識(shí)破偽裝,看透本質(zhì)
——兩道高考題的幾何背景研究

浙江省杭州市富陽區(qū)江南中學(xué) (311400) 林榮鋒

1.試題展示

2.試題解答

(2)由于題目沒有交代M,N的位置關(guān)系,那么也就是說無論是N在上方還是M在上方,結(jié)論都是成立的,我們以點(diǎn)N在點(diǎn)M上方為例(如圖1).

圖1

圖2

3.試題背景探究

兩道試題均是以極點(diǎn)、極線、調(diào)和點(diǎn)列、調(diào)和線束為背景的問題.題1中,直線AB為P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線.題2中點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的極線為x=-2.下面給出相關(guān)的概念.

3.1 極點(diǎn)、極線的幾何定義

如圖3,設(shè)P是不在圓錐曲線上的一點(diǎn),過P點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于點(diǎn)N,連接EG,FH交于點(diǎn)M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.若點(diǎn)P為圓錐曲線上的點(diǎn),則過點(diǎn)P的切線即為極線.

圖3

3.2 調(diào)和點(diǎn)列

圖4

A

B

C

D

C

D

A

B

A

B

C

D

3.3 調(diào)和線束及性質(zhì)

如圖5,從調(diào)和點(diǎn)列A,B,C,D所在直線外一點(diǎn)P,引射線PA,PB,PC,PD,則稱線束PA,PB,PC,PD為調(diào)和線束.

圖5

性質(zhì)如圖6,已知PA,PB,PC,PD為調(diào)和線束,若有一條直線l平行于其中的一條,且與剩余三條交于三點(diǎn),那么這三點(diǎn)中的內(nèi)點(diǎn)平分該線段.

圖6

3.4 圓錐曲線中的調(diào)和點(diǎn)列

圖7

4 試題拓展

我們來分析題1,2的命題背景.

題1背景如圖8,設(shè)MN∩AB=Q,MT∩AN=V.首先注意到直線PA,PB均與橢圓相切,則直線AB為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線,于是P,Q調(diào)和分割M,N,因此P,Q,M,N為調(diào)和點(diǎn)列,直線束AP,AQ,AM,AN為調(diào)和線束,由HV//AP可得,T為MV的中點(diǎn),所以V和H重合,即NH過點(diǎn)A.

圖8

題2背景如圖9,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的極線即為x=-2,設(shè)其與BN交于點(diǎn)H,可知B,H,M,N構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,因此AB,AH,AM,AN為調(diào)和線束,又PQ//AH,所以BP=BQ.

圖9

由此可以命制以下試題:

(1)求直線l傾斜角θ的取值范圍;