一道雙曲線高考試題的解法探究與變式*

江蘇省海門中學(xué) (226100) 徐巧石

高考試題凝聚著命題專家們的深度思考,能夠考查學(xué)生的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力,發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科高考的選拔功能,對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到了積極的引導(dǎo)和促進(jìn)作用．于參加高考的學(xué)生而言,是對他們能力、素養(yǎng)的一次全面考查;于高一高二的學(xué)生而言,是提升他們能力,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好素材;于教師而言,是研究教學(xué)、實踐命題的豐富源泉．因此,加強高考真題的研究,深度理解,發(fā)揮試題的應(yīng)用價值是必要和有積極意義的課題．

1．審讀目標(biāo)條件

(1)求C的方程;

①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|．

注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分．

今年是新高考的第二年,新高考在命題上創(chuàng)新試題形式,引導(dǎo)高中教學(xué)向培養(yǎng)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力傾斜,同時增強了試題的開放性．此題是結(jié)構(gòu)不良問題的再創(chuàng)新,避開各地的模擬題,體現(xiàn)了公平性．題目給出三個條件,要求從中選取兩個作為已知條件,證明另一個成立,為學(xué)生提供了選擇的自由度和發(fā)揮的空間,有利于考查學(xué)生的思維水平．從試題結(jié)構(gòu)看,體現(xiàn)了三多,即點多、線多、變量多,如何在眾多的關(guān)系中尋找解決問題的主線?如何挖掘條件背后隱含的關(guān)系?如何確定解題的方向?試題目背后存在怎樣的一般規(guī)律?

2．探索解題方向

解決任何問題首先要有明確的目標(biāo),有了目標(biāo)才有前進(jìn)的方向和信心．解題教學(xué)要將重點放在目標(biāo)的確定上,教會學(xué)生探索解題方向的方法．常見的尋找解題方向的方法有特殊值探路、數(shù)形結(jié)合引領(lǐng)、題目設(shè)問導(dǎo)向等等．

圖1

在解題教學(xué)中,特別是講解有一定難度的題目,要通過問題引領(lǐng)帶領(lǐng)學(xué)生,探索解題的目標(biāo)方向,而不應(yīng)對著答案照本宣科．在經(jīng)歷一道道試題的探索過程中,讓學(xué)生掌握探索解題方向的常用方法,積累探索解題方向的基本經(jīng)驗．探索解題目標(biāo)與方向是提升學(xué)生思維水平,直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體表現(xiàn)．

3．梳理解題思路

2020年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出“數(shù)學(xué)運算”核心素養(yǎng),包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設(shè)計運算程序,求得運算結(jié)果等．解題有了目標(biāo),接下來便是探究思路,按照既定的方向通過運算說明目標(biāo)成立．．

實現(xiàn)第一目標(biāo),有以下三種思路:

思路二：注意到點M是連接PQ和AB之間的關(guān)鍵點,可以對題干重新敘述,即從M點出發(fā)作兩條平行于漸近線的直線,與雙曲線C產(chǎn)生交點P,Q,進(jìn)而證明PQ的斜率與點M坐標(biāo)之間的關(guān)系．

思路三：根據(jù)2中探究解題思路的思考,首先證明EG∥PQ,進(jìn)而說明OM經(jīng)過PQ的中點T,再根據(jù)弦的中點,利用點差法建立M與PQ之間的關(guān)系．

實現(xiàn)第一目標(biāo)之后,從三個條件中選擇兩個作為已知條件,證明另一個成立,共有三種情形,即由①②證③;由①③證②;由②③證①,分別對應(yīng)以下圖2,圖3,圖4三種思路:

圖2

圖3

圖4

4．實施調(diào)整運算

設(shè)計好了解題的思路,接下來就是將思路付出實踐,在實踐的過程中,調(diào)整細(xì)化具體的運算方法、技巧,選擇最簡最優(yōu)策略．

法一：由思路一和選擇①②證③．

上述化簡M坐標(biāo)的過程中,涉及到了x1-x2,這里采用的是用x1+x2與x1x2表示x1-x2.若不是x1-x2,系數(shù)發(fā)生變化,又該如何處理呢?注意到這是不對稱的結(jié)構(gòu),一般的處理方法是保留其中一項,將其余化為x1+x2與x1x2,因此有如下處理方式:

在運算的細(xì)節(jié)處理上,既要有硬算的勇氣,又要學(xué)會一般的處理技巧,學(xué)會識別常見的運算模型,引導(dǎo)學(xué)生掌握一般的方法,在運算方法的選擇與調(diào)整中,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力．

法二：由思路二和選擇①③證②．

設(shè)M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立

此法第一目標(biāo)的處理看似簡潔,實際上需要學(xué)生扎實的運算功底,同時又要有運算下去的信心．注意到直線PM與漸近線是平行的,可以直線PM與雙曲線C必有唯一一個交點,并且可以預(yù)見聯(lián)立方程消去y可得一個一元一次方程,從而獲得運算成功的信心．

法三：由思路三和選擇②③證①．

設(shè)直線PQ:y=kx+m,聯(lián)立

此法,第一目標(biāo)的處理看上去繁瑣,但是有著非常清晰的邏輯主線,避免了復(fù)雜的運算,也是解題目標(biāo)和方向的直接體現(xiàn),同時還能幫助學(xué)生更清晰的了解試題的背景和一般規(guī)律,積累探索解題方向的經(jīng)驗．

5．反思變式探究

每年的高考真題有很多來源于課本和以前的真題,因此,高考真題是教師命題的源泉,為教師命題提供了良好的素材．

根據(jù)思路一可得如下變式:

調(diào)整設(shè)問方式有如下變式:

根據(jù)思路二和思路三可得如下變式:

注意到題干中直線AB是經(jīng)過雙曲線C的右焦點F的,那么是否當(dāng)M是AB的中點時,AB一定過焦點F呢?

通過上述過程可以發(fā)現(xiàn),直線AB不一定過焦點F,因此,我們可以得到如下更一般的變式:

對于任意的雙曲線上述命題同樣成立,即與雙曲線的離心率無關(guān),限于篇幅,不再贅述．

一道優(yōu)美的試題蘊含著豐富的應(yīng)用價值,等待著教師和學(xué)生深入的探索．通過審讀目標(biāo)條件、探索解題方向、圖示解題思路、實施調(diào)整運算、反思變式探究五步曲的深入挖掘,可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的提升,促進(jìn)素養(yǎng)課堂的達(dá)成,助力教師的專業(yè)成長．