橢圓中關于最值問題的幾個結論

山東省鄒平雙語學校(256200) 姜坤崇

橢圓由于是封閉曲線,因此由它產生的最值問題很多,本文給出橢圓中的幾個(一類)最值問題的結論,并通過整體換元的方法轉化為求二次或一次函數(shù)最值的方法給以證明.

命題1給定橢圓E:M(m,0)(?a

證明(1)當m=0 即點M為原點時結論顯然成立.

(2)當m ?=0 時,如圖1,設A(x1,y1),B(x2,y2)(y1y2<0),由直線l過點M(m,0)可設其方程為x=ty+m(t為參數(shù),t的倒數(shù)為l的斜率),代入E的方程整理得

圖1

由于y1、y2是關于y的二次方程①的兩個實根,則由韋達定理得

由兩點間的距離公式,考慮到x1=ty1+m,x2=ty2+m,并將②、③式整體代入得

命題2給定橢圓E:M(m,0)(m≥0,m ?=a)是x軸非負半軸上的一定點,過M引直線l交E于不同的兩點A、B.

(1)若0 ≤m

(2)若m>a,則當l與x軸重合時|MA|·|MB|取得最大值m2?a2.

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=ty+m(t為參數(shù)),則同命題1 的證明一樣得到③式.而x1=ty1+m,x2=ty2+m,所以同理,于是由③式得.

(1)若0 ≤m

(2)若m>a,設當l與E相切時對應的斜率為k1,對應的則由得從而0

綜合(1)、(2),命題2 得證.

命題3給定橢圓E:M(m,0)(m≥0,m ?=a)是x軸非負半軸上的一定點,過M引直線l交E于不同的兩點A、B.

(1)若0 ≤m

(2)若m >a,則當l與x軸重合時|MA|2+|MB|2取得最大值2(a2+m2).

證明當m=0(即點M在原點)時易得結論:當l與x軸重合時|MA|2+|MB|2取得最大值2a2,當l與x軸垂直時|MA|2+|MB|2取得最小值2b2.以下設m>0.

設A(x1,y1)、B(x2,y2),直線l的方程為x=ty+m,同命題1 的證明一樣得到①、②、③式.又x1=ty1+m,x2=ty2+m,所以由②、③式可得

(1)若0

(2)若m>a,設當l與E相切時對應的斜率為k1,對應的則由從而0a及2a2+c2>3c2可得(2a2+c2)m2>3a2c2,所以所以f(v)在上為減函數(shù),所以即2(a2+m2).

又當l與x軸重合時可求得|MA|2+|MB|2=2(a2+m2),故當l與x軸重合時|MA|2+|MB|2取得最大值2(a2+m2).

綜合(1)、(2),命題3 得證.

命題4 給定橢圓E:M(m,0)(m≥0,m ?=a)是x軸非負半軸上的一定點,過M引直線l交E于不同的兩點A、B.

(4)若m>a,則當l與x軸重合時取得最大值.

證明仿命題2、3 的證明分別得,所以

又當l與x軸重合、垂直時易分別可求得故當l與x軸重合時取得最小值當l與x軸垂直時取得最大值;

(II)當m >a時,設當l與E相切時對應斜率的倒數(shù)為t1,則由得令則由?(a2+b2)m2+a2c2

綜合(I)、(II),命題4 得證.

命題5給定橢圓E:M(m,0)(m≥0,m ?=a)是x軸非負半軸上的一定點,過M引直線l交E于不同的兩點A、B.

(1)若0 ≤m

(2)若m=c(即點M為E的焦點),則為定值;

(3)若c

(4)若m>a,則當l與x軸重合時取得最大值.

證明仿命題2、4 的證明分別可得,|MA| · |MB|=

(I)當0 ≤m

(i)當m=c時,c2?m2=0,此時為定值為定值;

(ii)當m ?=c時,c2?m20,由及t2≥0可得0

(1′)若0 ≤m

而當l與x軸重合、垂直時易分別可求得故當l與x軸垂直時取得最大值當l與x軸重合時取得最小值;

(2′)若c

(II)當m>a時,⑨式可化為