8，連接EC，BC，

則∠EMB＝∠ABC＝90°.

所以BC∥EN.

所以∠1＝∠2.

所以BE=NC.

思路評(píng)析平行線的判定和性質(zhì)也可以應(yīng)用到圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題中.在解決圓的綜合問(wèn)題時(shí)，可以思考是否可以構(gòu)造兩條平行線，從而利用平行的位置關(guān)系找到角的相等關(guān)系.

思路3利用三角形全等或相似

解法8如圖6，連接AE，AN.

因?yàn)椤?＝∠4，∠ANC＝∠AME＝90°，

所以△AME∽△ANC，

所以∠2＝∠3，

所以BE=NC.

解法9如圖9，連接EO并延長(zhǎng)，交AB于P，交圓O于F.

因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，

所以EF⊥AC.

所以EC=FC，∠EOA＝90°.

所以△EPM∽△APO.

所以∠1＝∠2，

所以FN=BC.

所以FC－FN=EC－BC.

即BE=CN.

解法10如圖10，連接BC，過(guò)C作CF⊥EN，垂足為F，則四邊形BMFC為矩形.

所以BM＝CF，∠EMB＝∠CFN＝90°.

因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，

所以AE=EC，

所以∠2＝∠3.

又由（1）得∠1＝∠2，

所以∠1＝∠3.

所以△EMB≌△NFC，

所以EB＝CN.

所以BE=CN.

思路評(píng)析相似三角形和全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.在解決圓的綜合問(wèn)題時(shí)，可以構(gòu)造三角形相似或全等，來(lái)找到角的相等關(guān)系.

思路4構(gòu)造半徑

解法11如圖11，連接EO，AE，AN.

因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，

所以∠AOE＝90°.

所以∠4＝12∠AOE＝45° .

所以在Rt△AMN中，∠MAN＝45°.

所以∠EAO＝∠MAN＝45°.

所以∠1+∠2＝∠2+∠3，

所以∠1＝∠3.

所以BE=NC.

解法12如圖12，連接EO，BO，NO.

由（1）知∠3＝45°，

所以∠BON＝2∠3＝90°，

所以∠EOC＝∠BON＝90°，

所以∠EOC－∠BOC＝∠BON－∠BOC，

即∠1＝∠2，

所以BE=NC.

解法13如圖13，連接EO，AE.

則由（1）得∠1＝∠2＝45°.

因?yàn)樵赗t△AEO中，AO＝EO，

所以∠EAO＝45°.所以∠1＝∠EAO.

所以BN=EC.所以BN－BC=EC－BC.

所以EB=CN.

思路評(píng)析在圓的綜合問(wèn)題中，可以通過(guò)構(gòu)造半徑找到圓心角，并利用圓周角與圓心角的關(guān)系與垂徑定理等知識(shí)，從而得到角相等或是弧相等.

4解后反思

本題第（2）問(wèn)解法很多，有的簡(jiǎn)單，有的較為復(fù)雜，主要是由于輔助線的作法不同導(dǎo)致的.可以通過(guò)這道題的求解，總結(jié)出圓中輔助線的作法主要有構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角、構(gòu)造半徑、構(gòu)造兩條直線平行、構(gòu)造三角形全等或相似等方法，并通過(guò)“巧”作輔助線來(lái)找到角相等或者弧相等，從而總結(jié)掌握與圓有關(guān)幾何問(wèn)題的解法.

平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中要善于總結(jié)和反思，找到一種解題的方法后，不妨靜下心來(lái)再想一想，還有沒(méi)有更高明的解法，更高明的解法可能會(huì)用到更多的知識(shí)來(lái)說(shuō)明其中的奧妙，這時(shí)可以再進(jìn)一步想一想，能不能用更少、更基本的知識(shí)來(lái)說(shuō)明那些原本以為要用較多的知識(shí)才能解決的問(wèn)題[1].最后，可以將不同的解法進(jìn)行總結(jié)和反思，優(yōu)化解答問(wèn)題的方法，尋找解決問(wèn)題的通法，并遷移到其他問(wèn)題中，這對(duì)提高數(shù)學(xué)解題能力有一定的促進(jìn)作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]張景中.新概念幾何[M].北京：中國(guó)少年兒童出版社，2016.