在“模型”中感悟運(yùn)算一致性

【摘 要】教學(xué)“分?jǐn)?shù)除法”時(shí)，教師可以通過(guò)整體設(shè)計(jì)“模型”，以多樣化的問(wèn)題模型豐富學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的理解；以模型直觀探究算法的抽象表達(dá)，通過(guò)“為什么這樣算”的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)算法的形式理解；以模型的多解深化認(rèn)識(shí)，凸顯運(yùn)算本質(zhì)的內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生感受運(yùn)算一致性。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；模型；運(yùn)算一致性；分?jǐn)?shù)除法

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）14-0020-04

【作者簡(jiǎn)介】孫敬彬，北京市中關(guān)村第三小學(xué)（北京，101301）教師，高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。

分?jǐn)?shù)除法在意義上與整數(shù)除法、小數(shù)除法相同，在方法上顛倒相乘后和分?jǐn)?shù)乘法一致，在算法理解上也有很多如平均分和包含除、商不變規(guī)律、分?jǐn)?shù)意義等方面的經(jīng)驗(yàn)?；谶@么多的聯(lián)系，筆者試著從“模型”的角度來(lái)為學(xué)生提供支持，在意義、方法、路徑等方面進(jìn)行勾連，借助“模型”設(shè)計(jì)把運(yùn)算“高高舉起”，通過(guò)“模型”感知把一致性“輕輕放下”，從整體的視角發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

一、能解決什么問(wèn)題——以“模型”多樣豐富意義的理解

蘇教版六上在“分?jǐn)?shù)除法”單元安排了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)這三部分內(nèi)容。分?jǐn)?shù)除以整數(shù)以“平均分”選擇素材，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)以“包含除”選擇素材。受篇幅所限，教材在內(nèi)容上不可能選擇很多。而生活中需要用分?jǐn)?shù)除法解決的實(shí)際問(wèn)題也不多見(jiàn)，所以要多引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際生活看到分?jǐn)?shù)除法，感受到分?jǐn)?shù)除法的實(shí)際意義，這樣他們才會(huì)與以前學(xué)習(xí)的除法進(jìn)行對(duì)接。這樣結(jié)合實(shí)際，從分?jǐn)?shù)的意義、除法的意義的角度多找一些問(wèn)題模型，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生感受分?jǐn)?shù)與除法、比的關(guān)系，他們?cè)趩?wèn)題解決中自然會(huì)感受到運(yùn)算意義的一致性。

1.發(fā)散提問(wèn)，讓不同問(wèn)題匯聚

在這個(gè)單元的學(xué)習(xí)中，可以多讓學(xué)生帶著算式回到具體問(wèn)題情境中，想一想“這道算式還可以解決生活中的什么問(wèn)題”，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看生活，通過(guò)提問(wèn)豐富平均分、包含除等在實(shí)際生活中的更多表達(dá)，為學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法提供更多問(wèn)題模型。如教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”時(shí)，可以提問(wèn)：4/5÷3還可以解決生活中的哪些問(wèn)題？這樣發(fā)散提問(wèn)后，班內(nèi)學(xué)生就會(huì)匯聚出很多問(wèn)題：小剛3分鐘跑了4/5千米，平均每分鐘跑多少千米？我3天讀完一本書的4/5，平均每天讀這本書的幾分之幾？用3元能買4/5千克橘子，1元能買多少千克？課桌高4/5米，教室高3米，課桌高相當(dāng)于教室高的幾分之幾？……這些不同問(wèn)題的出現(xiàn)，使原來(lái)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的單一問(wèn)題模型變得豐富起來(lái)，學(xué)生感受到的意義也會(huì)更具體，同時(shí)為他們解決運(yùn)算方面的問(wèn)題提供了更多體驗(yàn)。

2.聚焦設(shè)問(wèn)，把相似問(wèn)題串聯(lián)

由于教材中平均分和包含除的模型不斷切換，問(wèn)題情境也不同，問(wèn)題相關(guān)度不是很高，因而單元學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)分?jǐn)?shù)除法算式的每一次提問(wèn)都要關(guān)注問(wèn)題情境的延續(xù)性，聚焦設(shè)問(wèn)“能提出解決有關(guān)路程類的問(wèn)題嗎？”“能解決買東西中的問(wèn)題嗎？”，把發(fā)散的提問(wèn)“串”起來(lái)。如在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”時(shí)，學(xué)生提出了“小剛3分鐘跑了4/5千米，平均每分鐘跑多少千米？”這一問(wèn)題，到后面的學(xué)習(xí)中設(shè)問(wèn)讓學(xué)生跟進(jìn)，就會(huì)有“小剛2/3小時(shí)跑了4千米，平均每小時(shí)跑多少千米？”“小剛3/10時(shí)步行9/10千米，他平均每小時(shí)步行多少千米？”等問(wèn)題出現(xiàn)，這樣就把有關(guān)速度、時(shí)間、路程的問(wèn)題模型在整個(gè)單元中關(guān)聯(lián)起來(lái)了。這樣“問(wèn)”出來(lái)的問(wèn)題，能讓學(xué)生從整體的角度想問(wèn)題模型，從模型的角度思考除法的意義。

3.反復(fù)追問(wèn)，將關(guān)鍵問(wèn)題統(tǒng)整

對(duì)于學(xué)生提出的這些問(wèn)題，可以經(jīng)常追問(wèn)一句：“為什么用除法？”如“3元能買4/5千克的橘子”，既可以提問(wèn)“1元能買多少千克？”，也可以提問(wèn)“買1千克需要多少元？”。對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，可以適時(shí)追問(wèn)：為什么都用除法？為什么列出的算式不同？學(xué)生會(huì)從意義的角度解釋，或者借助直觀圖來(lái)解釋，這能使他們進(jìn)一步加深對(duì)問(wèn)題模型的認(rèn)識(shí)，豐富對(duì)分?jǐn)?shù)除法的意義理解，溝通除法與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。同時(shí)，對(duì)于某個(gè)問(wèn)題的反復(fù)追問(wèn)，能幫助學(xué)生從問(wèn)題模型中生長(zhǎng)出算法和算理的理解，生長(zhǎng)出解決實(shí)際問(wèn)題的能力。如引導(dǎo)學(xué)生探究“4米長(zhǎng)的繩子，每2/3米剪一段，可以剪多少段？”“一根繩子用去2/3，正好用去4米，這根繩子長(zhǎng)多少米？”這兩個(gè)問(wèn)題“為什么都用除法”，能促進(jìn)他們關(guān)注部分與整體之間的變化。

二、為什么這樣算——以“模型”直觀探究算法的表達(dá)

分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法是“甲數(shù)除以乙數(shù)（不為0），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”，從形式上看就是顛倒相乘，學(xué)生很容易知道，但要想說(shuō)清楚“為什么這樣算”并不容易。整體設(shè)計(jì)時(shí)就可以以“為什么這樣算”為大任務(wù)，充分放手讓學(xué)生想辦法說(shuō)清楚算理，并借助直觀模型讓其感受到運(yùn)算在本質(zhì)上的聯(lián)系、算法上的相通。

1.有“整”有“分”，讓算法一致清晰化

“整數(shù)除法可以表示為分?jǐn)?shù)的形式”，這等價(jià)于“除以一個(gè)不為0的整數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，即a÷b=a×1/b=a/b（b≠0）。因此，在整體設(shè)計(jì)“分?jǐn)?shù)除法”單元的教學(xué)時(shí)，可以在第一課時(shí)植入一個(gè)“整數(shù)除以整數(shù)”的情境，讓情境更有連續(xù)性。這樣基于分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，學(xué)生能感受到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算法與整數(shù)除以整數(shù)是一致的。具體的問(wèn)題串設(shè)計(jì)如下頁(yè)圖1所示。這樣設(shè)計(jì)也能讓模型整體“組團(tuán)”，整數(shù)除以整數(shù)可以用實(shí)物模型“4升果汁，5個(gè)杯子”；“4/5÷2”可以用面積模型；“4/5÷3”可以用面積模型，也可以用線段模型。

學(xué)生在“把4升果汁平均分到5個(gè)杯子中”的過(guò)程中，看見(jiàn)了“4升的1/5”的算式是“4×1/5”，看見(jiàn)了每杯果汁的數(shù)量是“1/5+1/5+1/5+1/5”，就是“4×1/5”，因而問(wèn)題解決過(guò)程中就有了“4÷5=4×1/5=4/5（升）”，雖然是蜻蜓點(diǎn)水，但單位累加的感覺(jué)輕輕浮現(xiàn)，顛倒相乘的認(rèn)識(shí)清清楚楚。

2.有“理”有“據(jù)”，讓算法表達(dá)直觀化

學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”以后，學(xué)生就能類推出分?jǐn)?shù)除法的算法了。下面的除法學(xué)習(xí)圍繞“怎樣算”“為什么這樣算”來(lái)展開，可以放手讓學(xué)生為“法”說(shuō)“理”，讓算法從一個(gè)個(gè)模型中直觀呈現(xiàn)，使學(xué)生真正理解算法。實(shí)踐中可以設(shè)計(jì)如圖2所示的任務(wù)鏈，引導(dǎo)學(xué)生自己先進(jìn)行研究，然后結(jié)合不同模型從不同角度說(shuō)理，進(jìn)一步豐富他們對(duì)算法的理解。

生1：把“1”平均分成3份，我先找到1個(gè)2/3，剩下的那份正好是2/3的一半，也就是1/2個(gè)2/3，這樣就能看出1里面有3/2個(gè)2/3，所以4里面有（4×3/2）個(gè)2/3，4÷2/3=4×3/2。（如圖3）

生2：我是把“1”平均分成3份后，發(fā)現(xiàn)“4”里共有這樣的12份，2/3是這樣的兩份，所以就有4×3÷2，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系可以寫成4×3/2，所以4÷2/3=4×3/2。（如圖4）

生3：2/3可以寫成2÷3，4÷2/3=4÷（2÷3）=4÷2×3，而4×3/2=4×1/2×3，所以4÷2/3=4×3/2。（如圖5）

可見(jiàn)，在說(shuō)清“為什么這樣算”的過(guò)程中，學(xué)生能感受到分?jǐn)?shù)除法與以前學(xué)習(xí)的運(yùn)算在實(shí)質(zhì)上是一致的，而且能想辦法說(shuō)清楚為什么這樣算也是一個(gè)推理驗(yàn)證的過(guò)程，經(jīng)歷這樣的過(guò)程，學(xué)生對(duì)算法的理解便走向了對(duì)其中計(jì)數(shù)單位以及計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)運(yùn)算的理解。相信當(dāng)出現(xiàn)如下算法時(shí)，學(xué)生也能很快結(jié)合具體模型來(lái)解釋它們背后的道理：4÷2/3=（3×4/3）÷2/3=12÷2=6；4÷2/3=（4×3/2）÷（2/3×3/2）=6÷1=6；4÷2/3=（4×3）÷（2/3×3）=12÷2=6。

三、還可以怎樣想——以“模型”多解感悟運(yùn)算的本質(zhì)

從整體的角度對(duì)“分?jǐn)?shù)除法”單元進(jìn)行模型設(shè)計(jì)，能使學(xué)生對(duì)一些問(wèn)題與算法的理解更直觀具體，也有利于凸顯運(yùn)算的本質(zhì)。一是一個(gè)算式會(huì)有不同的問(wèn)題模型，讓學(xué)生有更多機(jī)會(huì)從意義的角度理解算法；二是不同直觀模型在解釋算法上又會(huì)各有不同，即便是同一個(gè)直觀模型，不同學(xué)生的表達(dá)也會(huì)有所不同。教師教學(xué)時(shí)要多通過(guò)對(duì)比引導(dǎo)學(xué)生變換角度思考“還可以怎樣想”，從中發(fā)現(xiàn)更多聯(lián)系和運(yùn)算的本質(zhì)內(nèi)涵。這樣用好直觀模型，很多原有經(jīng)驗(yàn)、方法都會(huì)在匯聚后進(jìn)行有效提升并實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。

1.一“圖”多“義”，解釋中實(shí)現(xiàn)方法統(tǒng)一

在畫直觀圖探究算法的過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題在直觀表達(dá)時(shí)有一致的地方，即很多問(wèn)題情境表達(dá)出來(lái)時(shí)可能是相同的一幅圖。在探究算法的過(guò)程中，結(jié)合直觀圖適時(shí)追問(wèn)“還可以怎樣想”，有利于學(xué)生從模型的角度把一類問(wèn)題提取出來(lái)，讓問(wèn)題模型與計(jì)算方法在一幅直觀圖中得到統(tǒng)一。圖6呈現(xiàn)的是4/5÷3的計(jì)算過(guò)程，其實(shí)也是分?jǐn)?shù)乘法中4/5×1/3的計(jì)算過(guò)程。這樣借助直觀圖的多種理解，不僅能使學(xué)生看到分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法在算法上的一致性，也能把單位的運(yùn)算凸顯出來(lái)，對(duì)算法和算理進(jìn)行了統(tǒng)一。

2.一“式”多“圖”，對(duì)比中凸顯運(yùn)算本質(zhì)

學(xué)生在探究算法時(shí)會(huì)想到很多方法，這些方法看似模型不一樣，理解不一樣，但背后蘊(yùn)含的道理可能是一樣的。讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比“還可以怎樣想”，能使他們發(fā)現(xiàn)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。學(xué)生對(duì)一致性的理解也會(huì)反過(guò)來(lái)促進(jìn)他們?cè)谒惴ㄉ系那笸约皩?duì)通法的探尋，從而使他們從模型直觀走向推理驗(yàn)證。如教學(xué)9/10÷1/10時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比圖7和圖8，并適時(shí)追問(wèn)“還可以想到哪些”，能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法計(jì)算在想法上是相通的，在方法上是一致的。有了這些認(rèn)識(shí)，學(xué)生也會(huì)慢慢從直觀模型中發(fā)現(xiàn)一些本質(zhì)的東西，從更寬廣的視角感受到可以計(jì)數(shù)單位相除、計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相除，最后再把商相乘的道理。

學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法”以后，教師還可以把問(wèn)題模型在三節(jié)課中的“樣子”呈現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)一“模”多“樣”，讓學(xué)生從整體的角度對(duì)同一問(wèn)題模型有整體認(rèn)識(shí)，對(duì)算法的形成有整體感知，如三節(jié)課中的路程類問(wèn)題（如圖9）。

學(xué)生從中不僅能想到問(wèn)題是如何直觀呈現(xiàn)的，還能想到4/5÷3、4÷2×3、9/10÷3×10的計(jì)算方法是相通的，道理是一致的。回看“分?jǐn)?shù)除法”單元的學(xué)習(xí)，還能感受到運(yùn)算方法似曾相識(shí)，運(yùn)算過(guò)程殊途同歸。這些理解對(duì)學(xué)生感悟運(yùn)算一致性有好處，還能促進(jìn)他們將其遷移到解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)中去。