初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題淺析

桑靜

【摘要】最值問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)中的高頻考點(diǎn)，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)之一.這類(lèi)問(wèn)題與幾何、函數(shù)等內(nèi)容一起考查，類(lèi)型多樣，覆蓋面廣，具有很強(qiáng)的綜合性.本文對(duì)最值問(wèn)題的求解進(jìn)行分類(lèi)討論，探究和總結(jié)一些基本和常見(jiàn)的方法，以便學(xué)生更好的掌握.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；最值問(wèn)題；解題

1截距型最值問(wèn)題

例3已知：x-2y+7≥0

4x-3y-12≤0

x+2y-3≥0，Z=4x-3y，求Z的最大的值和最小值.

解作出可行域（如圖4），

作出直線4x-3y=0，將直線平移，通過(guò)觀察可知，

當(dāng)直線y=43x+b與直線4x-3y-12=0重合時(shí)，截距b=-4為最小，所以Zmax=-3b=12.

當(dāng)直線y=43x+b經(jīng)過(guò)直線x-2y+7=0與直線x+2y-3=0交點(diǎn)時(shí)，截距b=316為最大，所以Zmin=-3b=-312.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查的是Z=4x-3y的最大值和最小值，相當(dāng)于求y=43x-Z3的縱截距 Zmax=-3b=12，b=-Z3的最值，當(dāng)b最大時(shí)，Z最小；b最小時(shí)，Z最大.

2兩點(diǎn)距離型最值問(wèn)題

例4已知x+y-1≤0

x-y+1≥0

y≥-1，Z=（x-2）2+（y-2）2，求Z的最大值和最小值.

解作出可行域（如圖5），

找到定點(diǎn)（2，2），由圖易得出可行域內(nèi)到定點(diǎn)距離最大的點(diǎn)為（-2，-1），所以

Zmax=2--22+2--12=5，

Z的最小值為定點(diǎn)到可行域邊界x+y-1=0的距離，

即d=|2+2-1|2=32=62.

點(diǎn)評(píng)此問(wèn)題實(shí)際是在求可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)之間距離的最大值和最小值.

3正方形最值問(wèn)題

例6正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)O是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），以O(shè)為頂點(diǎn)在BC所在直線上方作∠MON=90°，當(dāng)OM不過(guò)點(diǎn)A時(shí)，設(shè)OM交邊AB于G，且OG=1.在ON上存在點(diǎn)P，過(guò)P作PK垂直直線BC，垂足為K，使得S△PKO=4S△OBG連接GP，求四邊形PKBG的最大面積.

解連接GP，因?yàn)椤螱OB +∠POK = 90°，∠GOB +∠BGO= 90°，

所以∠BGO=∠POK.

又因?yàn)椤螧=∠PKO = 90°，所以△GBO∽△OKP.

由于S△PKO=4S△OBG，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可知OP=2OG=2，

故S△POG=12OG×OP=1.

設(shè)OB=a，BG=b，則a2+ b2=OG2=1，

由完全平方公式得（a-b）2=a2-2ab+b2≥0，

則ab≤12（a2+ b2）.

S△OBG=12ab≤14（a2+b2）=14，

當(dāng)a=b=22時(shí)，S△OBG有最大值，最大值為14.

故四邊形PKBG的最大面積為1+14+1=94.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，方程思想，完全平方公式及不等式在最值問(wèn)題中的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn).

4幾何最值問(wèn)題

例7如圖9，拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3），且OB=OC.

（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；

（2）點(diǎn)D、E是直線x=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=1，點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，求四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值.

解（1）因?yàn)镃（0，3），所以O(shè)C=3，OB=OC=3，所以B（3，0），

將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，

得a=-1，

b=2，

c=3，

故拋物線的解析式為y=-x2+ 2x+ 3，

其對(duì)稱軸為直線x=-b2a= 1.

（2）如圖10，作點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)C′（2，3），

連接CC′，C′D，將點(diǎn)A向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A′（-1，1），

連接AA′，A′D，A′C′，四邊形AA′DE為平行四邊形，

所以A′D=AE.

因?yàn)锳C=OC2+OA2=10，DE=1，

所以C四邊形ACDE=AC+DE+CD+AE=10+1+CD+AE，

要使C四邊形ACDE最小，只需CD+AE最小即可.

當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，A′D+DC′有最小值13，

故四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值為10+13+1.

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查二次函數(shù)和“將軍飲馬”模型的綜合運(yùn)用，屬于“兩定兩動(dòng)型”，作點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn) C′，將點(diǎn)A向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A′，這樣 C四邊形ACDE=AC+DE+CD+AE=AC+DE+C′D+A′D，由AC，DE的長(zhǎng)為定值，只需C′D+A′D最小即可，根據(jù)當(dāng)A′、D 、C′三點(diǎn)共線時(shí)，C′D+A′D有最小值，得出四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值.